ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ АДИАБАТЫ ВОЗДУХА

Цель работы: познакомиться с одним из методов определения показателя адиабаты С_{р /}C_v.

Приборы и принадлежности: установка Клемана - Дезорма для определения С_p/ C_v.

Сведения из теории

Состояние газа характеризуется тремя величинами - параметрами состояния: давлением Р, объемом V и температурой Т. Уравнение, связывающее эти величины, называется уравнением состояния газа. Для идеального газа уравнением состояния является уравнение Менделеева-Клапейрона:

где М- масса газа; m - масса одного моля; R - универсальная газовая постоянная.

Для одного моля:

PV = RT. (7.1)

Теплоемкостью теланазывается количество теплоты, которое нужно сообщить телу, чтобы изменить его температуру на один градус:

(Дж/К).

Здесь dT - изменение температуры тела при сообщении ему количества теплоты dQ.

Теплоемкость единицы массы тела называется удельной теплоемкостью:

(Дж/(кг·К)).

Теплоемкость одного моля вещества называется молярной теплоемкостью:

(Дж/(моль·К)). (7.2)

Величина теплоемкости газа зависит от условий его нагревания, т. е. от того, нагревается ли газ при постоянном объеме (обозначим молярную теплоемкость в этом случае через С_v ) или процесс нагревания происходит при постоянном давлении (С_р ). Теплоемкости С_р и С_v связаны между собой. Эту связь можно получить, пользуясь уравнением состояния (7.1), написанным для одного моля газа, и первым началом термодинамики, которое можно сформулировать следующим образом: количество теплоты dQ, переданное системе, затрачивается на увеличение ее внутренней энергии dU и на работу dA, совершаемую системой над внешними телами:

dQ = dU + dA.(7.3)

Элементарная работа

dA = P× dV. (7.4)

Исходя из определения молярной теплоемкости (7.2)

При изохорическом процессе V = соnst, следовательно, dV = 0 и dA= 0 (см. формулу (7.4)), поэтому

. (7.5)

При изобарическом процессе Р =соnst, следовательно,

. (7.6)

Из уравнения газового состояния (7.1) получаем

PdV + VdP = RdT.

Но dP = 0 (так как Р = сonst), потому Р dV = R dT. Учитывая это равенство и заменяя dU через С_vdT, из выражения (7.6) получим

С_p= C_v+ R. (7.7)

Таким образом С_p> С_v: при нагревании при постоянном давлении тепло, сообщенное газу, идет не только на изменение его внутренней энергии, но и на совершение газом работы.

Важную роль в термодинамике играет величина . В частности, g входит в уравнение Пуассона, описывающее адиабатический процесс, т.е. процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой (dQ = 0). Уравнение Пуассона в переменных Р, Vимеет вид

РV ^g= соnst. (7.8)

Из первого начала термодинамики (7.3) для адиабатического процесса следует:

dU +dA = 0,

откуда

dA = - dU = - C_vdT,

т.е. работа в этом случае совершается за счет изменения запаса внутренней энергии.

Описание установки и метода определения С_р/ C_v

Для определения в данной работе используется метод, предложенный немецкими физиками Клеманом и Дезормом.

Установка (рис.7.1) состоит из стеклянного баллона Б емкостью 10 - 15 литров, закрытого пробкой. Через пробку проходят две трубки. Трубка 2 соединена с жидкостным манометром 3, используемым для измерения избыточного по сравнению с атмосферным давления в баллоне. Трубка 1 через кран K₁ соединена с атмосферой. Через отверстие в нижней части баллона проходит третья трубка 5, которая через кран K₂ соединяет баллон с насосом 4.

Пусть при комнатной температуре Т₁ газ, находящийся в баллоне, имеет давление Р₁, которое несколько выше атмосферного Р₀. Избыток давления (отсчет h₁) можно создать насосом при открытом кране K₂ и измерить манометром 3 (кран K₂ после этого должен быть закрыт), т. е.

Р₁= Р₀+ h₁, h₁< < Р₀

Если сейчас на короткое время открыть кран K₁, то будет иметь место процесс адиабатического расширения газа (теплопроводность стенок баллона мала). Давление газа в баллоне при этом сравняется с атмосферным Р₀(рис.7.2), а температура газа понизится до Т₂(работа расширения совершается за счет внутренней энергии газа).

