ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОЛЯРНОЙ МАССЫ ВОЗДУХА

Цель работы. С помощью фазового метода определить скорость распространения звука в воздухе и его молярную массу.

Приборы и принадлежности. Излучатель звука (динамик), приемник звукового сигнала (микрофон), звуковой генератор, осциллограф, комплект проводов (перед использованием провода обязательно проверить).

Введение

Известно, что звуковая волна в воздухе – продольная, и представляет собой совокупность распространяющихся в пространстве чередующихся областей разряжения и сжатия воздуха. Именно на эти разряжения и сжатия реагирует, в частности, барабанная перепонка уха человека.

Впервые оценить скорость распространения звука, используя параметры газа, удалось Ньютону. Получим формулу Ньютона для скорости звука в газе [1, 2], положив для упрощения вывода, что звук распространяется в бесконечно длинной трубе с площадью поперечного сечения S, Пусть за время dt за счет движения поршня создано избыточное давление Dp на фоне давления p, при котором находится газ в трубе. При этом какому-то слою воздуха массой dm передан импульс. За это время поршень сместится на некоторое расстояние dl и по трубе пойдет волна сжатия, которая за время dt распространится на расстояние dL (рис.1).

Таким образом, скорость волны равна u= dL/dt. Однако, сами частицы во всем слое длиной dl будут двигаться со скоростью u = dl/dt, что соответствует скорости движения самого поршня. Поскольку поршень движется равномерно, то u = const.

Массу dm частиц газа, которым передан импульс поршнем, можно представить в следующем виде: dm =r× S× dl = rSu× dt (где r - плотность газа).

Это означает, что

= r× S× u (1)

Согласно второму закону Ньютона сила, действующая на газ со стороны поршня, равна скорости изменения его импульса: F = dp/dt, причём

= = m + u . (2)

Поскольку u = const, то = 0; с учётом этого из (1) и (2) следует:

F = u = u× r × S × u, (3)

где F - сила давления поршня.

Если учесть, что эта сила связана с избыточным давлением Dp, которое создаётся поршнем, соотношением F = Dp× S, то из (3) получим:

Dр = r× u× u. (4)

Отметим, что здесь рассматривается случай небольших сжатий, и отличиями площади S поперечного сечения трубы и плотности r воздуха в «несжатой» и в «сжатой» областях можно пренебречь.

В случае объемной деформации газа формула закона Гука записывается следующим образом [3]:

Dр = - K× . (5)

Здесь р - давление - аналог напряжения, K - модуль объемной упругости среды - аналог модуля Юнга, DV/V - относительная объемная деформация - аналог относительного сжатия.

Объем газа, деформируемый за время Dt, легко подсчитать как:

V = u× S× Dt. (6)

Саму деформацию объема можно представить в виде

DV= - S× u× Dt.(7)

Знак «-» показывает, что при увеличении скорости поршня среда сжимается, а при уменьшении - расширяется.

Учитывая выражения (6) и (7), можно переписать формулу закона Гука:

Dр = K× . (8)

Теперь, используя выражение (4), из уравнения (8) получим, что скорость u_звука звуковой волны:

u_звука= . (9)

Воспользовавшись формулой (5), приходим к выражению:

K = - V . При DV ® 0 это выражение можно переписать, как

DV®0

K = - V× lim = - V× . (10)

Поскольку V× r = m = const, то = - . Следовательно,

К = r , а

u_звука= = .(11)

Ньютон предположил, что закон изменения давления и плотности газа в звуковой волне соответствует закону Бойля-Мариотта: выполняется условие = const. Исходя из этого, можно записать, что = = сonst. Тогда

u_звука= . (12)

Это и есть формула Ньютона.

Формулу Ньютона можно преобразовать, используя закон Клапейрона– Менделеева (выразив давление р газа через его плотность r):

р = × r,

где R = 8, 31 Дж/(моль× К) – универсальная газовая постоянная, m – молярная масса газа, Т – его температура. В результате получаем:

u_звука= . (13)

Пользуясь этой формулой, можно вычислить, чему равна молярная масса воздуха m (если знать, чему равны u_звука, T и R). Однако, как показали дальнейшие исследования, различные области газа, по которому распространяется звуковая волна, имеют неодинаковую температуру (на это впервые указал П. Лаплас в 1816 году). Применим его подход к рассмотрению структуры звуковой волны.

Звуковая волна представляет собой чередующиеся в пространстве области разрежения и сжатия воздуха. Для сжатия воздуха внешние силы должны совершить работу над газом, в результате чего его температура в этой области будет несколько выше, чем в соседних. В разреженных же областях газ наоборот совершает работу и при этом охлаждается. Процесс сжатия-разрежения идет достаточно быстро, и температура не успевает выравниваться. Теплообменом можно пренебречь, поскольку теплопроводность воздуха в обычных условиях достаточно мала. Сказанное означает, что процесс сжатия-разрежения надо считать адиабатическим, а не изотермическим. Дифференцируя уравнение Пуассона для адиабатического процесса р× V^g= сonst, в котором g = С_p /С_V (отношение молярных теплоемкостей газа при постоянных давлении и объеме), можно записать:

dр× V^g+g× р× V ^g^-¹× dV =0, или

dр× V +g× р× dV =0. (14)

Если учесть, что r × V = const, то можно перейти к уравнению вида:

g× р× dr =r× dр, то есть

= g× . (15)

Тогда, используя уравнение (15) и закон Клапейрона – Менделеева, формула для скорости звуковой волны в газе будет выглядеть так:

u_звука= = . (16)

Измерив температуру Т воздуха, и приняв во внимание, что его можно с хорошей точностью считать двухатомным идеальным газом, (в этом случае показатель степени в уравнении Пуассона легко рассчитывается теоретически: g = 1, 4), для определения m по формуле (16) остаётся найти только скорость u_звука звуковой волны.

1 234 5