Изучение законов гармонического движения

Омск – 2007

Рекомендовано к изданию ученым советом физического факультета от 26 декабря 2006 года.

Механика: Лабораторный практикум. ч. 2. (для студентов физического факультета) / Сост.: Сычёв С.А., Серопян Г.М., Скутин А.А., Югай К.Н., Муравьев А.Б.

Практикум включает 4 лабораторные работы. Материал соответствует Государственному образовательному стандарту по специальности «Физика». Может быть использован студентами других специальностей.

Лабораторная работа № 5

Изучение законов гармонического движения

на примере физического и математического маятников.

Цель работы: Научиться определять ускорение свободного падения с помощью математического и физического маятников.

Приборы и принадлежности: физический маятник (оборотный маятник), математический маятник (маятник Бесселя), секундомер, призма, линейка или рулетка, отвертка.

О₁

В L

Р₁

l₁

l₂

М

O₂

P₂

Рис. 1. Физический маятник. Рис. 2. Маятник Бесселя.

Упражнение 1.

Физический маятник, используемый в данной работе (рис. 1), состоит из металлического стержня с закрепленными на нем опорными призмами О₁ и О₂ и грузами m₁ и m₂, которые могут перемещаться вдоль стержня. Перемещение грузов вдоль стержня изменяет момент инерции маятника и положение центра масс, и период его колебаний.

Применение оборотного маятника основано на свойстве сопряженности точки подвеса (О₁) и центра качания (О₂). Центром качания физического маятника называется точка, удаленная от оси вращения по линии, проходящей через точку подвеса О₁ и центр масс С, на расстояние, равное приведенной длине маятника , где J – момент инерции маятника, m – его масса, – расстояние от точки подвеса до центра масс.

Пусть момент инерции физического маятника относительно точки подвеса равен J. Тогда для полной механической энергии колебаний имеем:

J + mg = const, (1)

где первое слагаемое – это кинетическая энергия, а второе – потенциальная.

Рис. 3.

Потенциальная энергия маятника при колебаниях достигает максимального значения mgh, когда кинетическая становится равной нулю и достигает нулевого значения, когда кинетическая энергия максимальна. Пусть центр масс физического маятника в процессе гармонического колебания поднимается на высоту h (рис. 3). Тогда выразим эту высоту через угол отклонения :

h = - cos = (1 – cos ) = 2 sin² ≈ , (2)

где sin ≈ для малых углов отклонения.

При выводе формулы (2) использовано известное тригонометрическое тождество:

sin² = (1 – cos ). (3)

Угловая скорость = = и тогда уравнение (1) запишется:

J + mg = const. (4)

Произведя дифференцирование (4) по времени, получим:

J + mg = 0. (5)

Уравнение (5) можно переписать как

+ mg = 0 (6)

или

+ = 0, (6а)

где - частота собственных колебаний маятника.

Из вида (6) получим для частоты собственных колебаний:

= . (7)

Для периода колебаний:

T = 2 . (8)

Для математического маятника J = m , поэтому

. (9)

Поскольку на практике очень трудно добиться полного равенства периодов колебаний оборотного маятника при подвешивании его на верхнюю и нижнюю призмы, можно получить выражение для ускорения свободного падения в случае, когда периоды колебаний различаются:

, (10)

, (11)

где g – ускорение свободного падения; J₁ и J₂ – моменты инерции маятника относительно осей и , равные по теореме Штейнера:

, (12)

. (13)

Здесь J₀ – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр масс; и – соответственно расстояния от призм О₁ и О₂ до центра масс.

Подставляя (12) и (13) в выражения (10) и (11) соответственно, имеем

, (14)

. (15)

Из выражений (14), (15) получаем

Отсюда

. (16)

Формула (16) является расчетной. При незначительной разности между Т₁ и T₂ вторым слагаемым в знаменателе выражения (16) можно пренебречь. Тогда

, (17)

где – расстояние между призмами.

Выполнение измерений.

1. Пользуясь секундомером, определите периоды колебаний маятника в прямом и перевернутом положениях, проводя опыт не менее трех раз для каждого положения.

2. Помещая маятник на трехгранную призму, определите центр масс маятника.

