СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ ПРИМЕНЯЕМЫЕ В ЭВМ. ИХ ХАРАКТЕРИСТИКА

Лабораторная работа №2

ИНФОРМАЦИОННО – ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ ПРИМЕНЯЕМЫЕ В ЭВМ. ИХ ХАРАКТЕРИСТИКА

При проектировании и создании вычислительных машин разработчики пришли к выводу, что привычная нам десятеричная система во многом неудобна и не является идеальной. Так в техническом плане, обработку информации оказалось легче всего производить, если мы имеем дело с сигналами двух видов: " Да" или " Нет", т. е. иметь дело с двоичными числами, с двоичным счислением. Ко времени создания первых электронно-вычислительных машин теория двоичного счисления была теоретически разработана. Имелся четкий математический аппарат двоичного счисления и математической логики. Именно он и был положен в основу работы ЭВМ. При записи больших чисел в более короткой форме, оказалось удобнее использовать восьми и шестнадцатеричную системы счисления. Привычная нам десятеричная система счисления оказалась для этих целей весьма неудобной. ЭВМ переводит все числа в десятеричную систему счисления исключительно в угоду человеку. Неудобство десятеричной системы счисления заключается в неоднозначном соответствии набора двоичных и десятеричных цифр.

Каждая цифра шестнадцатеричного числа однозначно описывает набор 4 цифр двоичного числа, в то время, как с десятеричными цифрами такой закономерности не наблюдается. Например, число 7 в десятеричной системе записывается одной цифрой, а число двенадцать - двумя. Т. е. десятеричные числа не могут однозначно описать все комбинации двоичных цифр.

Перевод чисел из двоичной системы в шестнадцатеричную или восьмеричную и обратно осуществляется очень просто. Для этого достаточно разбить двоичное число по 4 цифры справа для шестнадцатеричной и по 3 - для восьмеричной. Затем, пользуясь приведенной выше таблицей записать его шестнадцатеричными (восьмеричными) цифрами.

Например: дано число 110101101001011 в двоичной системе счисления. Перевести его в шестнадцатеричную и восьмеричную системы счисления.

110101101001011(двоич.)= 0110 1011 0100 1011(двоич.) =

= 6В4В (шестн.) =

= 110 101 101 001 011(двоич.) =

= 65613 (восьми.)

Поскольку при кодировании информации было решено использовать набор из 8 двузначных цифр, наиболее распространенной и применяемой оказалась как двоичная, так и шестнадцатеричная системы записи данных. Использование десятеричной системы оказалось неудобным. Однако исторически сложилось, что человечество в повседневной жизни использует десятеричную систему счисления. Поэтому ЭВМ приходится переводить все числа в эту систему счисления.

Давайте и мы с вами научимся осуществлять этот перевод. Существует множество различных способов перевода. Мы остановимся на одном.

В современном мире принята позиционная запись числа. Например, в десятеричной системе счисления на первой позиции справа записываются единицы (разряд единиц), затем - десятки (разряд десятков) и т. д.

159 - мы говорим 1 сотня, 5 десятков и 9 единиц.

По другому это число можно представить в следующем виде:

153 = 1*10²+5*10¹+9*10⁰

Эта запись справедлива для любой системы счисления, где используется позиционная форма записи числа.

X = A₁*Bⁿ + A₂*B^n-1 + … + A_n*B¹ + A_n+1*B⁰

где В - основание системы счисления, A - коэффициент ( A< B )

Аналогично, в двоичной системе счисления число можно представить в виде:

10101 = 1*2⁵ + 1*2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 (десять.) = 53 (десять.)

Теперь нетрудно посчитать, чему будет равно это число. Достаточно сложить два в соответствующей степени, коэффициент при которой равен единицы.

Полезно представить приведенную здесь закономерность в виде таблицы:

2⁸ 2⁷ 2⁶ 2⁵ 2⁴ 2³ 2² 2¹ 2⁰

256 128 64 32 16 8 4 2 1

Теперь достаточно подписать к этой таблице снизу число в двоичной форме, равняя его по правой границе, и подсчитать сумму двоек в степени при единицах.

Например: пусть дано число 100101 в двоичной системе. Перевести его вдесятеричную.

2⁸ 2⁷ 2⁶ 2⁵ 2⁴ 2³ 2² 2¹ 2⁰

256 128 64 32 16 8 4 2 1

1 0 0 1 0 1

100101(двоич.) = 32 + 4 + 1 = 37(десять.)

Из десятеричной системы в двоичную можно перевести в обратном порядке. Находим число в таблице, наиболее близкое к нашему, но меньше его. Под этим числом в таблицу ставим единицу. Из нашего числа вычитаем число из таблицы. С разностью повторяем те же действия до тех пор, пока не распишем все число. Дополним пустые места в нашей таблице нулями. Прочитаем полученное двоичное число как обычно, слева на право. Это и будет результатом.

