Тема №4: Средние величины и изучение вариации

1. Однородность и вариация в массовых явлениях

2. Средние величины

3. Структурные характеристики вариационного ряда

4. Показатели вариации

Однородность и вариация в массовых явлениях

Массовые явления обладают как общими для всей совокупности, так и индивидуальными свойствами. Различия между индивидуальными явлениями называется вариацией. Взаимодействие элементов совокупности ведет к ограничению вариации, хотя бы части их свойств. Эта тенденция обуславливает применением средних величин в теории и на практики. Замена множества индивидуальных значений признака средней величиной, характеризующей всю совокупность является обобщающая функция средней. При этом варианту можно представить следующим образом: Δ x_i, где xi- варианта, с - общность, которая характеризуется средними величинами, Δ x_i - индивидуальность, которая характеризуется показателями вариации.

Широкое применение средних объясняется тем, что они имеют ряд положительных свойств, делающих их незаменимыми в анализе явлений и процессов общественной жизни.

Средние величины

Средняя, являясь обобщенной характеристикой всей статистической совокупности, должна ориентироваться на определенную величину, связанную со всеми единицами этой совокупности.

Эту величину можно представить в виде функции: F(x1, x2, x3,..., xn)

Так как данная величина в большинстве случаев отражает реальную экономическую категорию, ее называют определяющим показателем.

Если в F(x1, x2, x3,..., xn) все величины x1, x2,..., xn заменить их средней величиной *, то значение функции должно остаться прежним:

Раскрытие функции: F(x1, x2, x3,..., xn) приводит к построению разных средних, наиболее широко используются степенные средние вида: .

Придавая z различные значения получим различные виды средних:

Z = -1 - средняя гармоническая;

Z=0 - средняя геометрическая;

Z=1 - средняя арифметическая;

Z=2 - средняя квадратическая.

Все средние связаны правилом, которое называется правилом мажорантности средних:

X_h< =X_g< =X_a< =X_q

Рассмотренные средние называются простыми и применяются при изучении вариации признака от объекта к объекту и связи признаков. Если средняя величина служит для характеристики обобщенных показателей системы, то используются не простые, а взвешенные средние.

Обобщающая формула для взвешенных средних следующая - , где f - веса вариант, частоты или частности.

; ; ; .

Наиболее часто в качестве средних используется средняя арифметическая (при вычислении которой общий объем признаков совокупности остается неизменным).

Свойства арифметической средней величины.

1. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна нулю .

2. Если каждое индивидуальному значение признака умножить или разделить на постоянное число, то и средняя увеличится или уменьшится во столько же раз , где а - постоянное число.

3. Если к каждому индивидуальному значению признака прибавить или из каждого значения вычесть постоянное число, то и средняя величина возрастет или уменьшится на столько же .

4. Если веса средней взвешенной умножить или разделить на постоянное число, средняя величина не изменится .

Следствия

- Вместо абсолютных значений весов можно использовать доли или проценты.

- Если все веса равны, то средняя арифметическая равна средней арифметической взвешенной.

5.Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа .

Правила выбора средней.

1. Средняя арифметическая используется, если известны численные значения знаменателя формулы, а значение числителя могут быть получены произведением.

2. Средняя гармоническая используется, если известны числовые значения числителя, а значения знаменателя могут быть получены как частные от деления показателя.

3. Средняя геометрическая применяется, если необходимо найти значение признака, качественно равноудаленного от максимального и минимального значения.

4. Средняя квадратическая применяется для измерения вариации признаков совокупности, что обусловлено 5 свойством средней арифметической.

5. Средняя хронологическая используется, если данные представлены не за какой либо период, и по состоянию на дату.

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 Следующая ⇒