3. Измерьте расстояния и от центра масс до опорных призм О₁ и О₂.

4. Меняя расположение грузов m₁и m₂, проведите измерения по пунктам 1-3 еще не менее трех раз,.

5. Данные занесите в таблицу, рассчитайте ускорение свободного падения по формуле (8).

6. Оцените погрешность определения ускорения свободного падения g.

7. Добейтесь приблизительного равенства периодов колебания маятника в прямом и перевернутом положениях, последовательно перемещая грузы m₁и m₂. Т₁ и Т₂ должны различаться не более чем на 0, 02 с, тогда можно использовать формулу (17). (Этот пункт выполняется по желанию студентов).

Примечания:

1) Колебания физического маятника изохронны (период колебаний не зависит от амплитуды), когда угловая амплитуда колебаний не превышает нескольких градусов. При больших амплитудах изохронность нарушается;

2) C целью уменьшения ошибок измерений необходимо определять время 20-50 колебаний, откуда вычислить период колебаний.

Упражнение 2.

Маятник Бесселя устроен следующим образом: на нижнем конце нити прикреплен тяжелый металлический шарик М, который может совершать колебательные движения относительно вертикальной линейки L (рис. 2). Нить закрепляется в точке B таким образом, что можно легко изменять и измерять ее длину.

Математический маятник можно рассматривать как частный случай физического маятника и определять период его колебаний по формуле

, (10)

где – длина математического маятника от точки подвеса то точки центра масс.

Выполнение измерений.

1. С помощью секундомера измерьте время 20-50 полных колебаний и вычислите период колебаний математического маятника.

2. Исследуйте зависимость периода математического маятника от его длины. Для этого, изменяя длину маятника, проведите не менее семи измерений (например, для длины нити 5, 10, 15, 20 25, 30 и 35 см).

3. Данные занесите в таблицу, вычислите ускорение свободного падения.

4. Постройте график зависимости периода математического маятника от .

5. Оцените погрешность определения ускорения свободного падения.

Примечание:

При подборе длин маятника следует помнить, что формула (10) справедлива для идеального математического маятника. Измерение длины производите от точки подвеса до точки центра масс шарика.

Контрольные вопросы.

1. Уравнение гармонического колебания, его характеристики: амплитуда, частота, фаза.

2. Уравнение движения материальной точки без диссипации и уравнение с учетом диссипативных сил.

3. Энергия колеблющейся материальной точки.

4. Вывести уравнение движения физического маятника.

5. Физический и математический маятники, периоды их гармонических колебаний.

6. Какова должна быть длина математического маятника, чтобы его период равнялся 1 секунде?

7. От чего зависит ускорение свободного падения?

8. Что называется приведенной длиной физического маятника, от чего она зависит?

9. Как изменится период колебаний, если маятник находится на Луне; если под маятником расположить магнит?

10. Каким образом используется теорема Штейнера в данной работе?

Литература.

1. Киттель Ч., Найт У., Рудерман М. Берклеевский курс физики. Т. 1. М.: Наука, 1975.

2. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1976.

3. Руководство к лабораторным занятиям по физике // Под редакцией Л.Л. Гольдина. М.: Наука, 1975.

Лабораторная работа № 6

Y x

R–r

С'

Рис.1. Схема трифилярного подвеса.

Угловую скорость w найдем как первую производную от углового смещения (2).

. (3)

Наибольшего значения модуль угловой скорости достигает при прохождении платформой положения равновесия, т.е. в моменты времени, когда cos t = 1. Т.е. t = , где z – целые числа. С учетом этого из (3) получим

. (4)

Подставляя (4) в (1), имеем

. (5)

Высоту поднятия центра тяжести можно рассчитать из следующих соображений (рис.1). Точка С имеет координаты: x₁= r, y₁= 0, z₁= 0, а точка С' имеет координаты: x₂= R cosj, y₂= R sinj, z₂= z. Расстояние между точками С и С' равно длине нити l.

Учитывая, что расстояние между двумя точками, координаты которых х₁, у_1,z₁и х₂, у₂, z₂выражается формулой

получим

откуда

В случае малых углов соsj = 1 – ²/2 имеем

. (6)

Так как l²= z_о²+ (R + r)² ( рис.1), формула (6) принимаем вид

z²= z_о²– R rj².