В несимметричной троичной системе счисления чаще применяются цифры {0, 1, 2}, а в троичнойсимметричной системе счисления знаки {−, 0, +}, {− 1, 0, +1}, {1, 0, 1}, {1, 0, 1}, {i, 0, 1}, {N, O, P}, {N, Z, P} и цифры{2, 0, 1}, {7, 0, 1}^{[источник не указан 33 дня]}. Троичные цифры можно обозначать любыми тремя знаками {A, B, C}, нопри этом дополнительно нужно указать старшинство знаков, например, C> B, B> A.

Физические реализации

В цифровой электронике, независимо от варианта троичной системы счисления, одному троичному разряду втроичной системе счисления соответствует один троичный триггер как минимум на трёх инверторах с логикойна входе или два двоичных триггера как минимум на четырёх инверторах с логикой на входе.

Представление чисел в троичных системах счисления

Несимметричная троичная система счисления

Примером представления чисел в несимметричной троичной системе счисления может служить запись в этойсистеме целых положительных чисел:

Десятичное число
Троичное число

Если в десятичной системе счисления имеется 10 цифр и веса соседних разрядов различаются в 10 раз(разряд единиц, разряд десятков, разряд сотен), то в троичной системе используются только три цифры ивеса соседних разрядов различаются в три раза (разряд единиц, разряд троек, разряд девяток, …). Цифра 1, написанная первой левее запятой, обозначает единицу; эта же цифра, написанная второй левее запятой, обозначает тройку и т. д.

Несимметричная троичная система счисления является частным случаем спаренных (комбинированных)показательных позиционных систем счисления, в которой a_k — из троичного множества a={0, 1, 2}, b=3, весаразрядов равны 3^k.

Кодирование троичных цифр

Одна троичная цифра может кодироваться разными способами.

ФУНКЦИОНАЛЬНО – ПОЛНЫЕ НАБОРЫ ЛОГИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ ЭВМ И СИСТЕМАХ

Функционально полным называется такой набор ЛЭ, на которых (из которых) можно построить любое логическое устройство сколь сложно оно ни было бы. Функциональная полнота некоторого набора логических элементов, в свою очередь, определяется полнотой некоторой системы логических функций, которые являются логико-математическими моделями выбранного набора ЛЭ.

 

В булевой алгебре существует теорема Поста-Яблонского, согласно которой устанавливаются критерии полноты некоторой системы логических функций. Сущность этой теоремы сводится к следующему.

 

Некоторая система логических функций будет полной, если она содержит:

 

а) функцию, не сохраняющую логическую константу 0,

 

f (x1, x2, ¼ xn) = f (0, 0, ¼ 0) ¹ 0;

 

б) функцию, не сохраняющую логическую константу 1,

 

f (x1, x2, ¼ xn) = f (1, 1, ¼ 1) ¹ 1;

 

в) функцию, не являющуюся самодвойственной,

 

¹ ;

 

г) функцию, не являющуюся линейной,

 

f (x1, x2, ¼ xn) ¹ х1 Å х2 Å ¼ Å хn Å х1 х2 Å ¼ Å х1 х2¼ xn;

 

д) функцию, не являющуюся монотонной.

 

Если Х1 есть некоторый фиксированный набор значений аргументов функции f (x1, x2, x3, x4), например Х1 = < x1, x2, x3, x4> = < 1, 1, 0, 1>, а Х2 = < x1, x2, x3, x4> = < 0, 0, 0, 1> - другой набор этих аргументов, то можно считать, что Х1 > Х2, т.е. набор Х2 меньше набора Х1.

 

Лабораторная работа №2

ИНФОРМАЦИОННО – ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ ПРИМЕНЯЕМЫЕ В ЭВМ. ИХ ХАРАКТЕРИСТИКА

При проектировании и создании вычислительных машин разработчики пришли к выводу, что привычная нам десятеричная система во многом неудобна и не является идеальной. Так в техническом плане, обработку информации оказалось легче всего производить, если мы имеем дело с сигналами двух видов: " Да" или " Нет", т. е. иметь дело с двоичными числами, с двоичным счислением. Ко времени создания первых электронно-вычислительных машин теория двоичного счисления была теоретически разработана. Имелся четкий математический аппарат двоичного счисления и математической логики. Именно он и был положен в основу работы ЭВМ. При записи больших чисел в более короткой форме, оказалось удобнее использовать восьми и шестнадцатеричную системы счисления. Привычная нам десятеричная система счисления оказалась для этих целей весьма неудобной. ЭВМ переводит все числа в десятеричную систему счисления исключительно в угоду человеку. Неудобство десятеричной системы счисления заключается в неоднозначном соответствии набора двоичных и десятеричных цифр.

Каждая цифра шестнадцатеричного числа однозначно описывает набор 4 цифр двоичного числа, в то время, как с десятеричными цифрами такой закономерности не наблюдается. Например, число 7 в десятеричной системе записывается одной цифрой, а число двенадцать - двумя. Т. е. десятеричные числа не могут однозначно описать все комбинации двоичных цифр.

