Исследование плоскопараллельного движения твердого тела

Плоский механизм состоит из стержней 1-4 и ползуна B, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами O₁ и O₂ шарнирами (рис. К2.0-К2.9). Длины стержней: = 0, 4 м, = 1, 2 м, = 1, 4 м, = 0, 8 м. Положение механизма определяется углами a, b, γ, j, q, которые вместе с другими величинами заданы в табл. К2. Точка D на всех рисунках и точка К на рис. К2.7-К2.9 в середине соответствующего стержня. Определите величины, указанные в таблице в столбце «Найти». Найти также ускорение а_А точки А стержня 1, если стержень 1 имеет а данный момент времени угловое ускорение .

Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа должны откладываться соответствующие углы, т.е. по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол γ на рис.1 следует отложить от стержня DE против хода часовой стрелки, а на рис. 2 – от стержня АЕ по ходу часовой стрелки.

Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом a, ползун В и его направляющие для большей наглядности изобразить, как в примере К2 (см. рис. К2). Заданную угловую скорость считать направленной против хода часовой стрелки, а заданную скорость v_В – от точки В к b.

Указания. Задача К2 - на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела, мгновенным центром скоростей.

Таблица К2

Номер условия	Углы	Дано	Найти
aº	bº	γ º	jº	qº	ω 1, 1/с	ω 4, 1/с	υ В, м/с
							-	-	υ В, υ Е, ω 2
						-		-	υ А, υ D, ω 3
						-	-		υ A, υ Е, ω 2
							-	-	υ В, υ Е, ω 2
						-		-	υ В, υ A, ω 2
						-	-		υ A, υ Е, ω 3
							-	-	υ В, υ Е, ω 3
						-		-	υ A, υ D, ω 3
						-	-		υ A, υ Е, ω 2
							-	-	υ В, υ Е, ω 3

 

Пример К2. Найти для заданного положения механизма скорости и ускорения точек В и С, а также угловую скорость и угловое ускорение звена, которому эти точки принадлежат.

Дано: ОА=10 см; АВ=10 см; АС=5 см; ω ОА = 2 рад/с; ε ОА = 6 рад/с2; _______________ Найти: vB, vC, aB, aC, ε АВ, ω АВ.

Рис. 6

 

Решение: 1) Определим окружную скорость точки А: vА= wОА·ОА=2·10=20 см/с. 2) Построим мгновенный центр скоростей РАВ для звена АВ. Он располагается на пересечении перпендикуляров, проведённых к скоростям. Скорость точки А перпендикулярна кривошипу ОА. Скорость ползуна В направлена по горизонтали. 3) Определим угловую скорость звена АВ:

Рис. 7

w_АВ= v_А / АР_АВ;

где АР_АВ – расстояние от точки А до полюса, которое является катетом прямоугольного равнобедренного Δ АРВ:

w_АВ=20/10=2 рад/с;

Т.к. полученный Δ АРВ – прямоугольный и равнобедренный, то

v_А= v_В/cos45°=20/ cos45°=28, 28 см/с.

Определим скорость точки С:

v_С= w_АВ·СР_АВ ;

где СР_АВ – расстояние от точки С до полюса, определяется по теореме Пифагора:

см;

v_С =2·11, 18=22, 36 см/с.

4) Определим ускорение точки А. Оно геометрически складывается из нормального и касательного ускорений: .

Нормальное ускорение определяется по формуле:

=2²·10=40 см/с²;

Касательное ускорение определяется по формуле:

см/с².

5) Определим ускорение точки В:

,

где вектор нормальное ускорение точки В во вращательном движении шатуна АВ вокруг полюса А; вектор направлен вдоль звена АВ в сторону точки А;

=2²·10=40 см/с²;

- вектор касательного ускорения точки В во вращательном движении шатуна АВ вокруг полюса А; вектор направлен перпендикулярно звену АВ; т.к. его направление пока неизвестно, направим его в произвольную сторону; линия действия вектора направлена горизонтально, его величина и направление пока неизвестны, задаём направление произвольно.

Рис. 8

Спроецируем векторы ускорений на оси Ох и Оу. Ось Ох направляем вдоль шатуна АВ, ось Оу ей перпендикулярна:

;

.

Из уравнений находим:

= - 141, 4 см/с²;

знак минус показывает, что вектор направлен в сторону, противоположную указанному на рисунке;

-60 см/с²,

знак минус показывает, что вектор направлен в сторону, противоположную указанному на рисунке.

6) Определим угловое ускорение звена АВ:

ε _АВ = =6 рад/с².

Ответ. v_В = 28, 3см/с, v_С = 22, 36см/с, ω _АВ =2рад/с, а_А=72, 1см/с², а_В = 141, 4см/с², = 40см/с², = 60 см/с², = 40 см/с², = -60 см/с², ε _АВ = 6 рад/с²

Задача К3

Сложное движение точки

Прямоугольная пластина (рис. К3.0 - К3.5) или круглая пластина радиусом R = 60 см (рис. К3.6 – К3.9) вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скорость ω, заданной в табл. КЗ (при знаке минус направление ω противоположно доказанному на рисунке). Ось вращений на рис. K3.0 - K3.3 и К3.8 – 3.9 перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку О(пластина вращается в своей плоскости); на рис. К3.4 - К3.7 ось вращения ОО₁лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве).