Разлагая в ряд и ограничиваясь первыми двумя членами ряда (ввиду малости j), получим

. (7)

С учетом (7) из соотношения (5) получаем расчетную формулу:

. (8)

Эта формула дает возможность определить момент инерции нижней платформы (или платформы с телом), если известны параметры трифилярного подвеса: масса платформы m, радиусы большой и малой платформ R и r, расстояние между платформами z_о. Период колебаний определяется по формуле

, (9)

где t – время всех колебаний; n – число полных колебаний платформы.

Упражнение 1.

Определение момента инерции ненагруженной платформы J₀ по формуле (8).

1. С помощью штангенциркуля и линейки измерить величины R, r, z_о (масса платформы указана на самой платформе).

2. Осторожно вынести платформу из положения равновесия, повернув ее на небольшой угол j_о (3-5⁰), и отпустить ее, предоставив ей возможность совершать крутильные движения. При этом следить, чтобы платформа не совершала побочных колебаний.

3. С помощью секундомера определить время 20-30 колебаний платформы и определить период колебаний по формуле (9).

4. Рассчитать момент инерции платформы J₀ по формуле (8).

5. Оценить погрешность определения J₀, проведя опыты 3 раза.

Упражнение 2.

Упражнение 3.

Проверка теоремы Штейнера.

Теорема Штейнера утверждает, что момент инерции тела J'₁ относительно произвольной оси О₁О₂ (рис.2) равен сумме момента инерции J₁ относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела точку О (ос О'₁О'₂) и произведения массы тела m на квадрат расстояния между осями а²:

J'₁= J₁+ ma². (10)

Для экспериментальной проверки теоремы Штейнера используют два одинаковых тела (сплошных цилиндра), массы которых равны m.

1. Поместить эти тела одно на другое строго по центру платформы и привести систему в крутильные колебательные движения.

2. Определить период колебаний, используя методику упражнения 1.

3. Рассчитать момент инерции двух цилиндрических тел J₂ (с учетом платформы) по формуле (8).

4. Рассчитать момент инерции двух тел J₁, расположенных на оси вращения платформы как разность J₁= J₂– J₀.

5. Расположить эти два тела на платформе симметрично на некотором расстоянии от оси вращения, определить период колебаний.

6. Рассчитать момент инерции двух тел, находящихся на некотором расстоянии от оси вращения (с учетом J₀ платформы) J'₂по формуле (8). Особое внимание обратить на правильное определение расстояния от тел до оси вращения, используя рис.2.

О₂ О'₂

O₁ О'₁

Рис. 2.

7. Рассчитать момент инерции двух тел, находящихся на некотором расстоянии от оси вращения J'₁, как разность J'₁= J'₂– J₀.

Разница в числовых значениях J'₁ и J₁, составляет смысл теоремы Штейнера, а именно:

J'₁ – J₁ = 2ma², (11)

где m – масса одного тела; а – расстояние от оси вращения до центра цилиндра. Измерить а штангенциркулем или линейкой, проводя измерения несколько раз.

8. Оценить погрешность этого опыта.

Упражнение 4.

1. Определить момент инерции твердого тела неправильной геометрической формы, выполняя пункты упражнения 2.

2. Сделать письменный вывод по работе.

Контрольные вопросы.

1. Что такое момент инерции? Чему он равен у произвольного тела и у тел правильной геометрической формы: диска, цилиндра, шара?

2. Вывести формулу момента инерции ненагруженной платформы.

3. От каких факторов зависит точность этих опытов? Почему необходимо пользоваться малыми углами поворота платформы при крутильных колебаниях?

4. Сформулировать теорему Штейнера и объяснить, как она проверяется в данной лабораторной работе.

5. Можно ли пользоваться предложенным методом для определения моментов инерции тел в том случае, если ось вращения платформы не проходит через их центр тяжести?

Литература.

1. Киттель Ч., Найт У., Рудерман М. Берклеевский курс физики. Т. 1. М.: Наука, 1975.

2. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1976.

3. Руководство к лабораторным занятиям по физике (Под ред. Л.Л. Гольдина). М.: Наука, 1964.

4. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 1. М.: Наука, 1977.

Лабораторная работа № 7

Порядок выполнения работы.

1. Измерить диаметры малого и большого шкивов d₁ и d₂штангенциркулем. Проверить безразличное равновесие маятника.

2. Закрепить на стержнях цилиндрические грузы, располагая их у оси вращения маховика (например, на расстоянии 5 см от оси вращения груза до точки его центра масс).

3. Положить гирьку массой m₁= 58, 2 г на чашку, к которой привязана нить, и намотать нить на большой шкив, одновременно задав расстояние, которое должен пройти груз.

4. Отпустить груз и одновременно включить секундомер кнопкой «Пуск». Крестообразный маятник начинает ускоренно вращаться под действием момента силы натяжения М. Достигнув уровня платформы, секундомер автоматически выключается. Записать показание секундомера t и замерить путь h, пройденный грузом.

5. Рассчитать М, ε , J по формулам (4), (5), (6) и заполнить таблицу.

6. Увеличивая массу груза путем добавления перегрузков, повторить опыт трижды.

7. Перемотать нить на шкив малого радиуса и повторить измерения по пунктам 4 - 6.

8. Найти среднее значение J₁, первых четырех опытов и J₂ – вторых четырех опытов.

9. Рассчитать момент инерции маятника по формуле J = 4m ², где m – масса груза на крестовине, - расстояние от центра масс груза до оси вращения. Сравнить с экспериментально полученными значениями момента инерции. Объяснить расхождение в результатах.

10. Изменить положение цилиндрических грузов, поместив их на концы стержней. Повторить измерения по пунктам 1- 9.

11. Оценить погрешность измерений одного из опытов.

12. Сделать письменный вывод.

Контрольные вопросы.

1. Что называется моментом силы? Как направлены векторы момента силы и углового ускорения?

2. Что такое момент инерции материальной точки? Чему равен момент инерции вращающегося тела?

3. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения.

4. Как в данной работе рассчитывается момент инерции твердого тела?

5. Объясните различие вычисленных и измеренных значений момента инерции.

6. Проанализируйте причины возникновения случайных и систематических ошибок в данной работе.

7. Почему в данной работе можно не учитывать момент силы трения?

Литература.

1. Киттель Ч., Найт У., Рудерман М. Берклеевский курс физики. Т. 1. М.: Наука, 1975.

2. Матвеев А.П. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1976.

3. Руководство по лабораторным занятиям по физике (Под ред. Л.Л. Гольдина). М.: Наука, 1964.

4. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 1. М.: Наука, 1977.

5. Савельев И.В. Механика. Молекулярная физика. Т. 1. М.: Наука, 1982.

Лабораторная работа № 8

Рис. 1. Маятник Максвелла.

Поступательное движение центра масс маятника массой m описывается уравнением:

ma = mg - F_H, (2)

где F_H – сила натяжения нитей. А вращение маятника уравнением:

Jε = M, (3)

где ε – угловое ускорение маятника; М – момент сил натяжения нитей; J – момент инерции маятника. Угловое ускорение ε можно определить из соотношения:

а = ε r, (4)

где r – радиус стержня.

Момент сил натяжения нитей определяется следующим образом:

M = F_H r. (5)

Из уравнений (1), (3), (4), (5) можно выразить момент инерции маятника Максвелла:

. (6)

Порядок выполнения работы.

1. Штангенциркулем измерить диаметр стержня, найти его радиус .

2. Вычислить силу натяжения нитей при спокойно висящем маятнике, если его масса m = 126 г.

3. Тщательно, виток к витку, на стержень маятника намотать нить, чтобы при движении маятника вниз не получить «биений». Придерживая маятник рукой, отпустить его, одновременно нажав на кнопку «Пуск» секундомера. Внимательно наблюдать за направлением вращения маятника. По достижении краем диска платформы с фотодиодом, секундомер зафиксирует время поступательного движения диска.

4. Измерить путь, пройденный маятником, и время, соответствующее движению на этом пути.

