Определение изменения импульса при соударениях двух шаров.

Если оба шара отклонить на равные углы и одновременно освободить их, то они, сталкиваясь друг с другом, в любой момент времени будут иметь скорости равные по величине, но разные по знаку.

Закон сохранения импульса для удара 2-х шаров имеет вид:

, (1)

где и – скорости непосредственно перед ударом 1-го и 2-го шаров соответственно, и – скорости сразу после удара 1-го и 2-го шаров.

Для изменения импульсов:

∆ = m₁( – ), (1a)

∆ = m₂( – ). (1б)

Из закона сохранения импульса (1):

∆ = – ∆ .

Изменение импульса каждого (любого) шара за один удар равно:

∆ = – m₁ ( + ), ∆ = m₂ ( + ),

∆ = – ∆ , m₁ ( + ) = m₂ ( + ). (2)

Рассчитать скорость шаров можно из следующих рассуждений. При освобождении шара от магнита он опускается с высоты h, при этом его потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию по закону сохранения полной механической энергии (рис. 2):

где - скорость непосредственно перед ударом в нижней точке траектории, g – ускорение свободного падения. Отсюда

Из рис. 2 видно, что

Учитывая, что для малых углов значение синуса можно заменить значением аргумента, а угол равен отношению дуги S к длине подвеса, получим выражение для скорости до удара:

, (3)

l l – h

h

S₀

Рис. 2. К вычислению скорости шара.

где S₀ – расстояние по дуге, пройденное шаром до 1-го удара. Аналогичным образом рассчитывается скорость шара после первого удара:

. (4)

С учетом (3) и (4), формула (2) принимает расчетный вид:

. (5)

1. Включить электромагниты и подвести к ним шары. Записать значение S₀. Отключая электромагниты, определить S₁ – дугу отклонения после 1-го удара. Повторить опыт несколько раз. Вычислить скорости шаров в момент удара и величину изменения импульса.

Результаты занести в таблицу и оценить погрешность опыта.

Упражнение 2.

Определение коэффициента восстановления.

Коэффициент восстановления К по определению равен отношению относительной скорости после удара шаров к относительной скорости до удара. Коэффициент восстановления характеризует степень упругости удара, т.к. для абсолютно упругого удара К = 1, а для абсолютно неупругого К = 0, во всех остальных случаях (реальный удар): 0< K< 1. В случае m₁ = m₂имеем:

. (6)

С учетом формул (3) и (4) формула (6) принимает вид:

.

Проведя n столкновений, и, рассуждая так же, получим:

, , .... , ,

, (7)

где S₀ – дуга начального отклонения; S_n – дуга n-го отклонения при n ударе.

Зная коэффициент восстановления, можно подсчитать энергию деформации – ту часть кинетической энергии относительного движения, которая переходит во внутреннюю. Так как в нашем случае массы одинаковы, получаем:

,

где W – энергия остаточной деформации одного шара после первого удара. Отсюда

.

Или в процентах от кинетической энергии данного шара к моменту удара имеем

, (8)

Выполнение работы.

1. Включить электромагниты (тумблер К₁) и подвести к ним шары. Записать S₀.

2. Выключить электромагниты и, отсчитав 10-15 ударов, зафиксировать S_n.

3. К по формуле (7).

4. Повторить пункты 1-3 не менее 5 раз.

5. Найти К_ср и оценить погрешность.

6. По формуле (8) оценить долю потерянной энергии при одном ударе.

Упражнение 3.

Определение коэффициента восстановления.

Если шары включены в цепь заряженного конденсатора, то во время соударений конденсатор может разряжаться через шары и сопротивление R. Напряжение на конденсаторе связано с временем удара соотношением:

, (9)

где R – сопротивление цепи; C – емкость конденсатора; j_о и j₁ – напряжение на конденсаторе до и после удара. (Величины R и C указаны на установке или задаются преподавателем).

Если после первого удара шары вновь установить в исходное положение и повторить удар, не подзаряжая конденсатор, то после второго удара имеем:

, (10)

где j₂ – напряжение на конденсаторе после второго удара.

