ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №13. Вычисления в Mathcad

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №13. Вычисления в Mathcad

Общематематические функции Mathcad

Вычислительная мощность Mathcad оказывается весьма серьезной, а сам Mathcad – удобным средством для инженерных расчетов за счет наличия у него достаточно большой библиотеки встроенных функций. Основные математические функции, полезные для инженеров, приведены в табл. 13.1

Табл. 13.1

Функция	Описание
asin(z)	Синус числа z	z – скалярный аргумент, в радианах
acos(z)	Косинус числа z
atan(z)	Тангенс числа z
acot(z)	Котангенс числа z
asec(z)	Секанс числа z
acsc(z)	Косеканс числа z
sinc(z)	Вычисляет sin(x)/x, причем корректно в случаях, когда x стремится к 0. Может использоваться в вычислении пределов
asin(z)	Арксинус числа z, в радианах	z – скалярный безразмерный аргумент
acos(z)	Арккосинус числа z, в радианах
atan(z)	Арктангенс числа z, в радианах
acot(z)	Арккотангенс числа z, в радианах
asec(z)	Арксеканс числа z, в радианах
acsc(z)	Арккосеканс числа z, в радианах
atan2(x, y)	Вычисляет угол (от –π до π ) радиус-вектора из начала координат в точку с координатами x и y. x и y –скалярные вещественные аргументы
angle(x, y)	Вычисляет угол (от 0 до 2π ) радиус-вектора из начала координат в точку с координатами x и y. x и y –скалярные вещественные аргументы
sinh(z)	Гиперболический синус числа z	z – скалярный безразмерный аргумент, в радианах
cosh(z)	Гиперболический косинус числа z
tanh(z)	Гиперболический тангенс числа z
coth(z)	Гиперболический котангенс числа z
sech(z)	Гиперболический секанс числа z
csch(z)	Гиперболический косеканс числа z
asinh(z)	Гиперболический арксинус числа z	z – скалярный безразмерный аргумент
acosh(z)	Гиперболический арккосинус числа z
atanh(z)	Гиперболический арктангенс числа z
acoth(z)	Гиперболический арккотангенс числа z
asech(z)	Гиперболический арксеканс числа z
acsch(z)	Гиперболический арккосеканс числа z
exp(z)	Возводит основание натурального логарифма (число e) в степень z
ln(z)	Натуральный (по основанию e) логарифм из числа z
log(z)	Логарифм по основанию 10 из числа z. zдолжно быть безразмерным
log(z, b)	Логарифм по основанию b из числа z. zдолжно быть безразмерным
xy2pol(x, y)	Конвертирует прямоугольные координаты x и y в полярные (угол в градусах). Значение возвращает в виде вектора (см. ниже)
pol2xy(r, q)	Конвертирует полярные координаты r и θ (угол в градусах) в прямоугольные. Значение возвращает в виде вектора
xyz2cyl(x, y, z)	Конвертирует прямоугольные координаты x, y и z в цилиндрические (угол в градусах). Значение возвращает в виде вектора
cyl2xyz(r, q, z)	Конвертирует цилиндрические координаты r, θ и z (угол в градусах) в прямоугольные. Значение возвращает в виде вектора
xyz2sph(x, y, z)	Конвертирует прямоугольные координаты x, y и z в сферические (углы в градусах). Значение возвращает в виде вектора
sph2xyz(r, θ, φ )	Конвертирует сферические координаты r, θ и φ (углы в градусах) в прямоугольные. Значение возвращает в виде вектора
mod(x, y)	Вычисляет остаток от деления числа x на число y. Знак результата такой же, как у x
gcd(A, B, C, …)	Определяет наибольший общий делитель величин A, B, C (аргументы – неотрицательные целые безразмерные скалярные числа или массивы из таких чисел)
lcm(A, B, C,...)	Определяет наименьшее общее кратное величин A, B, C (аргументы – неотрицательные целые безразмерные скалярные числа или массивы из таких чисел)
mean(A, B, C, …)	Вычисляет среднее арифметическое величин A, B, C (аргументы – неотрицательные безразмерные скалярные числа или массивы из таких чисел)
gmean(A, B, C, …)	Вычисляет среднее геометрическое величин A, B, C (аргументы – неотрицательные безразмерные скалярные числа или массивы из таких чисел)
hmean(A, B, C, …)	Вычисляет среднее гармоническое величин A, B, C (аргументы – неотрицательные безразмерные скалярные числа или массивы из таких чисел)
median(A, B, C,...)	Вычисляет медиану величин A, B, C (аргументы – скалярные числа или массивы из таких чисел)
round(z, n)	Округляет число z до n знаков после запятой. Если nотсутствует, то до целых, если n< 0, то до nзнаков слева от запятой. z должен быть безразмерным
Round(z, y)	Вычисляет round(z/y, 0)*y, при этом z может иметь размерность, но y должен иметь ту же размерность
floor(z)	Возвращает максимальное целое ≤ z. z должен быть безразмерным
ceil(z)	Возвращает минимальное целое ≥ z. z должен быть безразмерным
trunc(z)	Возвращает целую часть z. z должен быть безразмерным
Floor(z, y)	Возвращает максимальный множитель y, который ≤ z, при этом z может иметь размерность, но y должен иметь ту же размерность
Ceil(z)	Возвращает минимальный множитель y, который ≥ z, при этом z может иметь размерность, но y должен иметь ту же размерность
Trunc(z)	Вычисляет trunc(z/y)*y, при этом z может иметь размерность, но y должен иметь ту же размерность
sign(x)	Знак числа. -1 для отрицательных, 0 для нуля и 1 для положительных
signum(z)	Знак числа. -1 для отрицательных, 1 для нуля и положительных

