Дифференциальные уравнения и их решение

Дифференциальные уравнения и их решение

1. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, функцию и производные (или дифференциалы) этой функции.

Мы будем рассматривать уравнения, где неизвестная функция является функцией одной переменной. Такие уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Уравнение вида называется обыкновенным дифференциальным уравнением п-го порядка. При этом порядком уравнения называется максимальный порядок входящей в него производной.

Функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество, называется решением дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида , связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию и ее производную.

Частным решением такого уравнения является любая функция y = f (x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество для всех допустимых значений переменной.

Множество всех решений уравнения называется его общим решением, или общим интегралом. Оно имеет вид y=f(x, С) – такой, что любое частное решение получается при некотором значении произвольной постоянной С, и наоборот, любое фиксированное значение С дает функцию, являющуюся решением уравнения.

Задача Коши (задача с начальным условием). Пусть функция определена в области D, точка . Требуется найти решение уравнения

удовлетворяющее начальному условию

(начальное условие часто записывают в форме ).

Теорема Коши (существования и решения задачи Коши). Если в области D функция непрерывна и имеет непрерывную частную производную , то для любой точки в окрестности точки x₀ существует единственное решение задачи Коши.

Для существования решения в окрестности точки x₀ достаточно только непрерывности функции ; условие непрерывности обеспечивает единственность этого решения.

Пример

Рассмотрим процесс возрастания денежной суммы, положенной в банк, при условии начисления сложных процентов в год. Пусть обозначает начальную денежную сумму, а – денежную сумму по истечении лет. Если бы проценты начислялись один раз в год, мы бы имели

где =0, 1, 2, 3,.. Если бы проценты начислялись два раза в год (по истечении каждого полугодия), то мы имели бы

где =0, 1/2, 1, 3/2,.. Вообще, если проценты начисляются раз в год и принимает последовательно значения , то

то есть . Если обозначить , то предыдущее равенство перепишется так: .

Неограниченно увеличивая (при , ), мы в пределе приходим к процессу возрастания денежной суммы при непрерывном начислении процентов: , то есть при непрерывном изменении закон возрастания выражен дифференциальным уравнением 1-го порядка с разделяющимися переменными. Отметим, что здесь – неизвестная функция, – независимая переменная, – постоянная. Решение данного уравнения имеет вид , или , где через обозначено .

Учитывая начальное условие , найдем : , следовательно, . Решение имеет вид

Однородные уравнения

Рассмотрим еще один класс уравнений, которые путем подстановки сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными.

Функция называется однородной измерения (степени) m (mÎ R), если . Так, x³ – 3xy² + +4y³ – однородная функция степени 3; ln x – ln y – однородная функция нулевой степени.

Дифференциальные уравнения , правая часть которых является однородной функцией нулевой степени, называются однородными уравнениями. Если в некоторой области D Ì R²xy функции и непрерывные и однородные с одним измерением, то дифференциальное уравнение первого порядка является однородным дифференциальным уравнением в области D.

Однородное уравнение, которое можно записать в форме

может быть сведено к уравнению с разделяющимися переменными для функции . При этом и уравнение для t примет вид: уравнение с разделяющимися переменными.

6. К однородному уравнению, в свою очередь, можно привести уравнение вида

при условии . При этом производится параллельный перенос в плоскости (х, у) – такой, чтобы начало координат совместилось с точкой (x₀; y₀)пересечения прямых ax + by + c = 0 и a₁x + b₁y + c₁ = 0. Тогда в

новых координатах уравнение будет выглядеть как

, или – однородное уравнение.

Типовой пример

Найти общий интеграл уравнения .

► Разделим обе части равенства на х:

и сделаем замену . Тогда общий интеграл уравнения. ◄

Типовой пример

Найти общее решение: .

► Так как функции и — однородные второго измерения

то данное уравнение – однородное. Сделаем замену: где – новая неизвестная функция. . Тогда , . Далее имеем , .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:

, , .

В последнее выражение вместо подставим значение .

Получим общий интеграл: . Выразив отсюда , найдем общее решение исходного уравнения: . ◄

Типовой пример

Найти общее решение уравнения .

► Решим систему уравнений . Тогда , и в новых переменных (с учетом того, что ) получаем уравнение .

Замена приводит к уравнению

После упрощения и обратной замены получаем общее решение в виде:

. ◄

Уравнение Бернулли

К линейному можно привести и уравнение вида называемое уравнением Бернулли. Для этого вводится новая функция , для которой . Разделим обе части уравнения (9) на у ^п:

или линейное уравнение для функции z.

Типовой пример

Найти общий интеграл уравнения .

► Разделим обе части равенства на у²: и сделаем замену: . Решим уравнение для z: . Однородное уравнение:

. Подставим полученные выражения в неоднородное уравнение: ◄

Уравнения Лагранжа и Клеро

Уравнением Лагранжа называется дифференциальное уравнение, линейное относительно и , коэффициенты которого являются функциями от :

Для нахождения общего решение применяется подстановка :

Дифференцируя это уравнение c учетом того, что , получаем

Если решение этого (линейного относительно ) уравнения есть то общее решение уравнения Лагранжа может быть записано в виде

Уравнением Клеро называется уравнение первой степени (то есть линейное) относительно функции и аргумента вида

Вообще говоря, уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа. С учетом замены уравнение принимает вид

Это уравнение имеет два возможных решения:

или

В первом случае

Видно, что общий интеграл уравнения Клеро представляет собой семейство прямых линий. Во втором случае решение в параметрической форме выражается системой уравнений

Исключая параметр , получаем второе решение . Это решение не содержит произвольной постоянной и не получено из общего решения, следовательно, не является частным решением. Это решение будет являться особым интегралом.

Уравнения высших порядков

1. Дифференциальное уравнение называется уравнением п-го порядка. Его общее решение содержит п произвольных постоянных: , а решение задачи Коши требует задания при х = х₀ значений функции у и ее производных до (п – 1)-го порядка включительно:

2. Если в дифференциальное уравнение не входит явным образом искомая функция у, то есть уравнение имеет вид

то можно понизить его порядок на k единиц, сделав замену: Тогда

Типовой пример

Найти общее решение уравнения

► Пусть Тогда Теперь трижды проинтегрируем полученное равенство по х:

◄

3. Если дифференциальное уравнение не содержит явно независимую переменную х: то можно понизить его порядок на единицу, считая, что Тогда , то есть вторая производная у выражается через первую производную р и т.д.

Типовой пример

Решить задачу Коши для уравнения , если у(1)=2, у’(1)=2.

► Замена приводит к уравнению откуда:

а) р = 0, у’ = 0, у = С, но у’ (1)=2 ≠ 0, значит, в этом случае решения нет;

б)

Тогда

Следовательно, искомое частное решение имеет вид

◄

ТЕОРЕМА

Если на отрезке коэффициенты и правая часть уравнения непрерывны, то на всем этом отрезке существует, и притом единственное, решение дифференциального уравнения с начальными условиями , , …, , где .

Если в данном уравнении , то уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) n-го порядка. Обозначим левую часть линейного дифференциального уравнения и назовем линейным дифференциальным оператором n-го порядка.

ТЕОРЕМА

Пусть функции являются решениями ЛОДУ n-го порядка с непрерывными коэффициентами. Тогда для того, чтобы система была линейно независима на , необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского

для любого .

Типовой пример

Исследовать на линейную зависимость систему функций .

► Составим определитель Вронского:

Следовательно, система функций – линейно независима. ◄

Типовой пример

Исследовать на линейную зависимость следующую систему функций

► Составим определитель Вронского:

Следовательно, система функций - линейно независима. ◄

Типовой пример

Исследовать на линейную зависимость систему функций .

► Аналогично, для любого .