Повторяя указанную операцию n раз, получим

. (11)

Зная длительность удара и коэффициент восстановления, можно вычислить среднюю силу упругого удара. На основании 2-го закона Ньютона , где F – сила упругости, действующая на шар во время удара, m – масса шара. Проинтегрируем это равенство:

. (12)

Знаки скоростей взяты с учетом их направлений относительно направлений векторов силы.

Используя теорему о среднем для левого интеграла, проводим интегрирование равенства (12) и получаем:

где – среднее значение силы упругости за время удара τ.

Или с учетом коэффициента восстановления и формулы (3):

. (13)

Примечание. При работе на шары подается напряжение 30 - 50 вольт. Прикасаться к шарам и нитям подвеса можно только при полностью разряженном конденсаторе (вольтметр должен показывать нуль) и при выключенном тумблере К₃.

Во время работы шары подводить к магнитам только с помощью изолирующей пластинки.

Выполнение работы.

1. Измерить длину подвеса шаров l, если она не указана на установке.

2. Включить электромагниты (тумблер К₁) и подвести к ним шары.

3. Тумблер К₂ поставить в положение «Установка нуля». При этом стрелка вольтметра должна находиться на нуле. В случае необходимости положение стрелки выставляется специальным винтом, расположенным на корпусе вольтметра.

4. Установить тумблер К₂ в положение «Заряд». Заряжают конденсатор до рабочего напряжения j_о (например, 40 вольт). Величины R, C и масса шаров m указаны на установке.

5. Перевести тумблер К₂ в положение «Отсчет».

6. Тумблером К₃ включить шары в цепь конденсатора. Через 1-2 секунды отключить К₃.

7. Выключить тумблер К и наблюдать за движением шаров.

8. Пункты 6-7 повторить n раз.

9. Снять с вольтметра показания j_n. Число соударений n определяется соотношением величин j_о и j_n (j_n должно быть примерно в 2-3 раза меньше j_о).

10. По формуле (11) рассчитать время t и оценить погрешность.

11. Опыт (пункты 3-10) повторить 5 раз, найти t_ср и оценить погрешность.

12. Подставляя в (13) найденное t_ср, посчитать величину F_o.

13. Сделать письменный вывод.

Контрольные вопросы.

1. Какой процесс называется ударом?

2. Дать определение упругого и неупругого ударов.

3. Законы сохранения энергии и импульса в случае упругого и неупругого ударов.

4. Вывести расчетные формулы.

5. Дать определение центрального и нецентрального ударов.

Литература.

1. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1976.

2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 1. М.: Наука, 1974.

3. Киттель Ч., Найт У., Рудерман М. Берклеевский курс физики. Т. 1. М.: Наука, 1975.

4. Кортнев А.В., Рублев Ю.В., Куценко А.Н. Практикум по физике. М.: Высшая школа, 1963.

Лабораторная работа № 11

Определение модуля Юнга.

Цель работы: изучение деформации изгиба балки и определение модуля Юнга.

Приборы и принадлежности: стойка для крепления прямоугольного стержня, исследуемый стержень, микроскоп с окулярной шкалой, разновес, штангенциркуль, линейка.

Установка для выполнения работ состоит из стойки с опорными призмами. На ребра призм опирается исследуемый стержень. Измерить стрелу прогиба можно, наблюдая в микроскоп за перемещением перекрестия, нанесенного на коромысло чашки, куда помещаются грузы.

Модуль Юнга Е зависит только от материала стержня и его физического состояния. Он характеризует максимальное механическое напряжение, при котором упругие деформации переходят в пластические. Величина стрелы прогиба зависит от способа закрепления стержня, его модуля Юнга, нагрузки и его геометрических параметров: сечения и длины. Если стержень закрепить на двух опорах (рис.1) и к середине стержня приложить внешнюю силу, то модуль Юнга можно определить из соотношения:

, (1)

где F – сила, вызывающая прогиб стержня, l – расстояние между опорами стержня, – ширина стержня, b – толщина стержня, y – стрела прогиба.

Если стержень закреплен одним концом (рис. 2), а нагрузка приложена к другому свободному концу (консольная нагрузка), теория дает для модуля Юнга следующее выражение:

(2)