Момент инерции тела относительно оси

Пусть имеется твердое тело. Выберем некоторую прямую ОО (рис.3.1), которую будем называть осью (прямая ОО может быть и вне тела). Разобьем тело на элементарные участки (материальные точки) масссами Δ m , Δ m ,..., Δ m , находящиеся от оси на расстоянии соответственно r , r ,... r .

Моментом инерции материальной точки относительно оси OO называется произведение массы материальной точки на квадрат ее расстояния до этой оси:

DI_i = Dm_i r_i². (3.1)

Моментом инерции (МИ) тела относительно оси ОО называется сумма произведений масс элементарных участков тела на квадрат их расстояния до оси:

I = . (3.2)

Как видно, момент инерции тела есть величина аддитивная - момент инерции всего тел относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции отдельных его частей относительно той же оси.

В данном случае

Измеряется момент инерции в кг·м .

Так как

D m_i= r DV_i , (3.3)

где ρ - плотность вещества; DV_i - объем i - го участка, то или, переходя к бесконечно малым элементам,

I = . ( 3.4)

Формулу (3.4) удобно использовать для вычисления МИ однородных тел правильной формы относительно оси симметрии, проходящей через центр масс тела. Например, для МИ цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс параллельно образующей, эта формула дает

где m - масса; R - радиус цилиндра.

Большую помощь при вычислениях МИ тел относительно некоторых осей оказывает теорема Штейнера: МИ тела I относительно любой оси равен сумме МИ этого тела I_с относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния d между указанными осями:

I = I_с+ m d². (3.5)

Момент силы относительно точки и оси

Пусть на тело действует сила . Примем для простоты, что сила лежит в плоскости, перпендикулярной некоторой прямой ОО (рис.3.2), которую назовем осью (например, это ось вращения тела). На рис. 3.2
А - точка приложения силы ; О΄ - точка пересечения оси с плоскостью, в которой лежит сила; А относительно точки О΄ ; - угол между и .

Моментом силы относительно точки О΄ называется вектор (псевдовектор), определяемый равенством

(3.6)

Модуль этого вектора

M = F r sin a. (3.6, а)

Величина b = r sin a называется плечом силы (кратчайшее расстояние от точки О΄ до линии действия силы).

Моментом силы относительно оси ОО называется скалярная величина М₀₀, равная проекции на эту ось вектора момента силы, определенного относительно точки О΄ , лежащей на данной оси.

В нашем случае

. (3.7)

В соответствии с выражениями (3.6) и (3.7) вектор направлен по оси ОО, а его проекция М₀₀ лежит на этой оси (cм. рис.3.2).

Момент импульса тела относительно оси вращения

Пусть тело вращается вокруг некоторой оси ОО с угловой скоростью ω . Разобьем это тело мысленно на элементарные участки с массами Dm₁, Dm₂, ... Dm_i, ..., которые находятся от оси соответственно на расстояниях Dr_1,Dr₂, . .. , Dr₃, . .., и вращаются по окружностям, имея линейные скорости v₁, v₂, . .. , v_i, .... Известно, что величина, равная - есть импульс i - го участка. Моментом импульса i - го участка (материальной точки) относительно точки О΄ называется вектор (псевдовектор)

, (3.8)

где - радиус-вектор, определяющий положение i -го участка относительно точки О΄ .

Моментом импульса всего тела относительно точки О΄ называют вектор:

(3.9)

модуль которого

. (3.9, а)

Моментом импульса тела относительно неподвижной оси ОО называется скалярная величина L₀₀, равная проекции на эту ось вектора момента импульса тела, определенного относительно точки О΄ , лежащей на данной оси.

В соответствии с выражениями (3.8) и (3.9) векторы и направлены по оси ОО (рис.3.3). Легко показать, что момент импульса тела L₀₀ относительно оси ОО и момент инерции I этого тела относительно той же оси связаны соотношениями

, L₀₀=I·ω. (3.10)

Основной закон динамики вращательного движения

В случае постоянного момента инерции тела в процессе вращения “Основной закон...” читается так: момент силы (или результирующий момент сил, если их несколько), действующий на тело относительно оси вращения, равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловое ускорение, с которым вращается тело:

. (3.11)

Описание установки

и метода определения момента инерции

Маятник Обербека представляет собой крестовину, состоящую из втулки 3, четырех спиц 2, укрепленных на одном из концов втулки (рис. 3.4). На спицах размещены грузы 1. Последние могут перемещаться вдоль спиц и закрепляться на них с помощью винтов. Другой конец втулки выполнен в виде шкива 4, на который наматывается нить-шнур. К свободному концу шнура привязан груз 6. Под влиянием этого груза маятник приходит в ускоренное вращательное движение вокруг неподвижной оси. Трение между втулкой маятника и осью практически сведено к нулю установленными на ось подшипниками. Для установки груза 5 на определенной высоте предусмотрен указатель 5. Исходным уравнением для определения момента инерции I маятника является уравнение (3.11), из которого следует, что

, (3.12)

где M - вращающий момент, в данном случае - момент силы Т натяжения шнура, приложенной в точке k (рис. 3.4); ε - угловое ускорение маятника.

Нить маятника вертикальна, поэтому угол α в формуле (3.6, а) равен 90⁰, так что

М = T R , (3.13)

где R - радиус шкива.

