Интегрирование дифференциальных уравнений

Если решение дифференциального уравнения не выражается через элементарные функции или способ его решения слишком сложен, то для решения дифференциальных уравнений используются степенные ряды.

Рассмотрим два способа решения дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

Пусть требуется решить задачу Коши для уравнения

при заданных начальных условиях

□ Способ последовательного дифференцирования

Поясним на конкретном примере.

Пример 2.8. Найти три первых члена разложения в степенной ряд частного решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего заданным начальным условиям .

Р е ш е н и е.

Так как , то решение уравнения будем искать в виде разложения в ряд Маклорена:

Подставив начальные условия y(0)=0, y’(0)=1 в исходное дифференциальное уравнение, найдем

, т.е. y’’(0)=0.

Продифференцируем исходное уравнение , получим

используя начальные условия, вычислим

, .

Продолжая процесс дифференцирования, получим:

, .

Тогда решение уравнения будет иметь вид

□ Способ неопределенных коэффициентов

Для иллюстрации данного метода возьмем то же самое дифференциальное уравнение

, y(0)=0, y’(0)=1.

Так как , решение уравнения будем искать в виде ряда с неопределенными коэффициентами следующего вида:

(2.25)

Продифференцируем равенство (2.25)

Используя начальные условия, получим:

, т.е. .

Для определения остальных коэффициентов дифференцируем ряд (2.25) дважды (так как уравнение второго порядка):

Полученные выражения для подставим в исходное уравнение:

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях равенства, имеем:

, , ,

, , .

Тогда решение уравнения будет иметь вид:

Ряды Фурье

Многие процессы, происходящие в природе и технике, обладают свойствой повторяться через определенные промежутки времени. Такие процессы называют периодическими. Изучение периодических процессов математически описывается периодическими функциями.

Функция , определенная в области D, называется периодической, если существует такое число , что при любом значении выполняется равенство

Число T называют периодом функции.

Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции и с периодом .

Простейший периодический процесс – гармоническое колебание - описывается периодическими функциями и . Более сложные периодические процессы описываются функциями, составленными из конечного или бесконечного числа слагаемых вида и .

3.1. Тригонометрический ряд Фурье для функций с периодом 2π

Функциональный ряд вида

(3.1)

называется тригонометрическим рядом.

Числа называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Ряд (3.1) часто записывается также следующим образом:

.

Каждое слагаемое (n=1, 2, …) тригонометрического ряда – периодическая функция периода 2π. Если тригонометрический ряд сходится на отрезке длины периода 2π, то он сходится на всей числовой оси, и его сумма также является периодической функцией с периодом . Если функция является суммой тригонометрического ряда, т.е.

,

то говорят, что функция разлагается в тригонометрический ряд.

Пусть - периодическая функция периода 2π, непрерывная на отрезке [-π; + π ] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода.

Рядом Фурье функции называется тригонометрический ряд

, (3.2)

коэффициенты которого определяются по формулам:

, (3.3)

, (3.4)

. (3.5)

Коэффициенты тригонометрического ряда, определенные по формулам (3.3), (3.4) и (3.5), называются коэффициентами Фурье функции .

Если ряд Фурье функции сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция разлагается в ряд Фурье.

Сходимость ряда Фурье к заданной функции имеет место для довольно широкого класса функций. Однако нельзя утверждать, что ряд Фурье функции сходится к этой функции. Этот ряд может для некоторых значений x оказаться расходящимся, но если даже он и сходится, то это еще не означает, что его сумма равна .

Достаточные условия сходимости ряда Фурье и, следовательно, возможность разложения функций в ряд Фурье даются теоремой Дирихле. Прежде чем формулировать эту теорему, введем два определения.

Функция называется кусочно-монотонной на отрезке [a; b], если этот отрезок можно разделить на конечное число интервалов, внутри каждого из которых функция либо только возрастает, либо только убывает, либо постоянна.

Функция называется удовлетворяющей условиям Дирихле на отрезке [a; b], если:

1) непрерывна на отрезке [a; b] или имеет на нем конечное число точек разрыва первого рода;

2) кусочно-монотонна на отрезке [a; b].

Теорема Дирихле (достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье).

Теорема 3.1.

Пусть периодическая функция с периодом 2π удовлетворяет на

отрезке [-π; + π ] условиям Дирихле.

Тогда ряд Фурье, составленный для этой функции, сходится во всех

точках числовой оси.

При этом:

1) в каждой точке непрерывности функции сумма ряда S(x)

равна значению функции в этой точке:

;

2) в каждой точке разрыва функции сумма ряда равна среднему

арифметическому значению пределов функции

при слева и справа, т.е.

;

3) в точках и (на концах отрезка) сумма ряда равна

Пример 3.1. Разложить в ряд Фурье функцию периода , заданную на интервале (-π; π ) формулой

Р е ш е н и е.

График функции имеет вид

Рис.5

Эта функция удовлетворяет условиям Дирихле и, следовательно, может быть разложена в ряд Фурье. Применяя формулы (3.3), (3.4), (3.5), вычислим коэффициенты Фурье: