АЛГЕБРА ЛОГИКИ В ЦИФРОВОЙ ВЫЧЕСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ

Алгебра логики устанавливает основные законы формирования и преобразования логических функций. Она позволяет представить любую сложную функцию в виде композиции простейших функций.

Основное понятие алгебры логики – высказывание. Высказывание – некоторое предложение, о котором можно утверждать, что оно истинно или ложно. Например, высказывание «Земля – это планета солнечной системы» истинно, а о высказывании «на улице идет дождь» можно сказать, истинно оно или ложно, если указаны дополнительные сведения о погоде в данный момент.

Любое высказывание можно обозначить символом х и считать, что х = 1, если высказывание истинно, а х = 0 – если высказывание ложно.

Логическая переменная – величина х, которая может принимать только два значения: х = {0, 1}.

Высказывание абсолютно истинно, если соответствующая ей логическая величина принимает значение х = 1 при любых условиях. Пример абсолютно истинного высказывания – высказывание «Земля – планета солнечной системы».

Высказывание абсолютно ложно, если соответствующая ей логическая величина принимает значение х=0 при любых условиях. Например, высказывание «Земля – спутник Марса» абсолютно ложно.

Логическая функция (функция алгебры логики) – функция f(x1, х2, ... хn), принимающая значение, равное нулю или единице на наборе логических переменных x1, х2, ... хn.

Логические функции от одной переменной представлены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Логические функции от одной переменной

x	f1(x)	f2(x)	f3(x)	f4(x)

В соответствии с введенными определениями функция f1(x) является абсолютно истинной (константа единицы), а функция f2(x) – абсолютно ложной функцией (константа нуля).

Функция f3(x), повторяющая значения логической переменной, – тождественная функция [f3(x)=x], а функция f4(x), принимающая значения, обратные значениям х′, – логическое отрицание, или функция HE[f4(x)= x′ ].

Логические функции от двух переменных представлены в табл. 1.2.

Дизъюнкция(логическое сложение)– функция f7(x1, x2). Дизъюнкция – функция, которая истинна тогда, когда истинны или x1, илих2, или обе переменные.

Таблица 1.2

Логические функции от двух переменных

Функция	x1 x2	Примечание
f0					f0 – абсолютная ложь
f1					x1 x2 (конъюнкция)
f2					x1 2 (запрет x 2)
f3					x1 2 x1 x2 = x1 (переменная x1)
f4					1 x2 (запрет x1)
f5					1 x2 x1 x2 = x2 (переменная x2)
f6					x1 x2 (сложение по модулю 2)
f7					х1 x2 (дизъюнкция)
f8					x1 ↓ x2 (функция Пирса)
f9					x1 ≡ x2 (равнозначность)
f10					2 x1 2= (переменная )
f11					x2→ x1 (импликация)
f12					1 2 x1 2= (переменная )
f13					х1→ x2 (импликация)
f14					х1/ x2 (функция Шеффера)
f15					f1 – абсолютная истина

Дизъюнкцию часто называют также функцией ИЛИ и условно обозначают так:

От дизъюнкции следует отличать функцию f6(x1, x2), которая называется функцией сложения по модулю 2 (функцией исключительное ИЛИ) и является истинной, когда истинны или x1 или х2 в отдельности. Условное обозначение этой функции

Конъюнкция (логическое умножение)– функция f1(x1, x2). Конъюнкция – функция, которая истинна только тогда, когда х1 и х2 истинны. Конъюнкцию часто называют также функцией И. Условно ее обозначают так:

Штрих Шеффера – функция f14(x1, x2). Штрих Шеффера – функция, которая ложна только тогда, когда х1 и х2 истинны. Условное обозначение функции Шеффера

Функция Пирса (Вебба) – функция f8(x1, x2). Функция Пирса (Вебба) – функция, которая истинна только тогда, когда x1 и х2 ложны. Условное обозначение этой функции

Импликация – функция f13(x1, x2). Импликация – функция, которая ложна тогда и только тогда, когда х1 истинно и х2 ложно. Условное обозначение

Все логические функции, приведенные в табл. 1.2, – элементарные функции.

Две функции равносильны друг другу, если принимают на всех возможных наборах переменных одни и те же значения

Булевы переменные могут быть действительными или фиктивными. Переменная хi действительна, если значение функции f(x1,...xi,... xn) изменяется при изменении хi. Переменная xi фиктивна, если значение функции f(x1,... xi,... xn) не изменяется при изменении хi.

Пример логической функции от трех переменных представлен в табл. 1.3.

Таблица 1.3

Логическая функция от трех переменных

x1	х2	х3	f (х1, х2, х3, )

Из табл. 1.3 видно, что переменные х1 и х2 – действительные, а переменная х3 – фиктивная, так как f(х1, х2, 0) = f(х1, х2, 1) для всех наборов х1, х2.

Использование фиктивных функций дает возможность сокращать или расширять количество переменных для логических функций.

Так как число значений переменных хi ограничено, то можно определить количество функций N от любого числа переменных n: N равно 2 в степени 2n.

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. VII. Сравнительная характеристика живописной техники и станковой картины постимпрессионизма, импрессионизма и неоимпрессионизма.
2. Алгебраическая форма записи комплексного числа. Арифметические операции с комплексными числами в алгебраической форме.
3. Анализ техники и методика обучения движению ног способов плавания кроль на груди, кроль на спине.
4. Анализ, ошибки и оценки выполнения техники движений
5. Б3.В.3 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
6. Б3.В.6 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
7. В технике любого упражнения выделяют три элемента: основы техники, основное звено, детали.
8. Все расчеты в аналитической части должны быть выполнены только с применением средств компьютерной техники.
9. Выбор оружия и анализ техники боя
10. Доложите порядок получения техники из ремонта
11. Живопись действия» и «цветовое поле». Абстрактный экспрессионизм и психоаналитические техники.