Решение дифференциальных уравнений

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 6Следующая ⇒

Дифференциальные уравнения можно решать, используя интеграторы и дифференциаторы на ОУ. Так как с дифференциаторами связаны проблемы шума, обычно используются интеграторы. Они также позволяют выбрать любые требуемые начальные условия.

Типичное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид:

где fl (t)-силовая или управляющая функция, подаваемая на систему, а К1, К2, К3-постоянные. Задача состоит в определении х(t)-реакции системы на силовую функцию.

Рис. 1.20. RLC-цепь.

RLC-цепь (рис. 1.20) является известной электрической цепью, которую можно описать дифференциальным уравнением второго порядка, а именно:

где Vвх (t) - управляющее напряжение.

Если в (1.13) ввести заряд q(i = dq/dt), получим

(1.13) имеет тот же самый вид, что и (1.12). Для решения (1.12) перепишем его таким образом, чтобы в левой части было только

Отсюда видно, что вторая производная является суммой управляющей функции, члена, зависящего от х, и его первой производной.

Рис. 1.21. Использование ОУ для решения дифференциального уравнения.

Схема на ОУ для решения этого уравнения показана на рис. 1.21. На вход суммирующего и масштабирующего усилителя подаются f1(t), x(t) и dx/dt. Он масштабирует и суммирует эти функции (см. разд. 1.3.5), давая в результате d2x/dt2. Это значение затем последовательно поступает на интеграторы на ОУ для получения dx/dt и x(t). Иногда для коррекции знака функции нужно добавить к схеме на рис. 1.21 инвертирующий ОУ.

Пример 1.15

Дифференциальный усилитель

Дифференциальный усилитель используется для усиления разности между двумя входными напряжениями. Во многих случаях эта разность мала и существует при наличии большого синфазного сигнала, поэтому бывает необходимо вводить сильное ослабление синфазного сигнала.

Виртуальное заземление обусловливает такое же напряжение на входе -IN. Следовательно, ток через резисторы, подключенные ко входу —IN, равен

i = (V1 -U_(-IN) )/R1 = (V1 – V_(+IN)) /R1

и Uвых= U_(-IN) — iR2,

(1.16)

Из (11.16) следует, что выходное напряжение дифференциального усилителя равно разности входных напряжений, умноженной на коэффициент R2/R1.

Измерительные усилители

Измерительный усилитель обычно используется для усиления небольших дифференциальных сигналов при наличии большого синфазного сигнала. При этом он должен иметь очень высокое входное сопротивление, чтобы не влиять на источники сигналов.

Измерительные усилители часто используются для усиления выходного напряжения преобразователей. Во многих случаях преобразователи включаются как одно из плеч мостовой схемы (рис. 1.25). Сопротивление преобразователя изменяется в зависимости от колебаний температуры или давления, что в свою очередь вызывает изменение напряжения между точками

Рис. 1.25. Пример использования мостовой схемы с преобразователем в качестве источника сигнала в метрополитене [2] (© и разрешение фирмы John Wiley & Sons, Inc.).

А и В. Изменение напряжения будет усиливаться дифференциальным усилителем (рис. 1.24), но заметим, что в данном случае входное сопротивление дифференциального усилителя ограничивается R1. Если требуется высокое входное сопротивление, можно использовать измерительный усилитель, показанный на рис. 1.26. Это дифференциальный усилитель, в котором используется пара повторителей напряжения. Здесь входное сопротивление определяется входным сопротивлением повторителей напряжения и может быть очень высоким, особенно если повторители напряжения имеют на входе ОУ на полевых транзисторах.

Практическая схема измерительного усилителя представлена на рис. 1.27. Входные усилители A1 и А2 имеют некоторый дифференциальный коэффициент усиления, тогда как коэффициент усиления синфазных входных напряжений равен единице. Эти напряжения не поступают на вход усилителя

Рис. 1.26. Измерительный усилитель, с и разрешение фирмы

Рис. 1.27. Практическая схема измерительного усилителя (предоставлено фирмой Texas Instruments, Inc.).

Aз как дифференциальные сигналы, потому что если они имеют равные уровни на обоих концах резистора R2, они взаимно компенсируются и не поступают на вход усилителя А3. Потенциометром R7 осуществляется регулировка для лучшего подавления синфазного сигнала, а потенциометр усилителя А3 используется для установки нуля на выходе.

Пример 1.16

Предположим, что все резисторы (рис. 11.25), включая сопротивление преобразователя, имеют сопротивление по 500 Ом, и что Vs = 10 В. Тогда напряжение VAB=0 В и выходное напряжение тоже будет равно 0 В. Теперь предположим, что сопротивление преобразователя изменилось до 525 Ом вследствие изменения измеряемой температуры или давления. Предположим также, что R2 ограничено 1 МОм. Если выходное напряжение усилителя равно при этих условиях 5 В и используется дифференциальный усилитель, определить его коэффициент усиления и входное сопротивление.

Логарифмические усилители

Логарифмический усилитель имеет на выходе напряжение, пропорциональное натуральному логарифму входного напряжения. Чтобы получить эту зависимость, необходимо включить в схему логарифмический элемент. На

рис. 1.28 показаны два логарифмических усилителя. На рис. 1.28, а в качестве логарифмического элемента используется диод. Обычный диод типа 1N914 будет осуществлять логарифмирование выше некоторого порогового значения. На рис. 1.28, 6 вместо диода используется транзистор с общей базой. Напряжение перехода база-эмиттер является логарифмическим элементом этой схемы. Транзистор используется чаще, потому что для него легче выполнить температурную компенсацию схемы. В любой схеме напряжение насыщения выходного диода равно примерно 0, 6 В, поэтому для правильной работы выходное напряжение не должно превышать этой величины. Если требуются более высокие выходные напряжения, за логарифмической цепью должен следовать усилитель.

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 Следующая ⇒