Применение метода динамического программирования при принятии решений об оптимальном распределений инвестиций.

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 11Следующая ⇒

Задача динамического программирования – многошаговый процесс принятия решений. На каждом шаге определяется экстремум функции только одной переменной.

Задача о распределении капитальных вложений. Указано n пунктов, где требуется построить или реконструировать предприятия одной отрасли, для чего выделено b рублей. – прирост мощности на i-том предприятии, если оно получит капитальных вложений. Требуется найти распределение

Максимизирующее суммарный прирост мощности/прибыли.

Исходные данные:

Таблица 1.Исходные данные

Формулировка задачи:

Производственное объединение состоит их четырех предприятий (n=4). Общая сумма капитальных вложений составляет 700 тыс. руб. (b=700), выделяемые предприятиям суммы кратны 100 тыс. руб. Значения функций приведены в таблице 1. Например, число 49 в первой строке означает, что если третье предприятие получит 600 тыс. руб., капитальных вложений, то прирост прибыли на этом предприятии составит 49 тыс. руб. и т.д.

Найти такой вариант распределения средств капитальных вложений, чтобы прирост прибыли был максимален.

Математическая модель задачи

Примем следующие обозначения:

· n – количество пунктов, где требуется построить или реконструировать предприятия одной отрасли;

· b – общая сумма выделенных средств;

· – количество капитальных вложений, полученных i-тым предприятием;

· – прирост мощности прибыли на i-том предприятии, если оно получит i-e предприятие;

· – прирост мощности (прибыли)

Требуется найти такое распределение капитальных вложений между предприятиями, которое максимизирует прирост мощности или прибыли:

(1.1.)

при ограничении по общей сумме капитальных вложений

при этом будем считать, что все переменные принимают только целые неотрицательные значения.

Решение

Введем параметр состояния – количество средств, выделяемых нескольким предприятиям, и определим функцию состояния – максимальную прибыль на первых k предприятиях, если они вместе получают руб.

Если из рублей k-е предприятие получит рублей, то каково бы ни было это значение, оставшиеся ( рублей следует распределить между предприятиями от первого до k-го так, чтобы была получена максимальная прибыль . Тогда прибыль k предприятий будет равна . Нужно выбрать такое значение между 0 и чтобы эта сумма была максимальной, и мы переходим к рекуррентному соотношению:

для k = 2, 3, 4, …, n. Если же k = 1, то .

Первым этапом решения задачи является составление таблицы 2. Значения складываются со значениями и на каждой северо-западной диагонали отмечается максимальное значение:

Таблица 2.Второе предприятие



			20*
			33*
			45*
			57*
			67*
			75*
			81*

Отмеченными значениями заполняется таблица 3 и указываются соответствующие значения :

Таблица 3.Второе предприятие

Следующий этап – табулирование функции , (таблица 4) и составление таблицы 5:

Таблица 4.Третье предприятие



20*	33*	45*	57*	67*	75*
					81*

Таблица 5.Третье предприятие

В таблице 6 заполняется только диагональ для значения . Максимальное значение на этой диагонали следовательно четвертому предприятию должно быть выделено

200 тыс. руб.

Таблица 6. Четвертое предприятие





							103*

На долю остальных предприятий остается 700 – 200 = 500 тыс. руб. Согласно таблице 5 третьему предприятию должно быть выделено:

0 тыс. руб.

Аналогично находим значение для второго предприятия:

тыс.руб.

На долю первого предприятия остается:

тыс. руб.

Таким образом, наилучшим является следующее распределение капитальных вложений по предприятиям:

Максимальный прирост прибыли составит (согласно таблице 1):

тыс. руб.

10. Оптимизация плана распределения ресурсов между производственными подразделениями с помощью двойственных оценок при двухуровневой системе управления.

Исходные данные:

В – объем ресурсов:

А – нормы расходов на единицу продукции каждого вида:

С – удельная прибыль по каждому виду продукции:

Формулировка задачи:

Предприятие имеет три филиала, каждый из которых производит по два вида продукции, требующей одних и тех же видов ресурсов. Каждая фабрика располагает двумя видами ресурсов (матрицы , суммарные количества которых равны 242 ед. и 185 ед. соответственно.

