Нормальное и тангенциальное ускорение

Кинематика

Основные понятия

Материальная точка: тело, размерами которого можно пренебречь при описании его движения.

Система материальных точек и число степеней свободы м.т. (системы м.т.) – число независимых параметров, необходимых для фиксации ее положения в пространстве. Выбор этих параметров может быть проведен по-разному, однако их число от конкретного выбора не зависит, являясь важнейшей инвариантной характеристикой системы. Чем больше у механической системы степеней свободы, тем сложнее оказывается математический анализ закона ее движения.Материальную точку классической механики можно рассматривать как простейшие механические объекты, обладающие наименьшим числом степеней свободы. Это число совпадает с размерностью реального физического пространства, т.е. равно трем.

Абсолютно твердое тело: тело, у которого размеры и форма не меняются.

Тело отсчета: тело, относительно которого определяют положение других тел.

Система отсчета: система координат, связанная с телом отсчета и способ измерения времени (часы).

Радиус-вектор r - это вектор, проведенный из начала координат в какую-либо точку пространства. Зависимость радиуса-вектора от времени определяет кинематический закон движения тела . Это векторное уравнение эквивалентно заданию трёх скалярных уравнений , , , которые также называются кинематическими законами движения.

Компоненты радиус-вектора

В трёхмерном пространстве на плоскости

единичные векторы или орты, направленные по осям x, y, z соответственно;

- x, y, z - компоненты радиуса - вектора. Очевидно, они же являются координатами материальной точки.

Модуль радиус-вектора - по теореме Пифагора.

Траектория - это линия, описываемая материальной точкой при ее движении.

Путь - длина отрезка траектории.

Перемещение - вектор, проведенный из начального положения материальной точки в ее конечное положение.

Скорость - это производная радиуса - вектора по времени.

Скорость всегда направлена по касательной к траектории

Компоненты скорости

Вектор скорости материальной точки M, движущейся по плоскости x, y:

v_x, v_y - компоненты скорости, т.е. проекции вектора на координатные оси.

компоненты скорости равны производным соответствующих координат по времени:

; ; . Зная проекции, мы всегда построим вектор скорости.

Средняя скорость. По теореме о среднем имеем:

Средний модуль скорости за время Dt=t₂- t₁

Средний вектор скорости за время Dt=t₂- t₁

Модуль скорости - производная пути по времени.

По теореме Пифагора: .

Вычисление пройденного пути: путь - это определенный интеграл от модуля скорости по времени:

v₁ в течение отрезка Δ t_i приблизительно постоянны, если Δ t достаточно мало.
В пределе:

Ускорение - это производная скорости по времени.

или:

Ускорение - вторая производная радиуса-вектора по времени. Производную по времени от какой-либо величины называют скоростью изменения этой величины.

Ускорение - это скорость изменения скорости.

Выбор системы отсчета.

Нахождение закона движения существенно осложняется, когда речь идет о взаимном расположении движущихся тел – то, с чем мы имеем дело в механике. Если мы хотим не только проследить за взаимным расположением движущихся предметов, но и установить причину их движения, а также определить закон движения, то мы должны выбирать систему отсчета вполне определенным образом. Из всех возможных систем отсчета в механике привилегированную роль играют так называемые инерциальные системы отсчета.

Инерциальную систему отсчета можно определить как систему отсчета, в которой справедливо первое Начало механики (первый закон Ньютона): всякое тело сохраняет состояние покоя или состояние равномерного прямолинейного движения пока какие-либо силы не выведут его из этого состояния. Само первое Начало можно рассматривать как утверждение того факта, что инерциальные системы существуют в природе.

Преимущество инерциальной системы отсчета впервые в истории науки обнаружилось при разрешении спора между сторонниками геоцентрической и гелиоцентрической систем мироздания. Переход от господствовавшей в средние века геоцентрической системы к гелиоцентрической означал переход от неинерциальной системы отсчета к инерциальной и дал возможность не только описывать взаимное расположение небесных тел, но и выяснить причину и законы их движения на основе открытого Ньютоном закона всемирного тяготения.

Понятие инерциальной системы -- это идеализированное понятие. Любая реально выбранная система отсчета всегда имеет какую-то " примесь" неинерциальности. Весь вопрос в том, насколько слабы эффекты, вызываемые неинерциальностью системы отсчета, и можно ли ими пренебречь при решении конкретной задачи. Так, например, система отсчета, связанная с Землей, совершенно непригодна для задач небесной механики, но полностью удовлетворяет нуждам внешней баллистики (расчет полета снарядов). Однако, при расчете движения спутников эффект неинерциальности системы земного отсчета становится уже заметным и может быть учтен как малая поправка.

