С помощью трифилярного подвеса.

Цель работы: определение моментов инерции твердых тел и проверка теоремы Штерна методом крутильных колебаний.

Приборы и принадлежности: трифилярный подвес, секундомер, рулетка, набор тел, подлежащих измерению.

Одним из методов определения моментов инерции твердых тел, является метод крутильных колебаний, осуществляемый с помощью трифилярного подвеса (рис.1), который состоит из платформы 1, подвешенной на трех симметрично закрепленных нитях к неподвижно закрепленному диску 2 меньшего диаметра. Центры масс диска 2 и платформы 1 находятся на одной оси ОО', относительно которой платформе можно сообщить крутильные колебания, при этом центр тяжести платформы точки О' перемещается по этой оси.

Пусть верхняя платформа связана с системой координат ОХУ, начало которой находится в центре этой платформы в точке О. При повороте нижней платформы на некоторый угол j относительно положения равновесия, возникнет момент сил, стремящийся вернуть платформу в положение равновесия. В результате этого платформа начнет совершать крутильные колебания. Она поднимается на высоту h = z₀– z, где z₀ – координата точки О' в положении равновесия; z – координата точки О', соответствующая углу поворота j.

Рассчитать момент инерции самой платформы, а также платформы с телом, помещенным на нее, можно из следующих соображений.

При вращении платформы ее центр тяжести поднимается на высоту h = z₀- z, приобретая потенциальную энергию П = mgh, где m – масса платформы; g – ускорение свободного падения.

По закону сохранения механической энергии, пренебрегая работой сил трения, эта потенциальная энергия равна наибольшему значению кинетической энергии вращательного движения в момент достижения платформой положения равновесия.

, (1)

где J – момент инерции платформы; w – угловая скорость платформы в момент прохождения положения равновесия. Считая, что платформа совершает гармонические колебания, запишем зависимость углового смещения платформы от времени:

, (2)

где j _о– амплитудное угловое смещение платформы, Т – период колебаний.

Y x

R–r

С'

Рис.1. Схема трифилярного подвеса.

Угловую скорость w найдем как первую производную от углового смещения (2).

. (3)

Наибольшего значения модуль угловой скорости достигает при прохождении платформой положения равновесия, т.е. в моменты времени, когда cos t = 1. Т.е. t = , где z – целые числа. С учетом этого из (3) получим

. (4)

Подставляя (4) в (1), имеем

. (5)

Высоту поднятия центра тяжести можно рассчитать из следующих соображений (рис.1). Точка С имеет координаты: x₁= r, y₁= 0, z₁= 0, а точка С' имеет координаты: x₂= R cosj, y₂= R sinj, z₂= z. Расстояние между точками С и С' равно длине нити l.

Учитывая, что расстояние между двумя точками, координаты которых х₁, у_1,z₁и х₂, у₂, z₂выражается формулой

получим

откуда

В случае малых углов соsj = 1 – ²/2 имеем

. (6)

Так как l²= z_о²+ (R + r)² ( рис.1), формула (6) принимаем вид

z²= z_о²– R rj².

Разлагая в ряд и ограничиваясь первыми двумя членами ряда (ввиду малости j), получим

. (7)

С учетом (7) из соотношения (5) получаем расчетную формулу:

. (8)

Эта формула дает возможность определить момент инерции нижней платформы (или платформы с телом), если известны параметры трифилярного подвеса: масса платформы m, радиусы большой и малой платформ R и r, расстояние между платформами z_о. Период колебаний определяется по формуле

, (9)

где t – время всех колебаний; n – число полных колебаний платформы.

Упражнение 1.

Определение момента инерции ненагруженной платформы J₀ по формуле (8).

1. С помощью штангенциркуля и линейки измерить величины R, r, z_о (масса платформы указана на самой платформе).

2. Осторожно вынести платформу из положения равновесия, повернув ее на небольшой угол j_о (3-5⁰), и отпустить ее, предоставив ей возможность совершать крутильные движения. При этом следить, чтобы платформа не совершала побочных колебаний.

3. С помощью секундомера определить время 20-30 колебаний платформы и определить период колебаний по формуле (9).

4. Рассчитать момент инерции платформы J₀ по формуле (8).

5. Оценить погрешность определения J₀, проведя опыты 3 раза.

Упражнение 2.

123 4