Математическая обработка результатов измерений при наличии только случайных ошибок

Рис. 1. Гистограмма

Допустим, что мы проводим серию из n измерений одной и той же физической величины. Предполагается, что измерения проводятся одним и тем же наблюдателем с помощью одного и того же прибора. Будем считать, что систематические погрешности отсутствуют, промахи также исключены. В результате мы получим ряд чисел: x₁, x₂, …, x_n, при этом возможны и повторяющиеся числа. Если число измерений достаточно велико, то на каждый интервал (x, x + Δ x) будет приходиться некоторая доля отсчетов. Графически это можно представить в виде гистограммы – столбчатой диаграммы, показанной на рис. 1.

При очень большом числе измерений (n → ∞ ) ширину интервала Δ x можно взять бесконечно малой: Δ x → dx Тогда вместо гистограммы можно построить график в виде гладкой кривой (рис. 2).

Рис. 2. Распределение случайной величины.

Здесь по оси ординат отложена функция f(x), называемая плотностью вероятности распределения случайной величины x. Выясним смысл f(x).

Пусть P – вероятность. Тогда:

dP = f(x)·dx – вероятность того, что результат отдельного измерения окажется в интервале (x, x + dx);

– вероятность того, что результат отдельного измерения окажется в интервале (x, x + dx), но уже в расчете на единичный интервал dx;

– вероятность того, что результат отдельного измерения попадет в интервал (x – Δ x, x + Δ x).

На рис. 2: dP равна площади плотно заштрихованного участка, а P – всей заштрихованной площади.

Строго говоря, вид функции заранее неизвестен, но во многих случаях кривая распределения случайных величин, приведенная на рис. 3, математически описывается уравнением:

. (4)

Это выражение называют законом Гаусса, а само распределение случайных величин в этом случае называют нормальным или гауссовым распределением. Здесь: x_i – значение i-го измерения величины x; – среднее значение; σ – среднее квадратичное отклонение (или средняя квадратичная погрешность) отдельного измерения.

Кривая нормального распределения f(x) является симметричной и характеризуется двумя параметрами: средним значением и средним квадратичным отклонением σ . Кривая имеет перегибы в точках x = ± σ .

Рис. 3. Распределение случайной величины при различной дисперсии.

Вместо величины σ часто используют σ ², называемую дисперсией. Дисперсия σ ² (и средняя квадратичная погрешность σ ) характеризуют разброс значений, полученный при измерении данной величины x. Чем меньше σ (т.е. ширина гауссовой кривой), тем меньше разброс значений (рис. 3).

Рассмотрим теперь, как оценить результат измерений какой-либо величины. Пусть мы получили n значений для величины x. За наилучшее приближение к истинному значению измеряемой величины x принимается среднее арифметическое из всех имеющихся чисел:

. (5)

Среднее значение не является истинным значением измеряемой величины x, это только приближение к нему. При большом разбросе данных и малом числе измерений x может существенно отличаться от истинного значения. Для того чтобы оценить степень приближения среднего значения к истинному, используется величина, называемая доверительным интервалом – интервалом значений измеряемой физической величины, в который попадает ее истинное значение, но не точно, а с некоторой вероятностью α . Эту вероятность α называют доверительной вероятностью или надежностью. Пусть Δ x – полуширина доверительного интервала, тогда (x – Δ x) будет нижней границей доверительного интервала, а (x + Δ x) – его верхней границей. Таким образом, результат измерений некоторой величины x можно записать в виде:

Такую запись следует понимать так: истинное значение измеряемой величины x лежит в пределах от (x – Δ x) до (x + Δ x) с вероятностью α .

Таким образом, за истинное значение может быть принят любой результат отдельного измерения, попавший в доверительный интервал, определенный с заданной доверительной вероятностью α . Однако, подчеркнем еще раз: речь идет о границах погрешности единичного опыта x_i, проведенного в данном эксперименте. Но n опытов проводилось для того, чтобы определить среднее значение .

Каково же отличие от истинного значения искомой величины?

В теории случайных погрешностей доказывается, что

т.е. среднеквадратичное отклонение среднего арифметического в раз меньше среднего квадратичного отклонения единичного измерения σ . Последнее выражение имеет фундаментальное значение в теории и практике измерений. Оно подтверждает принципиальную возможность уменьшения случайных погрешностей при увеличении числа опытов.

Гауссово распределение выполняется при очень большом числе измерений (теоретически при n → ∞ ). При малом числе измерений (n < 30) полуширина доверительного интервала определяется по формуле:

где t(α , n) – коэффициент Стьюдента, зависящий от надежности α и числа измерений n, а – средняя квадратичная погрешность результата n измерений, называемая также погрешностью среднего арифметического и определяемая из выражения:

. (6)

Коэффициент Стьюдента t(α , n) определяется по специальным таблицам при известном числе измерений n. В таблице 2 приведены коэффициенты t(α , n) при некоторых значениях n и α .

При всех измерениях в лабораторном практикуме рекомендуется задавать надежность α = 0, 95 (95%). Более высокая надежность 0, 99 или 0, 999 требуется только при очень точных и ответственных экспериментах.

Таблица 2.

Число измерений n	Надежность α
0, 90	0, 95	0, 99	0, 999
	6, 3	12, 7	63, 7	636, 6
	2, 9	4, 3	9, 9	31, 6
	2, 4	3, 2	5, 8	12, 9
	2, 1	2, 8	4, 6	8, 6
	2, 0	2, 6	4, 0	6, 9
	1, 9	2, 4	3, 7	6, 0
	1, 9	2, 4	3, 5	5, 4
	1, 9	2, 3	3, 4	5, 0
	1, 8	2, 3	3, 3	4, 8
∞	1, 6	1, 96	2, 6	3, 3

Таким образом, для вычисления измеряемой величины в случае конечного числа измерений имеем выражение:

. (7)

Чтобы учесть и случайную и систематическую погрешность, т.е. рассчитать полную погрешность измерений, обычно используют правило квадратичного сложения:

. (8)

Предыдущая12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Следующая