IsScalar(x)	Возвращает 1, если выражение x – скалярное (вещественное или комплексное), 0 в противном случае
IsArray(x)	Возвращает 1, если выражение x – массив (матрица или вектор, см. ниже), 0 в противном случае
IsString(x)	Возвращает 1, если выражение x – строковое (см. следующую Лабораторную работу), 0 в противном случае
UnitsOf(z)	Возвращает размерность выражения z (или 1 – для безразмерных выражений). Если необходимо временно убрать размерность выражения z, удобно разделить выражение на данную функцию

При построении сложных выражений вполне обычной практикой является использование вложенных функций, т.е. когда аргументом одной функции является другая функция и т.д.

Операции с матрицами и векторами

Понятие массива

Массив – переменная, которой присвоена совокупность конечного числа числовых или символьных элементов, упорядоченных некоторым образом и имеющих определенные адреса. В пакете Mathcad используются массивы двух наиболее распространенных типов:

· одномерные (векторы);

· двумерные (матрицы);

· многомерные (матрицы, элементами которых, в свою очередь, также являются матрицы).

Порядковый номер элемента, который является его адресом, называется индексом. Индексы могут иметь только целочисленные значения. Они могут начинаться с нуля или единицы, в соответствии со значением системной переменной ORIGIN.

Адресация элементов массива

Помимо ввода или отображения всего массива (матрицы или вектора) целиком, имеется возможность работать с каждым элементом массива в отдельности. Порядковый номер элемента, который является его адресом, называется индексом.

Для обращения к отдельному элементу массива необходимо указать переменную-имя массива, а затем в виде нижних индексов перечислить ее индексы. Вставку нижнего индекса, позволяющего адресовать элементы массива, осуществляют кнопкой панели инструментов «Матрица» или клавишей «[». Если индексов несколько (многомерный массив), их разделяют запятой («, »).

Также имеется возможность быстро извлечь из массива любой столбец (полезно, если результат был вычислен в виде большой таблицы). Для этого порядковый номер столбца вводится в виде верхнего индекса в треугольных скобках. Вставить такую конструкцию можно кнопкой панели инструментов «Матрица» или сочетанием клавиш Ctrl+6.

Выделение строки матрицы в Mathcad не предусмотрено, однако данную операцию можно заменить выделением столбца из транспонированной (см. ниже) матрицы.

Нижняя граница индексации задается значением системной переменной ORIGIN, которая может принимать значение 0 или 1. В первом случае самый первый элемент матрицы будет иметь индекс «0, 0», во втором случае – «1, 1». Изменить значение этой переменной также можно в диалоговом окне (вызывается через меню Сервис – Опции рабочей области…), на вкладке «Переменные».

Поэлементная адресация также позволяет быстро заполнить массив, если известно, что его элементы описываются некоторой математической закономерностью. В частности, можно создать дискретную переменную (одну или две), которая будет последовательно принимать значения строк или столбцов массива, а затем присваивать элементу массива, индекс которого задается этой дискретной переменной, значения в виде математических выражений, включающих данные дискретные переменные.

Операции над массивами

Над массивами можно производить различные математические операции. Они представлены в табл. 13.1.

Табл. 13.2

Операция	Кнопка панели «Матрица»	Сочетание клавиш	Описание
Отрицательное значение		-	Аналогично умножению массива на -1
Сложение		+	Сложение векторов или матриц, а также сложение матрицы или вектора с числом
Вычитание		-	Вычитание векторов или матриц, а также вычитание из матрицы или вектора числа
Умножение		*	Умножение одной матрицы на другую или на число
Скалярное произведение		*	Скалярное произведение векторов
Векторное произведение		Ctrl+8	Векторное произведение векторов (допустимый размер векторов: 1 столбец, 3 строки)
Деление		/	Деление векторов или матриц на число, отличное от нуля
Возведение в степень		^	Возведение квадратной матрицы в целочисленную степень либо возведение в степень каждого элемента вектора
Транспонирование		Ctrl+1	Транспонирование
Обратное значение		^-1	Аналогично возведению матрицы в степень -1. Матрица должна быть квадратной и иметь обратное значение
Определитель		\|	Вычисление определителя матрицы
Модуль		\|	Определение модуля (длины) вектора
Суммировать элементы		Ctrl+4	Суммировать элементы вектора
Поэлементная операция		Ctrl+-	Векторизация, см. ниже

Оператор векторизации применяется к математическим выражениям, в которые входят массивы. Оператор заставляет Mathcad рассматривать массив не как вектор или матрицу, а как набор отдельных элементов. При этом заданная математическая операция осуществляется с каждым из элементов массива в отдельности, а затем все вычисленные элементы вновь записываются в форме матрицы или вектора. Например, векторизация произведения двух матриц умножит каждый элемент первой матрицы на аналогичный элемент второй матрицы. Векторизация вычисления модуля просто определит модуль каждого элемента вектора или матрицы и вернет результат в виде вектора или матрицы, аналогичной исходной.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №13. Вычисления в Mathcad

12 3 4