Понятие идеала. Классы вычетов. Кольцо классов вычетов.

Идеалом I называется подмножество элементов кольца R, обладающее следующими двумя свойствами:

1. I является подгруппой аддитивной группы кольца R.

2. Для любого элемента a из I и любого элемента r из R произведения ar и ra принадлежат I.

Пример:

В кольце из положительных и отрицательных чисел и нуля множество всех чисел, кратных некоторому целому числу, образует идеал.

Поскольку идеал является подгруппой, то по нему могут быть образованы смежные классы. В этом случае смежные классы называются классами вычетов. Идеал образует первую строку разложения с нулевым элементом слева. Далее, любой элемент кольца, не принадлежащий идеалу, может быть выбран в качестве образующего первого класса вычетов, а остальные элементы класса строятся прибавлением образующего к каждому элементу идеала:

, , , …

Первыми элементами в каждой строке являются, как и прежде, элементы, не использованные в предыдущих строках. Все свойства смежных классов верны также для классов вычетов. В частности, поскольку групповая операция сложения коммутативна, идеал является нормальным делителем, и сложение классов может быть определено как

где {r} обозначает класс вычетов, содержащий r. При таком определении классы вычетов образуют аддитивную группу (факторгруппу).

Можно также определить умножение классов вычетов следующим образом:

Это определение справедливо только в том случае, если независимо от выбора представителей в классах вычетов, которые должны быть перемножены, данное соотношение определяет в качестве произведения один и тот же класс вычетов. Или, другими словами, если r и r’ принадлежат одному и тому же классу вычетов, то произведения rs и r’s должны принадлежать одному и тому же классу вычетов. Это условие будет выполняться тогда и только тогда, когда элемент r’s’-rs принадлежит идеалу. Можно записать

r’s’ – rs = r’s’ - r’s + r’s – rs = r’(s’ - s) + (r’ - r)s.

Поскольку элементы s’-s и r’-r принадлежат идеалу, то каждое из двух слагаемых в правой части этого равенства тоже принадлежит идеалу, и, следовательно, идеалу принадлежит элемент r’s’-rs. Таким образом, определение умножения классов вычетов имеет смысл. Для классов вычетов справедливы ассоциативный и дистрибутивный законы:

Для них также справедлив дистрибутивный закон для умножения справа. Из всего этого следует теорема:

Теорема 1: Классы вычетов по идеалу в некотором кольце образуют кольцо.

Данное кольцо называется кольцом вычетов.

Пример:

В кольце всех целых чисел рассмотрим идеал, образуемый всеми четными целыми числами. Тогда будет два класса вычетов {0}, {1}. В этом случае с арифметической точки зрения кольцо классов вычетов определяет арифметику по модулю два.

Идеалы и классы вычетов целых чисел.

Если r, s и t – целые числа и rs=t, то говорят, что t делится на r или что r является делителем числа t. Целое число p≥ 1, которое делится только на ±p и на ±1 называется простым. Наибольшим общим делителем (НОД) двух целых чисел называется наибольшее положительное число, являющееся делителем обоих этих чисел. Говорят, что два целых числа взаимно просты, если их наибольший делитель равен 1.

Для любой пары целых чисел s и d существует единственная пара целых чисел q (частное) и r (остаток), таких, что:

(i.1) , где

Общий делитель d двух целых чисел r и s всегда можно представить в виде:

(i.2) , где a и b – целые числа.

Алгоритм Евклида.

Пусть даны числа 973 и 301. НОД: d-?

973 = 3 x 301 + 70

301 = 4 x 70 + 21

70 = 3 x 21 + 7

21 = 3 x 7 + 0

Так как число d является делителем 973 и 301, то оно должно быть делителем и остатка 70. Т.к. d – делитель 301 и 70, оно является делителем 21. Т.к. d – делитель 70 и 21, то оно является делителем 7. С другой стороны, 7 является делителем 21, 70, 301 и 973. Поэтому d=7.

7 = 70 - 3 x 21 = 70 – 3 x (301 – 4 x 70) = -3 x 301 + 13 x 70 = -3 x 301 + 13 x (973-3 x 301) = 13 x 973 – 42 x 301.

Теорема 1: Совокупность целых чисел образует идеал тогда и только тогда, когда она состоит из всех чисел, кратных некоторому целому числу.

Доказательство: Пусть r – наименьшее целое положительное число в идеале и s – любое другое целое число, принадлежащее идеалу. Тогда НОД этих чисел d принадлежит идеалу, потому что по определению идеала оба слагаемых в правой части соотношения (i.2) принадлежат идеалу, и, следовательно, их сумма также принадлежит идеалу. Так как r – наименьшее положительно число в идеале, то r≤ d. Поскольку r делится на d, то d≤ r. Следовательно, r=d и s делится на r, т.е. на r делиться любое целое число, принадлежащее идеалу. Наконец, любое число, кратное r, принадлежит идеалу по определению идеала.

Идеал, который состоит из всех элементов, кратных одному из элементов кольца, называется главным идеалом, а кольцо, в котором каждый идеал главный, называется кольцом главных идеалов.

Идеал, который состоит из всех чисел, кратных положительному целому числу m, обозначается через (m). Кольцо классов вычетов, образованное классами вычетов по идеалу (m), называется кольцом целых чисел по модулю m.

Теорема 2: Каждый класс вычетов по модулю m содержит либо 0, либо целое положительное число, меньшее m. Нуль является элементом идеала, а все остальные целые положительные числа меньше m, принадлежат различным классам вычетов.

Доказательство: Если s – любой элемент некоторого класса вычетов, то поскольку , r – принадлежит тому же самому классу вычетов и . Если r и s принадлежат одному и тому же классу вычетов, то разность r-s является элементом идеала, и, следовательно, кратна m. Если r≠ s то, очевидно, эти числа не могут быть оба меньше чем m и неотрицательны.

Теорема 3: Кольцо классов вычетов по модулю m является полем тогда и только тогда, когда m – простое число.

Доказательство: Если m – не простое число, то m=rs для некоторых целых чисел r и s, которые не кратны m. Поэтому , и если класс вычетов {r} обладает обратным , то , что противоречит предположению. Поэтому класс вычетов {r} не может иметь обратного и кольцо классов вычетов не является полем.

Теперь остается показать, что если m – простое число, то для каждого класса вычетов, кроме 0(идеала), существует обратный. Каждый такой класс вычетов содержит целое число s, которое меньше чем m и не равно 0. Поскольку 1 совпадает с обратным к ней элементом, можно предположить, что s> 1. Так как m по предположению – простое число, то наибольший общий делитель s и m должен быть равен либо m, либо 1. Но m> s, и, следовательно, s не может делиться на m. Поэтому НОД m и s равен 1. В силу соотношения (i.2): . И отсюда следует, что , т.е. класс вычетов {b} является обратным к классу вычетов {s}.

Построенные таким образом поля называются кратными полями или полями Галуа из p элементов GF(p).

⇐ Предыдущая 1 2 345 Следующая ⇒