Известны нормы расходов для каждого вида продукции отдельно по филиалам (матрицы ), а также удельная прибыль по каждому виду продукции по филиалам (матрицы ).

Требуется перераспределить ресурсы между филиалами таким образом, чтобы суммарная прибыль по предприятию была максимальной.

Модель задачи:

Найтивекторы (распределение ресурсов между филиалами) и оптимальный план:

)

Максимизирующий целевые функции:

Соответственно, и суммарную прибыль L , при следующих ограничениях:

И при условии неотриательности переменных:

Решение задачи:

Составляем локальные задачи:

(4.1.) (4.2.) ` (4.3.)

Решение задач (4.1.) – (4.3.) с помощью Excel:

Таблица 4.1. Решение локальной задачи (1)

Изделия	Изд1	Изд2	Целевая функция/объем продаж
Цена за единицу
План выпуска

Двойственные оценки

Таблица 4.2.Решение локальной задачи (2)

Изделия	Изд1	Изд2	Целевая функция/объем продаж
Цена за единицу
План выпуска	13, 4		720, 4

Двойственные оценки:

Таблица 4.3.Решение локальный задачи (3)

Изделия	Изд1	Изд2	Целевая функция/объем продаж
Цена за единицу
План выпуска	5, 25		433, 5

Двойственные оценки

Получены следующие оптимальные планы по филиалам:

Максимальные прибыли по каждому филиалу:

Общая прибыль по предприятию:

Двойственные оценки по предприятиям:

Разница между двойственными оценками:

· Для первой пары филиалов составляет 9, 2 ед.;

· Для второй пары филиалов составляет 16, 7 ед.

Разница для второй пары максимально, следовательно, второй и третий филиалы выбираются для перераспределения.

Модель объединенной задачи (задача (2) + задача (3)):

(4.4.)

Решение задачи (4.4.) в Excel

Таблица 4.4. Решение объединенной задачи (4.4.) (2) +(3)

Изделия	Изд1	Изд2	Изд3	Изд4	Целевая функция
Цена за единицу
План выпуска	18, 6			11, 2	1344, 4

Двойственные оценки:

Получено решение:

Переменная , что означает, что первое изделие в третьем филиале выпускать не следует.

Двойственные оценки для объединенной задачи:

Распределение ресурсов принимает следующие значения:

Объем ресурсов в первом филиале остается неизменным.

Прибыль по всему предприятию увеличилась и составляет L = 1344, 5 + 550 = 1894, 5 д. ед.

Следующий этап – распределение ресурсов между первым и вторым филиалами, для которых разница между двойственными оценками составляет 4, 6. Объединенная задача для этих филиалов будет иметь вид:

(4.5.)

Решение задачи (4.5.) в Excel

Таблица 4.5. Решение объединенной задачи (4.5.) (1) +(2)

Изделия	Изд1	Изд2	Изд3	Изд4	Целевая функция
Цена за единицу
План выпуска			25, 04	18, 39	1666, 082

Двойственные оценки

Получено решение:

Переменные что означает, что в первом филиал выпускать продукцию второго вида не следует.

Двойственные оценки для объединенной задачи:

Разница между двойственными оценками между вторым и третьим предприятием составляет 4, 9.

Распределение ресурсов принимает следующий вид:

Объем ресурсов в третьем филиале остается неизменным.

Прибыль по всему предприятию увеличилась и составляет L = 1666, 08 + 436, 8 = 2103, 6д. ед..

По решению двух объединенных задач, общая прибыль по предприятию увеличилась на 399, 6 единиц. Продолжая выполнять последовательные шаги оптимизации, мы будем увеличивать суммарную прибыль шаг за шагом. Процесс продолжается до тех пор, пока двойственные оценки задачи не станут примерно одинаковыми.

11. Применение метода динамического программирования для оптимального управления запасами и производством.

В лекциях не было!!! Обещал не давать!

12. Модель экономически выгодных размеров заказываемых партий (модель ЭВРП). Формула Уилсона, характеристическое свойство оптимального размера партии.

В лекциях не было!!! Обещал не давать!

13. Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг. Математическая модель задачи, её решение и анализ.

В лекциях не было!!! Обещал не давать!

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 8 9 10 Следующая ⇒