Уравнение Пуассона (7.8), описывающее адиабатический процесс, в нашем случае удобно записать в переменных Р, Т:

. (7.9)

После процесса расширения в результате теплообмена температура оставшегося в баллоне газа начинает повышаться. Будет повышаться и давление газа, причем до тех пор, пока температура вновь не сравняется с комнатной. Обозначим это давление через Р₂. Очевидно, Р₂=Р₀+ h₂, где h₂< < P₀ - избыточное давление, измеренное по манометру в данном случае. Таким образом, сейчас имеет место изохорный процесс нагревания газа со скоростью, определяемой теплопроводностью стеклянных стенок баллона. Как известно, такой процесс подчиняется закону Гей - Люссака:

. (7.10)

Оба процесса (адиабатический, и изохорный ) изображены в координатах Р, V на рис.7.2.

Сравнивая (7.9) и (7.10), можно записать: .

Учитывая, что P₁ = P₀+ h₁, а Р₂= P₀ + h₂, последнее выражение представим как

или

. (7.11)

Так как h₁ и h₂ малы по сравнению с Р₀, то обе части равенства (7.11) можно разложить в ряд. Ограничиваясь членами первого порядка, получаем

откуда

. (7.12)

Выражение (7.12) является рабочей формулой для определения g. Как видно, для этого достаточно при проведении опытов измерить h₁и h₂.

Порядок выполнения работы

Перед началом измерений убедитесь в том, что краны и места сочленений трубок достаточно герметичны. Для этого, перекрыв кран K₁, через кран K₂ с помощью насоса заполните баллон воздухом до давления, превышающего атмосферное на 100 - 200 мм водяного столба. Кран K₂ закройте и наблюдайте за изменением давления, которое сначала будет понижаться. Если через некоторое время (5 - 8 с) давление перестанет понижаться, то установка исправна. В противном случае необходимо найти и устранить течь.

Измерения проводить в таком порядке:

1. При перекрытом кране K₁ закачивайте воздух в баллон до тех пор, пока разность уровней в манометре не достигнет 300-400 мм вод. ст. Кран K₂ закройте.

Ждите, пока уровень воды в манометре перестанет изменяться. Сделайте отсчет разности уровней h₁ и этот результат запишите в табл. 7.1.

2. Быстро откройте кран K₁. Когда давление сравняется с атмосферным (разность уровней в манометре равна нулю), перекройте его. Давление должно повышаться. Дождитесь момента, при котором давление в баллоне перестанет повышаться, и измеряйте h₂ – разность уровней воды в коленах манометра. Результат запишите в табл. 7.1.

Таблица 7.1

№ п/п	h_1, мм	h_2, мм	g	< g>	g_i- < g>	D_ig²=(g_i-< g> )²	å Dg_i²
. . .

3. Пункты 1 и 2 повторите не менее 7 раз.

4. По результатам каждого из опытов по формуле (7.12) вычислите g, а затем его среднее значение < g> .

5. Вычислите абсолютнуюDg и относительную s_g ошибки по формуле:

, ,

где t_{a, n} – коэффициент Стьюдента; n – число измерений.

6. Результат представьте в виде:

g = < g> ± Dgпри e_g = … %, a = … (a - надежность результатов).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что называется теплоемкостью тела, удельной теплоемкостью вещества, молярной теплоемкостью вещества? В каких единицах измеряются эти величины?

2. Что такое молярная теплоемкость при постоянном объеме (С_v ), при постоянном давлении (С_р )?

3. Какова связь между С_ри С_v?

4. В чем состоит первое начало термодинамики?

5. Какой процесс называется изохорическим?

6. Какой процесс называется изобарическим?

7. В связи с чем рассматриваются в данной работе изохорический и изобарический процессы?

8. Какой процесс называется адиабатическим?

9. Запишите уравнение Пуассона в переменных Р, Vи Р, T.

10. Что происходит с внутренней энергией и температурой газа при адиабатическом расширении его?

11. Опишите устройство прибора и процессы, происходящие с газом в ходе выполнения работы.

