Матричное модел-ие и анализ межотраслевых связей. Использование матричных моделей. Матричная модель производственной деятельности предприятия.

⇐ ПредыдущаяСтр 26 из 51Следующая ⇒

Взаимовлияние отраслей при производстве и потреблении продукции: Экон-я сис-ма в целом состоит из экон-х объектов, каждый из к-х выпускает некоторый продукт, одна часть к-го потребляется другими объектами сис-мы, а другая выводится за пределы сис-мы в качестве ее конечного продукта. Центральная идея межотраслевого баланса заключ-ся в том, что каждая отрасль в нем рассматривается как производитель и как потребитель. Модель МОБ предст-ет собой единую взаимоувязанную сис-му информации о взаимных поставках продукции м/у всеми отраслями пр-ва, а также об объеме и отраслевой стр-ре осн-х производст-х фондов, об обеспеченности народного хоз-ва ресурсами труда и т.д.

Схема межотраслевого баланса, модель Леонтьева: Межотраслевой баланс обычно строится в виде таблицы, описывающей баланс пр-ва и потр-я внутри страны. Обычно МОБ рассм-ют двух видов: в натуральном и стоимостном выр-ии. Пусть эк-ка страны разделена на n отраслей, каждая из к-х яв-ся как потребителем продукции отраслей, так и поставщиком своей. Рассм. МОБ в стоим. выр-ии.

Х- ско-ко необходимо отгрузить одной продукции для пр-ва другой. Составили таб. МОБ и выделили 4 квадранта: I-IV. 1. Составим по строкам распред-е валового продукта отрасли поставщика (1), где xij-межотраслевой поток м/у отраслью i и j. 2. Составим по столбцам баланс для отрасли потребителя. (2). По столбцам получ-ся известная ф-ла: , где Pj- ст-ть продукции j-той отрасли, Cj- перенесенная ст-ть на продукт из др. отрасли, Vj- необходимый продукт, mj- прибавочный продукт. Величина (х-у) наз-ся производственное потребл-е. Рассм. каждый из квадрантов. I: рассм-ся межотрсалев. потоки продукции и ср-в пр-ва. II: описывает конеч. и валов. продукт. В КП отраж-ся личное потр-е насел-я, бюджетные ассигнования, ЗТ на оборону… т.е. непроизводственная сфера. III хар-ет стр-ру ВП. Суммарный КП: . IV хар-ет перераспред-е в эк-ке страны, осуществляемое в кредитно-фин. с-ме. Если МОБ строится на основе агрегирования деят-ти предпр-я, то баланс наз-ся отчетным. Для планир-я эк-ки строятся плановые МОБ. Модель Леонтьева распределения продукции («затраты – выпуск»). На основе МОБ построим модель, учитывающую технологические связи м/у отраслями. Для этого вводим коэф-т прямых ЗТ на ед-цу валовой продукции. аij- нормы расходов продукции i-той отрасли по пр-ву ед-цы продукции j-той отрасли. Составим матрицу:

Матрица прямых затрат, понятие продуктивности, ее. Матрица полных затрат. Использование их в экономическом анализе: Пусть aij=xij/xj (3), тогда из (1) следует: (4). Введем обознач-я: Х-вектор валовой продукции, У-вектор конечной продукции, А-матрица прямых ЗТ, Е - единичная матрица. Если МОБ задан в натур. ед-х, то матрица А наз-ся технологической; если в стоимостном- то экономической. Из (4): Х=АХ+У или ЕХ=АХ+У, (Е-А)Х=У (5). Обозначим В(n× n)=(Е-А)^-1={b11, bnn}- матрица полных ЗТ на ед-цу конечной продукции. Матричное ур-е Х=ВУ (6). Коэф-ты полных ЗТ м. вычисляться как эл-ты суммы матричного ряда, т.е. (Е-А)^-1=Е+А+А²+А³, здесь А-матрица прямых ЗТ, А²- матрица косвенных ЗТ первого порядка, А³ - второго порядка. Косвенные ЗТ хар-ют ЗТ предшествующих периодов (предшест. труд). Отн-е полных ЗТ к прямым хар-ет КПД эк-ки, т.е. отн-е полных ЗТ с учетом предшествующих к прямым ЗТ: . Чем более высокотехнологичней пр-во, тем > знач-е .