Следовательно, система функций – линейно независима. ◄

Таким образом, определитель Вронского играет определяющую роль в выяснении линейной зависимости системы функций.

Если определитель Вронского построен на частных решениях дифференциального уравнения, то справедлива формула Лиувилля – Остроградского

где – первый коэффициент дифференциального уравнения.

Для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка фундаментальная система состоит из двух линейно независимых решений ; его общее решение находится по формуле .

Если для такого уравнения известно одно частное решение , то второе его решение, линейно независимое с первым, можно найти по формуле, являющейся следствием формулы Лиувилля – Остроградского:

Типовой пример

Найти общее решение дифференциального уравнения , проверив, что одно его частное решение имеет вид .

► Разделим обе части данного уравнения на :

Здесь коэффициенты и непрерывны при , следовательно, решение дифференциального уравнения существует в области . Подставляя , получим тождество, поэтому является решением этого уравнения. Найдем второе частное решение по формуле. Сначала вычислим

Произвольную постоянную при вычислении неопределенного интеграла можно не писать, так как нас интересует лишь одно частное решение.

Теперь найдем

Заметим, что подынтегральное выражение в последнем интеграле является производной от функции , поэтому

(Постоянную здесь также можно не писать.)

Таким образом, второе частное решение исходного уравнения имеет вид

Проверим, что два полученных решения линейно независимы. Вычислим определитель Вронского:

при .

В рассматриваемой области , откуда следует, что решения и линейно независимы. Тогда общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид

где и - произвольные постоянные.◄

Решить задачу Коши.

, , ,

► Составляем характеристическое уравнение и решаем его:

, , , , .

Общее решение исходного уравнения имеет вид

Находим:

Используем начальные условия:

Решаем систему:

, , , .

Решение задачи Коши имеет вид

. ◄

Частного решения

ТЕОРЕМА (об общем решении ЛНДУ n-го порядка)

Общее решение ЛНДУ есть сумма общего решения ЛОДУ и какого-либо частного решения неоднородного уравнения:

, где – ФСР.

Пусть требуется найти общее решение неоднородного линейного уравнения n-гопорядкас постоянными коэффициентами

Его решение представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. При некоторых специальных видах неоднородности это частное решение можно подобрать по известной схеме.

1) Если где Р_п (х) – многочлен степени п, то частное решение уравнения (19)

если число k не является корнем характеристического уравнения, или

если k – корень характеристического уравнения кратности s. Коэффициенты А₀, А₁, …, А_п можно найти методом неопределенных коэффициентов, подставив у_ч и его производные нужных порядков в уравнение.

2) При , если числа a±bi не являются корнями характеристического уравнения, частное решение имеет вид

где многочлены с неопределенными коэффициентами одной и той же степени l = max(m, n).

Если же a±bi – корни характеристического уравнения кратности s, то

Типовой пример

Найти общее решение уравнения

► Найдем общее решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет корни 0 (кратности 1) и 1 (кратности 2). Следовательно, Перейдем к поиску частного решения. Поскольку число 1 – коэффициент при х в показателе степени правой части уравнения – является корнем характеристического уравнения кратности 2, ищем у_ч в виде (21) при s = 2, n = 0:

y_ч=Ax²e^x.

Тогда

Подставим полученные выражения в исходное неоднородное уравнение:

Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид

◄

3) Если правая часть уравнения представляет собой сумму функций, для каждой из которых можно подбором найти частное решение:

то частное решение такого уравнения является суммой частных решений уравнений и

Типовой пример

Найти общее решение уравнения

► Характеристическое уравнение: Общее решение однородного уравнения: . Найдем частное решение, соответствующее неоднородности f₁(x) = 3x. Так как λ = 0 – корень характеристического уравнения, частное решение имеет вид (21)

y_ч₁ = x (Ax + B) = Ax² + Bx.