12. Приведите вывод рабочей формулы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Трофимова Т.И. Курс физики: Учебное пособие. -7 изд., испр. - М.: Высшая школа, 2001.- 542 с.

2. Детлаф А.А. Курс физики: Учебное пособие для вузов. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Высшая школа, 1999. – 718 с.

3. Савельев И.В. Курс общей физики. М.: Наука, 1988. Т. 1- 3.

4. Лабораторный практикум по физике. Под ред. К.А. Барсукова и Ю.И. Уханова. М.: Высшая школа, 1988.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Предельные погрешности некоторых приборов	Коэффициенты Стьюдента t_a_{, n}
№ п/п	Приборы	Значение меры	DХ_пр	a n	0, 90	0, 95	0, 98
	Линейка металлическая Линейка деревянная Линейка пластмассовая Гири обычные Штангенцир-кули с ценой деления: 0, 1 мм 0, 05 мм Микрометры с ценой деления 0, 01 мм Весы лабораторные Секундомеры механическ. и электрические Термометры стеклянные жидкостные	150, 350, 500 мм 200, 400, 500 мм 200, 250, 300 мм 1 г, 2 г, 3г 0-155 мм 0-250 мм 0-50 мм до 200 г до 30 мин до 100⁰	0, 5 мм 0, 5 мм 1мм 6, 8, 12 мг 0, 1 мм 0, 05 мм 4 мкм 3 миним. дел. шкалы 1 миним. дел. шкалы за 1 оборот секундной стрелки Цена мин. дел.шкалы, если оно = 1^о, 2^о, 5^о и удвоенная цена, если 0, 2^о, 0, 5^о	¥	6, 31 2, 92 2, 35 2, 13 2, 02 1, 94 1, 89 1, 86 1, 83 1, 65	12, 7 4, 30 3, 18 2, 76 2, 57 2.45 2, 36 2, 31 2, 26 1, 96	31, 82 6, 96 4, 54 3, 75 3, 36 3, 14 3, 00 2, 90 2, 82 2, 34

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Пример обработки результатов прямого измерения

Измерялась длина l стержня штангенциркулем с ценой деления D = 0, 1 мм. Полученные данные приведены в нижеследующей таблице (вторая колонка).

№ п/п	l, мм	l_i - < l>, мм	Dl² = (l_i-< l> )², мм²
	20, 8 20, 4 20, 7 20, 9 20, 5 20, 8	+0, 12 -0, 28 +0, 02 +0, 22 -0, 18 +0, 12	0, 0144 0, 0784 0, 0004 0, 0484 0, 0324 0, 0144
å	124, 1
< l>	20, 68

1) Находим мм и среднее значение < l> = = 20, 68 мм.

2) Находим (l_i - < l> ), (l_i-< l> )² и å (l_i- < l> )² =1884·10^-4 мм².

3) Задаемся надежностью a = 0, 95 и по таблице (приложение 1) находим t_a_{, n}= 2, 57 и t_a_,_¥ = 1, 96.

4) Вычисляем абсолютную и случайную погрешности

Dl_cл = t_a_{, n} мм.

5) Устанавливаем предельную погрешность прибораDl_пр = D = 0, 1 мм и вычисляем приборную погрешность

Dl_пр^ст = t_a_,_¥/3 × D = 1, 96/3 × 0, 1 = 0, 085 мм.

6) Погрешность округления. Отсчет по нониусу округлялся до целого деления, значит, h = D = 0, 1 мм, и

Dl_окр = a× h/2 = 0, 95 × 0, 1/2 = 0, 048 мм.

7) Полная абсолютная погрешность

Dl = мм = 0, 22 м.

8) Относительная погрешность

e_l=Dl/< l> = 0, 22/20, 68 = 0, 0106; e »1, 1 %.

9) Итог: l = (22, 7 ± 0, 2) мм. e» 1% приa = 0, 95.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Пример обработки результатов косвенного измерения

Определялось ускорение свободного падения g с помощью математического маятника. После обработки результатов измерений длины маятника lи периода колебаний Тбыли получены данные: l = (1, 203 ± 0, 004)м приa= 0, 95. Т=(2, 21 ± 0, 02) с.

Связь между g, l, и Т следующая:

1) Вычисляем < g>: < g> = м/с².