Модель Дмитриева для определения равновесных цен: Рассм-м модель для опр-я цены продукции. В матрице (по столбцам) опр-ем СБ ед-цы продукции C, Н, для первой продукции: a₁₁p₁+a₂₁p₂++a_n₁p_n+Z₁=C₁, a₁₁p₁+a₂₁p₂++a_n₁p_n=СБ сырья, Z₁-собств. ЗТ. Выразим СБ ч/з рент-ть. Т.к. r1=П1/С1, р1=П1+С1, то р1=r1C1+C1=(r1+1)C1 → С1=p1/(1+r1). Перейдем к матричной записи: (7) {a₁₁p₁+a₂₁p₂++a_n₁p_n+Z₁= p₁/(1+r₁)… a₁_n₁p₁+a₂_np₂++a_nnp_n+Z_n= p_n/(1+r_n). С-ма (7)- с-ма алгебраических ур-й для опр-я равновесных цен, которые удовлетворяют и продавца и покуаптеля при заданной r. П- прибыль, р –цена. При изменении цены в одной отрасли (при тех же остальных условиях) необходимо изменить цены в др. отраслях, чтобы сохранить равновесие цен (7). Рассм-м частный случай нулевой рент-ти r=0: А^т∙ р+Z=p (8), тогда (9) р=(Е-А^т)^-1Z= . -матрица полных ЗТ в модели Дмитриева. Т.о., цены р зависят только от собственных ЗТ Z и технологических способов пр-ва- A^т.

Матричная модель производственной деятельности предприятия: (для реш-я задач внутризаводского планир-я, выявления резервов, повыш-я эф-ти пр-ва). Рассм-м ЭММ в матричном виде при реш-и управленческих задач, решаемых на уровне предпр-я. С помощью матричных моделей сопоставляются, балансир-ся и увязываются показ-ли производственно-фин. плана предпр-я. Если в матрич. модели исп-ся натур. показ-ли, то она наз-ся технологической матрицей, если денежные - экономическая модель. Матрич. модели рассм-ют осн. показ-ли пр-ва: продукция (осн. и вспом. пр-во), ЗТ, трудовые рес-сы, финансовые показ-ли, товар. и валов. продукция, цены… Осн балансовые соотнош-я модели (по строкам): , где xi- объем производимой продукции i-того вида, yi- объем конечной, товарной продукции; aij- нормативы потр-я j-той продукции при выпуске i-той продукции. Матричная форма модели сост. из 4 квадрантов:

{осн. пр-во: (1), ; всп. пр-во: (2), } (*). В I квадранте приводятся коэф-ты Aij- норма расходов осн. и всп. пр-ва продукции на пр-во этой же продукции. Они образуют матрицу А, к-я сост. из 4 подматриц А1-А4, учитывающих межцеховые производственные связи: А⁽¹⁾- взаимосвязь м/у пр-вами; А⁽²⁾- нормы потр-я i-той осн. прод-и на выпуск ед-цы j-той прод-и всп. пр-ва; А⁽³⁾- нормы потр-я i-той вспом-ой прод-ии на выпуск ед-цы j-той прод-ии осн-го пр-ва; А⁽⁴⁾- нормы потр-я i-той всп. прод-ии на выпуск ед-цы j-той прод-ии всп. пр-ва. А^(к)={aij⁽^k⁾}, k=1, 2, 3, 4. Во II квадранте отражена конечная прод-я, выходящая за пределы предпр-я, состоящая их двух векторов У⁽¹⁾, У⁽²⁾ осн-го и всп-го пр-ва. Валовый выпуск прод-ии осн-го и всп-го пр-ва: Х⁽¹⁾ и Х⁽²⁾. Т.о. баланс пр-ва и потр-я прод-ии осн-го всп-го пр-ва примет вид с-мы (*). В III квадранте приводятся нормы расх-в сырья, матер., топлива, энергии: Д⁽¹⁾, Д⁽²⁾. Продолжит-ть работы оборуд-я: F⁽¹⁾, F⁽²⁾, нормы времени для трудовых рес-в: Т⁽¹⁾, Т⁽²⁾ на пр-во ед-цы прод-ии осн-го и всп-го пр-ва соот-но. В IV квадранте представлены общие объемы потребляемых рес-в на пр-во прод-ии: dr- матер. рес-сы, fs- время работы обор-я, tg- время работы g-го работника (фонд рабочего времени). Огранич-я: (3) { , , где dr, fs, tg-плановые знач-я пр-ва. Для стоимостной модели таб. пополняется данными побочных ЗТ: цеховые, общезаводские, непроизв.; показ-ли цен, прибыли, финансовые показ-ли. Такая модель основ-ся на исп-ии форм техпромфинплана: плановой калькуляции и смет расх-в. При разработке плана пр-ва предпр-я составляют осн. балансовые ур-я (*), решая их, опр-ют знач-я Х⁽¹⁾, Х⁽²⁾- объемы осн-го и всп-го пр-ва, и и вычисляют потребности в рес-х, исп-я балансовые ур-я (3). Балансовая модель вспомогательного производства. Наряду с осн-м пр-вом рассм-ют всп. пр-во, вкл-щее ряд цехов. Всп. цеха оказывают услуги как друг другу, так и осн-му пр-ву. Величина ЗТ каждого всп. цеха складыв-ся из собственных ЗТ и ЗТ, связ-х с исп-ем работ др. всп-х цехов. Рассм-м задачу построения баланса пр-ва и распредел-я работ (услуг) всп-х цехов. В этой балансовой модели исп-ся след. обознач-я: Sij- нат. величина, к-я опр-ет кол-во прод-ии/ услуг j-го цеха, поступивших в i-тый цех. Zi, д.е.- собств. ЗТ без ст-ти ЗТ внутризаводского оборота (ст-ти прод-ии, к-я исп-ся внутри предп-я для пр-ва конечного объема ВП). Yi- всего ЗТ i-го цеха. Qj- общий объем прод-ии в натур-х ед-х. Xi-СБ ед-цы прод-ии/ услуг в стоим. или натур. выр-ии. [взаимное представление прод-ии]