Перевод чисел из двоичной системы в шестнадцатеричную или восьмеричную и обратно осуществляется очень просто. Для этого достаточно разбить двоичное число по 4 цифры справа для шестнадцатеричной и по 3 - для восьмеричной. Затем, пользуясь приведенной выше таблицей записать его шестнадцатеричными (восьмеричными) цифрами.

Например: дано число 110101101001011 в двоичной системе счисления. Перевести его в шестнадцатеричную и восьмеричную системы счисления.

110101101001011(двоич.)= 0110 1011 0100 1011(двоич.) =

= 6В4В (шестн.) =

= 110 101 101 001 011(двоич.) =

= 65613 (восьми.)

Поскольку при кодировании информации было решено использовать набор из 8 двузначных цифр, наиболее распространенной и применяемой оказалась как двоичная, так и шестнадцатеричная системы записи данных. Использование десятеричной системы оказалось неудобным. Однако исторически сложилось, что человечество в повседневной жизни использует десятеричную систему счисления. Поэтому ЭВМ приходится переводить все числа в эту систему счисления.

Давайте и мы с вами научимся осуществлять этот перевод. Существует множество различных способов перевода. Мы остановимся на одном.

В современном мире принята позиционная запись числа. Например, в десятеричной системе счисления на первой позиции справа записываются единицы (разряд единиц), затем - десятки (разряд десятков) и т. д.

159 - мы говорим 1 сотня, 5 десятков и 9 единиц.

По другому это число можно представить в следующем виде:

153 = 1*10²+5*10¹+9*10⁰

Эта запись справедлива для любой системы счисления, где используется позиционная форма записи числа.

X = A₁*Bⁿ + A₂*B^n-1 + … + A_n*B¹ + A_n+1*B⁰

где В - основание системы счисления, A - коэффициент ( A< B )

Аналогично, в двоичной системе счисления число можно представить в виде:

10101 = 1*2⁵ + 1*2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 (десять.) = 53 (десять.)

Теперь нетрудно посчитать, чему будет равно это число. Достаточно сложить два в соответствующей степени, коэффициент при которой равен единицы.

Полезно представить приведенную здесь закономерность в виде таблицы:

2⁸ 2⁷ 2⁶ 2⁵ 2⁴ 2³ 2² 2¹ 2⁰

256 128 64 32 16 8 4 2 1

Теперь достаточно подписать к этой таблице снизу число в двоичной форме, равняя его по правой границе, и подсчитать сумму двоек в степени при единицах.

Например: пусть дано число 100101 в двоичной системе. Перевести его вдесятеричную.

2⁸ 2⁷ 2⁶ 2⁵ 2⁴ 2³ 2² 2¹ 2⁰

256 128 64 32 16 8 4 2 1

1 0 0 1 0 1

100101(двоич.) = 32 + 4 + 1 = 37(десять.)

Из десятеричной системы в двоичную можно перевести в обратном порядке. Находим число в таблице, наиболее близкое к нашему, но меньше его. Под этим числом в таблицу ставим единицу. Из нашего числа вычитаем число из таблицы. С разностью повторяем те же действия до тех пор, пока не распишем все число. Дополним пустые места в нашей таблице нулями. Прочитаем полученное двоичное число как обычно, слева на право. Это и будет результатом.

В несимметричной троичной системе счисления чаще применяются цифры {0, 1, 2}, а в троичнойсимметричной системе счисления знаки {−, 0, +}, {− 1, 0, +1}, {1, 0, 1}, {1, 0, 1}, {i, 0, 1}, {N, O, P}, {N, Z, P} и цифры{2, 0, 1}, {7, 0, 1}^{[источник не указан 33 дня]}. Троичные цифры можно обозначать любыми тремя знаками {A, B, C}, нопри этом дополнительно нужно указать старшинство знаков, например, C> B, B> A.

Физические реализации

В цифровой электронике, независимо от варианта троичной системы счисления, одному троичному разряду втроичной системе счисления соответствует один троичный триггер как минимум на трёх инверторах с логикойна входе или два двоичных триггера как минимум на четырёх инверторах с логикой на входе.

1234Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. ERP II – ERP-системы второго поколения.
2. I. 49. Основные принципы разработки системы применения удобрений.
3. II. Травматические повреждения нервной системы
4. V2: Тема 7.5 Плащ. Центры первой и второй сигнальных систем. Функциональные системы головного мозга.
5. Абсолютное движение - движение тела относительно условно неподвижной системы отсчета.
6. Автоматизация ресторанов, гостиниц, кинокомплексов, баров, культурно-оздоровительных, бильярдных и боулинг центров на базе системы R-Keeper
7. Автоматизированные системы регистрации
8. Аксиома статики о равновесии системы двух сил. Аксиома параллелограмма сил.
9. Анализ мажоритарной избирательной системы
10. Анализ одноканальной системы массового обслуживания с ожиданием.
11. Анализ устойчивости по ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы.
12. Анализ эффективности работы системы охлажденияТЕПЛОВОЗА