Одновременность событий в разных системах отсчета

В системе K' одновременно (в момент времени t'), нo в разных местах (x'₁ и, x'₂) произошли два события.

Время первого события в системе К:

второго

Видно, что t₂> t₁, т. к. x'₂> x'₁. В системе К события не одновременны.

Промежуток времени между двумя событиями

Пусть в системе К' в одной и той же точке с координатой х' происходят в моменты времени t'₁ и t'₂ два события (например, две вспышки света). В этой системе промежуток времени между событиями:
В системе К:

Т.к. γ всегда больше единицы, то Δ t > Δ t'.

Длина тела в разных системах отсчета

Пусть стержень длины l₀ лежит вдоль оси x' в системе К'. Как измерить его длину в системе К, относительно которой он движется?

Мы, в системе К, должны в один и тот же момент времени t (по чаcам системы К) измерить координаты начала и конца стержня. Их разница и будет длиной движущегося стержня. Тогда:

Преобразование скоростей

Пусть материальная точка движется в системе К со скоростью .
Система K' движется со скоростью относительно K.

Компоненты скорости материальной точки:

Т.к. ;

То

; ; .

Это формулы релятивистского преобразования скоростей, они дают связь между компонентами скорости частицы в различных системах отсчета: в системе K и в движущейся со скоростью V системе K'.

Релятивистская динамика

Релятивистский импульс

В классической механике , при v < < c.

В релятивистской механике, где v → c,

Выражение для релятивистского импульса отличается от классического множителем γ.

Уравнение движения в релятивистской механике такое же, как и в классической

но

Релятивистское выражение для энергии

Энергия покоя

При скорости материальной точки v=0

Кинетическая энергия (энергия движения)

Или , m – масса покоя

Релятивистские инварианты

Масса покоя m

Скорость света С

Время жизни в собственной системе отсчета

Интервал

Энергетический инвариант

Из этого следует, что

- inv, инвариант,

т.е. не зависит от выбора системы отсчета.

Интервал

Интервал между событиями 1 и 2

Доказательство

Как видим, слева и справа стоят одинаковые по форме выражения.

Типы интервалов

1. Пространственноподобный

события не могут быть связаны причинноследственной связью

2. Времениподобный

события могут быть связаны причинноследственной связью

3. Светоподобный

Динамика СТО

1. Релятивистский импульс и закон сохранения импульса

Ньютоновский импульс не сохраняется

Релятивистский импульс сохраняется

2. Релятивистская масса

3. Основное уравнение релятивистской динамики

4. Сила и ускорение

5. Кинетическая энергия частицы

По теореме о кинетической энергии запишем

Выражение для силы возьмём из уравнения динамики

поэтому кинетическая энергия

Теперь распишем релятивистскую массу и возьмём дифференциал этого уравнения

Комбинируя это с выражением для энергии, получим , что малое изменение энергии пропорционально изменению массы.

Интегрируя, получаем, что кинетическая энергия равна разности полной энергии и энергии покоя или , что по виду сильно отличается от классического выражения. Однако если разложить в ряд

получим при обычное классическое выражение . Работа, затрачиваемая на ускорение частицы (приобретение Т) по прежнему равна

6. Взаимосвязь массы и полной энергии

Определим полную энергию как сумму энергии покоя и кинетическую энергию

Тем самым Эйнштейн положил, что любое тело массой обладает энергией покоя , а полная его энергия , как видно в неё не включается потенциальная энергия тела во внешнем поле, даже если таковое и действует на тело.