 

Таблица К3

Номер условия	ω, 1/с	Рис. 0-5	Рис. 6-9
b, см	s = AM = f(t)		s = = f(t)
	-2		60(t4 - 3t2) + 56	R
			60(t3-2t2)	R
			80(2t2 - t3) - 48	R
	-4		40(t2- 3t) + 32
	-3		50(t3 - t) - 30	R
			50(3t – t2) - 64	R
			40(t – 2t3) – 40
	-5		80(t2 – t) + 40	R
			60(t - t3) + 24	R
	-5		40(3t2 – t4) - 32

По пластине вдоль прямой BD (рис. K3.0-K3.5) или по окружности радиуса R, т.е. по ободу пластины (рис. К3.6-К3.9), движется точка М. Закон ее относительного движения, выражаемый уравнением s = AM = f(t) (s – в сантиметрах, t – в секундах), задан в табл.К3 отдельно для рис.К3.0-К3.5 и для рис.К3.6-К3.9, при этом на рис. 6-9 s = и отсчитывается по дуге окружности; там же даны размеры b и . На всех ри­сунках точка М показана в положении, при котором s = AM > 0 (при s < 0 точка М находится подругую сторону от точки А).

Определять абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t₁ = 1с.

Указания. Задача К3 - на сложное движение точки. При ее решении движение точки по пластине считать относительным, а вращательное движение самой пластины – переносным и воспользоваться теоремами о сложении скоростей и о сложении ускорений. Прежде чем производить расчеты, следует изобразить точку М на пластине в том положении, в котором нужно определить ееабсолютную скорость (или ускорение), а не в произвольном положении, показанном на рисунках к задаче.

В случаях, относящихся к рис.К3.6-К3.9, при решении задачи не подставлять числового значении R, пока не будут определены положение точки М в момент времени t₁ = 1 с и угол между радиусами СМ и САвэтот момент.

 

Пример К3. Точка М движется относительно тела D. По заданным уравнениям относительного движения точки М и движения тела D определить для момента времени t=t₁ абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.

Дано: ОМ=Sr=Sr(t)=10π ·sin(π t/4), см; je=je(t)=4t - 0.2t2, рад; t1=2/3 c; R= 30 _______________ Найти: абсолютную скорость v, абсолютное ускорение a

Рис. 9

Решение:

1) Положение точки М в момент времени t₁ =2 с:

S_r1= 10·3, 14·sin(π ·2/12)=15, 71 см. За время t₁ точка М проходит 1/12 часть окружности, т.е. 30˚.

2) Абсолютная скорость точки М находится как геометрическая сумма относительной и переносной скоростей: .

переносная угловая скорость: wе= =4 – 0, 2·2t = 4 – 0.4t, рад/с; в момент времени t1 =2с wе1=4 – 0.4·2/3=3, 73 рад/с; переносная окружная скорость: ve=R·wе=30·3.73=112 см/с; её вектор направлен вдоль оси Ох. относительная линейная скорость:

Рис. 10

v_r= ;

в момент времени t₁ =2с: v_r1= =21.4 см/с;

вектор относительной линейной скорости направлен по касательной к траектории относительного движения;

абсолютная скорость:

cм/c.

3) Абсолютное ускорение точки М находится как геометрическая сумма относительного, переносного и кориолисового ускорений:

.

Модуль относительного тангенциального ускорения:

,

в момент времени t₁ =2/3с: = - 9, 69 см/с²; отрицательный знак показывает, что вектор направлен в сторону отрицательных значений S_r. Знаки и противоположны, значит относительное движение является замедленным.

Относительное нормальное ускорение:

=15.3 см/с²;

его вектор направлен от точки М к центру относительной траектории К.

Модуль переносного углового ускорения:

e_е= = - 0.4, рад/с²,

Знак минус означает, что переносное движение является замедленным.

Переносное тангенциальное ускорение:

,

где r – расстояние от точки М (в момент времени t1) до оси переносного вращения; вектор направлен вдоль оси Ох в сторону противоположную . r = R·cos30˚ =30·cos30˚ =26.0 см, =26.0·0.4=10.4 см/с2. Переносное нормальное ускорение: =3, 73·26=96.9 см/с2; его вектор направлен от точки М к точке С.

Рис. 11

Кориолисово ускорение определяется по формуле:

,

его вектор направлен вдоль оси Ох, в сторону противоположную , согласно правилу векторного произведения;

модуль кориолисова ускорения: ,

где =sin 30˚ =0, 5.

а_кор = 2·3, 73·21, 4=159, 6 см/с².

Модуль абсолютного ускорения находим методом проекций:

а_х = – а_кор =10.4 – 159.6= –149.2 см/с²;

а_у = = – 96.9 – 15.3·cos30˚ +9.69·cos60˚ = – 105.3 см/с²;

а_z = = – 15.3·sin30˚ – 9.69·sin60˚ = – 16.0 см/с²;

183.3 cм/c².

Ответ: = 114 м/с, = 183, 3 м/с².

 

123456

Поделиться:

Популярное:

1. I. КИНЕМАТИКА РАВНОУСКОРЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
2. II) Ознакомиться с методами продвижения сайта в Интернете
3. IV. Исследование подсознательного в обществе: аналитическая социальная психология и характерология
4. Абсолютное движение - движение тела относительно условно неподвижной системы отсчета.
5. Автороведческое исследование документов
6. Анализ состава, структуры и движения персонала ООО «Газпром трасгаз Сургут»
7. АНТИТЕЛА. СЕРОЛОГИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ В РЕАЛИЗАЦИИ II ПРИНЦИПА ДИАГНОСТИКИ.
8. Баланс основных фондов. Показатели движения состояния и использования основных фондов.
9. Биодинамика передвижения со скольжением (лыжи)
10. В которой описываются неоспоримые достоинства поездов как новейшего, удобнейшего и наиболее безопасного средства передвижения
11. В один из таких ненастных дней полк облетела радостная весть — появился Владимир Лавриненков, о судьбе которого ничего не было известно после того, как его сбили в августе за линией фронта.
12. Важнейшие характеристики механического движения. Простейшие закономерности. Прямолинейное и криволинейное движение. Связь, между линейными и угловыми параметрами движения