Основные понятия, задачи и методы геометрического программирования.

Геометрическое программ-е – это раздел математического программирования, изучающий определенный класс задач оптимизации. Геометрическое программирование развивалось в связи с задачами инженерного проектирования. При проектировании устройства принимаются во внимание как фиксируемые так и регулируемые параметры. Фиксируемые параметры (стоимость материалов, энергии, спецификация проекта) постоянные для рассматриваемой задачи. Регулируемые (размеры, напряжение, сила тока) устанавливаются инженером. Стремятся установить регулируемые параметры так, чтобы устройство функционировало определенным образом и затраты были бы min.

В техническом проекте общие затраты (g) представляют сумму затрат на отдельные компоненты.

g = U₁+U₂+U₃+…+U_n (1)

Затраты на компоненты часто могут быть выражены

через степенную функцию.

( (2)

C_i – положит. постоянная

a_ij – произвольные вещественные числа

t₁, t₂, …, t_m – ообязательно положительные переменные

Ф-ция g – позином

Для решения задачи минимизации позинома используют метод геометрического прграммирования.

Характерной особенностью геометрического программирования является то, что в нем основную роль играют члены U_i, входящие в позином g.

Обычно в задачах такого типа прежде всего определяются независимые переменные t_j. В геометрическом программировании напротив напротив, сначала устанавливаются min затраты и относител. вклад различн. членов U_i в эти min затраты. Только после этого решается вопрорс об определении оптимальных зн-ний параметров t_ij.

Общая задача геометрического программирования заключается в минимизации позинома g₀(t) при ограничениях.

g_k(t)≤ 1

g_k(t) – позиномы

Степень трудности задачи геометрического программирования определяется следующим соотношением. Степень трудности=n–m–1, (3) где n – число членов U_i во всех позиномах, m – число переменных t_j.

Когда n> m+1, то степень трудности = 0 и решение задачи геометрического программирования сводится к решению с/с линейных уравнений.

Рассмотрим задачу минимизации g₀(t) при отсутствии ограничения. Для решения задачи используется так называемое геометрическое неравенство.

g₀ = U₁+U₂+….+U_n

(4), где σ ₁+σ ₂+…+σ _n = 1 (4а)

Левая часть неравенства (4) – прямая ф-ция g₀(t), а правая часть наз-ся преддвойственной ф-цией (V(σ, t)).

Если исходная функция позином, то мы можем подставить члены U_i, задаваемые формулой (2) в правую часть неравенства (4) и получить преддвойственную ф-цию. (5) (6)

Можно выбрать веса σ _i так, чтобы все показатели D_j обратились в 0 (т.е. выполнялись условия ортогональности). (6а)

Тогда преддвойственная ф-ция V(σ, t) не зависит от переменных t_j и наз-тся она двойственной ф-цией.