Сила T может быть найдена из второго закона Ньютона, записанного для груза 6:

ma = mg - T,

где m - масса груза, а - ускорение, с которым он опускается, откуда

Т = m (g - а). (3.14)

Таким образом, подставляя (3.14) в (3.13), получим

М = m(g - a) R. (3.15)

Угловое ускорение ε связано с тангенциальным ускорением точек на ободе колеса следующим соотношением:

В свою очередь, совпадает с ускорением а, с которым опускается груз 6. Следовательно,

. (3.16)

Ускорение а можно вычислить, если измерить время t опускания груза на определенную высоту h. Действительно,

поэтому

. (3.17)

Подставляя (3.17) в (3.16) и (3.15), а затем в (3.12), получим

, (3.18)

где d = 2 R - диаметр шкива.

Заметим, однако, что второе слагаемое в выражении (3.18) оказывается на практике значительно меньше первого, а потому момент инерции маятника можно вычислить как

. (3.19)

Формула (3.19) - рабочая формула для определения I из законов динамики. С другой стороны, как уже отмечалось, момент инерции тела - величина аддитивная. Следовательно, момент инерции маятника Обербека относительно оси вращения можно представить в виде

I = I_в + I_ш + 2 I_сп + 4 I_гр (3.20)

где: I_в - момент инерции втулки; I_ш - момент инерции шкива; I_пс - момент инерции пары спиц; I_гр - момент инерции одного груза 1. Разумеется, все эти моменты инерции в данном случае берутся тоже относительно оси вращения.

Так как , где l и m_пс - общая длина (рис. 3.5) и масса двух спиц, а для случая, когда грузы 1 находятся на концах спиц,

I_гр = m_грl₁²

(груз - материальная точка), где l₁ - расстояние от центра масс груза до оси, а m_гр - масса груза 1, то

I = (I_в + I_ш) + 1/6 × m_пс l² + 4 m_гр l₁². (3.21)

Порядок выполнения работы

1. Внесите в таблицу данные о массе груза 6 и ускорении свободного падения для широты г. Перми (написаны на приборе).

2.Установите грузы 1 на концы спиц, причем так, чтобы маятник находился в безразличном равновесии.

3. Наматывая нить на шкив, установите груз 6 так, чтобы основание груза совпало с указателем 5 (см. рис.3.4). Следите за тем, чтобы витки нити на шкив наматывались в один слой, а нить намоталась бы с внешней стороны маятника. В этом положении маятник придерживайте рукой за одну из спиц.

4. Измерьте время t₁ опускания груза 6 с установленной высоты до пола. Для чего отпустите маятник без толчка, включив одновременно секундомер. Опыт повторите не менее 7 раз. Результаты занесите в табл.3.1.

5. Передвиньте грузы 1 примерно на середину спиц и установите их так, чтобы маятник находился в безразличном равновесии. По п. 4 измерьте время t₂ движения груза в этом случае. Результаты запишите в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Номер опыта	t₁, с	t₂, с	t_1i - < t₁>, с	(t_1i - < t₁> )², с²	Другие данные
. . .					g = d = h = a = Δ _t= Dt_пр =
			S (t_1i - < t₁> )²

6. Измерьте диаметр шкива d и высоту падения груза h , оцените ошибки Dd и Dh в измерении этих величин. Данные занесите в табл. 3.1.

7. Вычислите < > и < > и по формуле

< I > =

вычислите среднее значение моментов инерции и (для того и другого расположения грузов 1).

8. Определите относительную погрешность в вычислении момента инерции (только для или только для , так как погрешности будут приблизительно одинаковыми).

Для чего:

а) задайтесь надежностью a (от 0, 90 до 0, 97), выберите коэффициенты Стьюдента , оцените Dt_пр для секундомера;

б) вычислите абсолютную погрешность в измерении времени:

;

в) вычислите относительную погрешность в определении I (например, для I ):

;

9. Вычислите абсолютную погрешность для обоих моментов инерции:

, ,

результаты запишите в виде

, при %,

. a =....

10. Сравнивая I и I , сделайте вывод (касающийся связи величины момента инерции и расположения грузов 1).

11. Измерьте l и l₁ (лучше 2 l₁ ) (см. рис.3.5) и по формуле (3.20) вычислите момент инерции как аддитивную величину I₁^ад ( m_пc, m_гр и (I_в+ I_ш) должны быть даны). Значения всех этих величин внесите в тетрадь.

12. Найдите расхождение в процентах между значениями I₁ и I₁^ад, полученными из опыта и вычисленными по формуле (3.21).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что называется моментом инерции материальной точки относительно оси, моментом инерции твердого тела относительно оси? В каких единицах измеряется момент инерции?

2. В чем состоит теорема Штейнера? Приведите пример ее использования.

3. Что называется моментом силы относительно оси? В каких единицах он измеряется?

4. Что такое плечо силы?

5. Что называется моментом импульса материальной точки относительно оси вращения, моментом импульса твердого тела относительно оси вращения? В каких единицах измеряется момент импульса?

6. Как связаны между собой момент импульса и момент инерции тела, вычисленные относительно оси вращения?

7. Маятник Обербека: устройство и теория метода определения его инерции.

8. Порядок выполнения работы. Выводы.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4

ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК

Цель: познакомиться с методом определения моментов инерции тел.

Приборы и принадлежности: исследуемое тело (пластина), кронштейн для подвешивания тела, секундомер, линейка, математический маятник.

Предыдущая 1 2 345 6 7 Следующая