Поскольку при подстановке в уравнение получаем 2A – 2Ax – B = 3x, откуда 2A – B = 0, - 2A = 3. Решая полученную систему, находим:

Для f₂(x) = sin 2x y_ч₂ задаем по формуле (22) при a = 0, b = 2, l = 0:

y_ч₂=Asin2x+Bcos2x,

Подставим в уравнение:

Отсюда В = 0, 1, А = - 0, 2,

у_ч₂ = - 0, 2 sin2x + 0, 1 cos2x.

Таким образом, найдено общее решение исходного уравнения:

◄

Типовой пример

Найти общее решение .

► Находим корни характеристического уравнения:

Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид

( ; – фундаментальная система решений): .

Правая часть уравнения представляет собой сумму функций и . Для нахождения частных решений, соответствующих этим функциям, составляем:

для

S=1 (кратность числа среди корней характеристического уравнения) ;

для

(кратность числа среди корней характеристического уравнения).

т.е. – частное решение нелинейного уравнения с неизвестными коэффициентами. Подставляем в исходное уравнение:

Для выполнения тождества необходимо равенство коэффициентов:

Поэтому Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид

а его общее решение –

◄

Пример

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка находят применение при изучении, например, экономической модели паутинообразного типа с запасами товаров, в которой скорость изменения цены зависит от величины запаса. Пусть спрос и предложение являются линейными функциями цены, то есть , где – константы, .

В случае непрерывного анализа запасы подобно переменным непрерывно изменяются во времени. По определению, если запасы в момент времени составляют , то , и .

Пусть в каждый момент времени продавцы устанавливают цену так, что скорость возрастания пропорциональна разности запасов по сравнению с заданным уровнем :

где есть постоянная положительная величина. Дифференцируя это равенство, получим

то есть ускорение возрастания цены пропорционально скорости уменьшения запасов.

Подставляя

Это уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

Найдем общее решение этого уравнения. Характеристическое уравнение однородного уравнения имеет вид

В обычном случае , член – положителен. Введем обозначение: . Тогда корни характеристического уравнения . Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид

Частное решение неоднородного уравнения (правая часть которого равна константе ) также ищем в виде константы . Подставляя в уравнение, получим . Таким образом, общее решение уравнения имеет вид

+ .

Первые два слагаемых можно преобразовать как , где – вспомогательный аргумент ( ), , а третье слагаемое имеет смысл цены равновесия . Следовательно, получен закон изменения цены во времени:

Цена колеблется относительно уровня равновесия _. Амплитуда и фаза колебаний устанавливаются начальными условиями.

Пример

Пусть национальный доход возрастает со скоростью, пропорциональной его величине:

и пусть, кроме того, дефицит в расходах правительства прямо пропорционален доходу (при коэффициенте пропорциональности ). Дефицит в расходах приводит к возрастанию национального долга :

Здесь мы считаем переменные и непрерывными и дифференцируемыми функциями времени . Имеем систему дифференциальных уравнений

Пусть начальные условия имеют вид и при . Из первого уравнения мы получаем, учитывая начальные условия, . Подставляя во второе уравнение, получаем ^. Общее решение этого уравнения имеет вид , где =const, которую мы определим из начальных условий. Подставляя начальные условия в полученное решение, мы получаем .

Итак, окончательно , то есть национальный долг возрастает с той же относительной скоростью , что и национальный доход.

ВОПРОСЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО КОНТРОЛЯ

1. Дайте определения дифференциального уравнения первого порядка и его общего и частного решений (интеграла). Сформулируйте задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка и укажите ее геометрический смысл.

2. Дайте геометрическое истолкование дифференциального уравнения первого порядка, выясните геометрический смысл общего и частного решений.

3. Сформулируйте теорему о существовании и единственности
решения дифференциального уравнения первого порядка.

4. Дайте определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите примеры.

5. Дайте определение однородного дифференциального уравнения первого порядка. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите пример.

6. Дайте определение линейного дифференциального уравнения первого порядка. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите пример.

12 3 4 5