Первая основная теорема двойственности и её экономическая интерпретация.

 

Если одна из задач пары двойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая имеет оптимальное решение, причем экстремальные значения линейных форм равны; если же форма одной из задач не ограничена, то и система условий другой задачи противоречива.

 

Симплекс-метод решения одной задачи приводит к решении другой, между переменными исходной и двойственной задач существует строгое и однозначное соответствие.

 

Экономические содержание:

В терминах оценок она м.б сформулирована следующим образом: если задача определения оптимального плана, оптимизирующего выпуск продукции, разрешима, то разрешима и задача определения min оценок ресурсов, причем цена продукта, полученного при реализации оптимального плана, совпадает с суммарной оценкой имеющихся ресурсов.

 

 

Вторая основная теорема двойственности и её экономическая интерпретация.

Для того чтобы допустимые решения , , …, ) и , , …, ) пары двойственных задач являлись оптимальным решением этих задач, необходимо и достаточно выполнение условий:

Т.о., если какое-либо неравенство системы ограничений одной из задач не обращается в точное равенство оптимальным решением этой задачи, то соответствующая компонента оптимального решения двойственной задачи должна равняться нулю; если же какая-либо компонента оптимального решения одной из задач положительна, то соответствующее ограничение в двойственной задаче ее оптимального решения должно обращаться в точное равенство. Другими словами:

1. Если для некоторого j, то

2. Если то

3. Если для некоторого i, то

4. Если то

 

Экономическое содержание:

Следует обратиться к последним утверждениям (1-4).

3, 4: если по оптимальному плану x* производства расход i-го ресурса строго меньше его запаса т.е. если , то оценка единицы этого ресурса равна нулю. Если же оценка i-го ресурса строго больше нуля, т.е. , то расход этого ресурса равен его запасу

Т.о., оценки оптимального плана выступают как мера дефицитности ресурсов. Дефицитный ресурс – использованный полностью по оптимальному плану – имеет положительную оценку, а недефицитный ресурс – использованный не полностью – нулевую.

1, 2: если оценки ресурсов, расходуемых по j-той технологии в единицу времени строго больше цены продукта, производимого по той же технологии, т.е. если , то j-я технология не применяется: . Если же по некоторому оптимальному плану производства j-я технология применяется, т.е. если , то оценка ресурсов, расходуемых по этой технологии в единицу времени, равна цене продукта, производимого по той же технологии:

Т.о., оценки оптимального плана выступают как инструмент определения эффективности отдельной технологии. Данный способ используется только в том случае, когда его реализационная оценка затраченных ресурсов и цена полученной продукции совпадают.

 

 

Третья основная теорема двойственности и её экономическая интерпретация.

Значения переменных в оптимальном решении двойственной задачи представляют собой оценки влияния правых частей , системы ограничений исходной задачи на величину максимума ее ценовой функции:

Т.о., увеличение правой части i-го ограничения приводит к увеличению или уменьшению в зависимости от того, будет ли положительным или отрицательным. При этом скорость изменения определяется величиной .

 

Экономическое содержание:

Двойственные оценки ресурса – это приращение прибыли, приходящееся на единицу приращения этого ресурса. Речь идет о достаточно малых приращениях, т.к. изменение величины в некоторый момент вызовет изменение оценок .

 

Задача оптимального пополнения недостающих ресурсов на предприятии.

 

Если при выполнении оптимального плана какие-либо ресурсы используются полностью, они образуют «узкие места производства», т.е. их нужно заказать дополнительно.

 

Математическая модель

Найти вектор , максимизирующий суммарный прирост прибыли

 

(3.1.)

 

при условии сохранения двойственных оценок ресурсов и структуры производственной программы (по примеру):

 

(3.2.)

 

- оптимальный план исходной задачи

 

- коэффициенты при дополнительных переменных

 

Решение

 

Пусть – вектор дополнительных объемов ресурсов. Для решения будут использоваться найденные ранее двойственные оценки, следовательно, должно выполняться равенство:

(3.4.)

 

Т.к. «узкими местами производства» являются только первый и третий ресурсы, а второй ресурс находится в избытке, то задача состоит в том, чтобы найти вектор , максимизирующий суммарный прирост прибыли:

Для дальнейшего решения неравенства (3.3.) и (3.3.) следует переписать в виде систем:

 

(3.5.) (3.6.)

Получена задача линейного программирования: максимизировать функцию (3.1.) при условиях (3.5.), (3.6.) и (3.4.).

 

Т.к. задача имеет только две переменные, ее можно решить графически.

 

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. I. ОСНОВНАЯ АНТИНОМИЯ РЕЛИГИОЗНОГО СОЗНАНИЯ
2. I. Экономическая сущность налогов, основы налогообложения
3. III. 5. ЭКОНОМИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА
4. III/3. Экономическая оценка земли и направления ее практического использования.
5. ІІ. Экономическая адаптация и внутриполитические процессы
6. Билет 3. Экономическая эффективность. Парето – эффективность
7. Бонитировка почв. Принципы, критерии и методы бонитировки. Метод Фатьянова. Показатели, используемые для бонитировки почв. Экономическая оценка земель.
8. Бухгалтерские, экономические издержки и экономическая прибыль. Альтернативные издержки и понятие нормальной прибыли.
9. Вид управления оптимального по быстродействию, теорема об n-интервалах.
10. ВНЕШНЕЭКОНОМИЧЕСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ
11. Внешнеэкономическая либерализация в различных регионах мира
12. Вопрос 2. Где располагается основная надпись чертежа по форме 1 на чертежном листе?