(7)

Из неравенства (4) следует, что g₀(t) имеет положительно точную нижнюю грань М.

g₀(t)≥ M≥ V(σ ) (4б)

Из (4б) видно, что М является оценкой сверху двойственной функции для любого выбора весов σ _i, при кот. показатели D_j обращаются в 0. При этом М – это точная верхняя грань для ф-ции V(σ ).

Для определения min – го зн-ния прямой ф-ции g₀(t) необходимо:

1. Записать двойственную ф-цию (7) 2. Составить условие нормализации (4а) и условие ортогональности (6а), а затем решить полученную с/с ур-ний.
3. Найденные значения весов σ _i΄ подставить в двойственную ф-цию V(σ ), т.е. (7) и рассчитать таким образом М. 4. Определить точку t΄ = (t₁΄, t₂΄, …, t_m΄ ), для которой позином g₀(t)=M.

Геометрическое неравенство становится равенством тогда и только тогда, когда:

Поэтому для определения t΄ используем значение членов U_i позинома g₀(t) в минимизирующей точке.

U_i(t) = M*σ _i΄ (8)

Затем рассчитываются t₁΄, t₂΄, …, t_m΄.

Решение общей задачи геометрического программирования. g₀(t)→ min

g_k(t)≤ 1

Чтобы рассматривать ЗЛП с ограничениями, необходимо выразить геометрическое неравенство в более общей форме, где веса не являются нормализованными. Обозначим через ∆ ₁, ∆ ₂, …, ∆ _n ненормализованные веса.

λ = ∆ ₁+∆ ₂+∆ _n

Тогда соотношение между ненормализованными и нормализованными весами следующее:

∆ _i = λ *σ _i

Замена σ _i на ∆ _i/λ в геометрическом неравенстве (4) приводит к:

Это неравенство удобно записать в след. виде:

(4в)

Рассмотрим минимизацию позинома g₀.

g₀ = U₁+U₂+…+U_l

при ограничении g₁≤ 1, где g₁=U_l₊₁+U_l₊₂+…+U_n.

Перефразируем эту задачу как задачу минимизации при ограничении g₁¹≤ 1.

Тогда из (4в) имеем:

(9)

10)

где ∆ ₁, ∆ ₂, …, ∆ _n – положительные числа.

Перемножив геометрическое неравенство (9) и две крайние части неравенства (10), получаем:

(11)

Это неравенство справедливо для любого выбора ∆ _i; удобно принять нормализацию λ ₀ = 1. Тогда неравенство (11) принимает вид:

Определим теперь двойственную функцию как:

где и если ∆ _i подчиняется условиям обращения D_j в ноль, то g₀(t)≥ M≥ V(∆ )(12)

Это неравенство дает оценку снизу для минимума затрат М. В случае р ограничений каждый из них вносит в двойственную ф-цию множитель .

Последовательность решения задачи геометрического программирования с ограничениями: 1. Записать двойственную ф-цию V(∆ )

(13) где λ _к = ∆ _i членов U_i из каждого ограничения. 2. Составить условие нормализации и условие ортогональности.

Условие нормализации выполняется только для тех весов ∆ _i, которые относятся к членам U_i, входящих в позином g₀(t). Условие ортогональности составляется по формуле (6а). Решить полученную с/с ур-ний. 3. Рассчитать зн-ние λ _к, а затем определить величину М, подставив ∆ _i и λ _к в двойственную ф-цию, т.е. в выражение (13). 4. Определить минимизирующую т-ку t′, t΄ = (t₁΄, t₂΄, …, t_m΄ ) Для этого используем след. соотношение:

U_i(t′ ) = M*D_i′ (14)

(15)

Для членов U_i из каждого ограничения.

Связь геометрического программирования с линейным программированием.

В частном случае, когда ф-цию g представляют собой одночлены ЗГП формируется след. образом: Найти минимум для U₁(U₁→ min) при условиях: U₁→ min

U_i≤ G_i (i =2, …, n)

Тогда, используя переменные Z_j. Z_j = lnt_j можно переписать задачи в след. виде: ( Тогда

Тогда задача примет вид:

⇐ Предыдущая 21 22 23 24 252627 28 29 30 Следующая ⇒