5. Рассчитать момент инерции маятника по формуле (6).

6. Повторить опыт не менее пяти раз по пунктам 2 – 5. Найти среднее значение момента инерции маятника. Рассчитать момент инерции маятника Максвелла по формуле для момента инерции диска.

где m – масса маятника, R – радиус диска.

Сравнить J_d с полученным средним значением и объяснить расхождения в результатах.

7. Добавить к маятнику разновес (кольцо с прорезью) массой m₁ = 207 г. Проделать пункты 2-5 не менее пяти раз и занести результаты в таблицу. Вычислить момент инерции маятника по формуле п.6 и сравнить результаты. Объяснить расхождение в результатах.

8. Добавить к маятнику разновес (кольцо с прорезью) массой m₂ = 319 г и проделать пункты 2-5 пять раз. Занести результаты в таблицу. Вычислить момент инерции маятника по формуле п.6 и сравнить результаты.

9. Добавить к маятнику разновес (кольцо с прорезью) массой m₁ = 434 г. Проделать пункты 2-5 не менее пяти раз и занести результаты в таблицу. Вычислить момент инерции маятника по формуле п.6 и сравнить результаты. Уменьшается или увеличивается расхождение в измеренном моменте инерции маятника и вычисленном при увеличении его массы? Почему?

10. Оценить погрешности опыта.

11. Сделать письменный вывод.

Проверка формулыпоступательного движения заключается в том, что из величин F_H, mg и ma составляются ее правая и левая части, которые в пределах ошибки эксперимента должны совпадать. Уравнение (2) при этом нужно представить в скалярном виде.

Примечания:

1. Оберегать маятник от ударов.

2. К моменту достижения маятником платформы не допускать рывка нити.

Контрольные вопросы.

1. Какое движение твердого тела называется плоским?

2. Что такое мгновенный центр (ось) скоростей? Объяснить, где находятся мгновенные центры скоростей, при движении маятника Максвелла.

3. Для чего служит мгновенная ось?

4. Доказать, что натяжение нитей при спуске и подъеме одинаково, но меньше, чем в состоянии покоя.

5. Объяснить, почему при разматывании и наматывании нитей меняется направление вращения. Какие угловые характеристики при этом меняют направление, какие остаются постоянными (угловая скорость, угловое ускорение, момент сил)?

6. Чему равен момент инерции диска, если известна его масса и радиус?

7. Уменьшается или увеличивается расхождение в измеренном моменте инерции маятника и вычисленном при увеличении его массы? Почему?

Литература.

1. Киттель Ч., Найт У., Рудерман М. Берклеевский курс физики. Т. 1. 2-е изд. М.: Наука, 1975.

2. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности М.: Высшая школа, 1976.

3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.1. 2-е изд. М.: Наука, 1979.

4. Стрелков С.П. Механика. 3-е изд. М.: Наука, 1975.

Омск – 2007

Рекомендовано к изданию ученым советом физического факультета от 26 декабря 2006 года.

Лабораторная работа № 5

Изучение законов гармонического движения

на примере физического и математического маятников.

О₁

В L

Р₁

l₁

l₂

М

O₂

P₂

Рис. 1. Физический маятник. Рис. 2. Маятник Бесселя.

Упражнение 1.

J + mg = const, (1)

где первое слагаемое – это кинетическая энергия, а второе – потенциальная.

Рис. 3.

h = - cos = (1 – cos ) = 2 sin² ≈ , (2)

где sin ≈ для малых углов отклонения.

При выводе формулы (2) использовано известное тригонометрическое тождество:

sin² = (1 – cos ). (3)

Угловая скорость = = и тогда уравнение (1) запишется:

J + mg = const. (4)

Произведя дифференцирование (4) по времени, получим:

J + mg = 0. (5)

Уравнение (5) можно переписать как

+ mg = 0 (6)

или

+ = 0, (6а)

где - частота собственных колебаний маятника.

Из вида (6) получим для частоты собственных колебаний:

= . (7)

Для периода колебаний:

T = 2 . (8)

Для математического маятника J = m , поэтому

. (9)

, (10)

, (11)

, (12)

. (13)

12 3 4