Если установлено существование некоторой инерциальной системы отсчета, то любая другая система отсчета, движущаяся по отношению к первой прямолинейно с постоянной скоростью, также будет инерциальной. Действительно, совершенно очевидно, что для любой такой системы отсчета будет справедливо первое Начало механики, а это означает, по определению, ее инерциальность.

При переходе от одной инерциальной системы к другой, движущейся относительно ее, скорость материального тела изменяется на величину относительной скорости координатных систем, а ускорение остается неизменным. Вследствие этого, второй закон Ньютона, являющийся основным законом механики, имеет один и тот же вид во всех инерциальных системах отсчета.

Здесь мы подошли к формулировке одного из основных принципов механики.

Динамика материальной точки

Второй закон Ньютона

Скорость изменения импульса равна действующей на материальную точку результирующей силе: .

, где

при m ≠ m(t)

т.к

то

Третий закон Ньютона

Силы, с которыми взаимодействуют два тела, равны по модулю и противоположны по направлению.

Пример - взаимодействие двух электрических зарядов:

Из третьего закона Ньютона следует, что для каждой силы можно указать тело, являющееся причиной этой силы. Если же указать такое тело - причину возникшей силы - не удается, то тогда причина " силы" - неинерциальность системы отсчета. Напомним, что законы Ньютона справедливы только в инерциальных системах отсчета.

Уравнения движения.

Второй закон механики (з. Ньютона) позволяет записать уравнение движения тела (м.т.): это уравнение вида , из которого путем двойного интегрирования находится закон движения при задании шести начальных условий. Это уравнение эквивалентно трем скалярным неоднородным дифференциальным уравнениям второго порядка (в общем случае трёхмерного движения).

Для системы N тел необходимо интегрировать 3N уравнений с 6N начальными условиями. Сложность этих уравнений определяется видом сил. В общем случае силы могут зависеть от координат всех тел, их скоростей и времени (всего 6N +1 переменных). Аналитически эта задача разрешима только для системы двух тел, взаимодействующих гравитационно – задача Кеплера. Уже для трех тел (Солнце, Земля, Луна) эта задача в квадратурах не разрешима.

Пример интегрирования уравнений движения в одномерном случае: прыжок парашютиста. Человек массы m прыгает с высоты h₀, а через t секунд раскрывает парашют – пример тела, двигающегося в вязкой среде с коэффициентом аэродинамического сопротивления r. Кроме постоянной силы тяжести на него действует аэродинамическая сила сопротивления воздуха, пропорциональная скорости .

Уравнение движения запишем в виде . Перепишем в виде, удобном для интегрирования и проинтегрируем, В результате найдём зависимость времени от скорости Обратная зависимость скорости от времени , где – характерное время. Зависимость y-вой координаты от времени .

Начальная высота h₀ = 1000 м, начальная скорость V₀ = 0.

Законы сохранения

Внутренние и внешние силы

Внутренние силы - силы, с которыми взаимодействуют тела системы между собой. Внешние силы действуют со стороны тел, не входящих в систему.

Замкнутая система
Замкнутая система - это система, на которую внешние силы не действуют.

Импульс системы материальных точек - это векторная сумма импульсов всех материальных точек, входящих в систему

Закон сохранения импульса

Импульс замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется со временем.

На рисунке изображена замкнутая система, состоящая из трех тел.

По II закону Ньютона, примененному к каждому телу рассматриваемой замкнутой системы, имеем:

Сложим эти уравнения. Справа, по III закону Ньютона, получим ноль. Слева - производную по времени от полного импульса системы

Производная - ноль, значит, сама величина - константа.

если нет внешних сил (система замкнута).

	р_х = const, если F_x = 0, р_y = const, если F_y = 0, р_z = const, если F_z = 0.

Если система не замкнута, но внешние силы не действуют на неё вдоль каких-либо осей, то соответствующие компоненты импульса сохраняются, например:

	р_х = const, если F_x= 0, р_y≠ const, если F_y ≠ 0, р_z ≠ const, если Fz ≠ 0.

Работа

Работа постоянной силы

Элементарная работа

Работа переменной силы

Единица измерения работы

[A]=[F].[s]= H.м = джоуль, Дж

Мощность P - это скорость совершения работы,

Здесь v - скорость материальной точки, к которой приложена сила .

Единица мощности

Кинетическая энергия (теорема о кинетической энергии)

Применим II закон Ньютона для материальной точки m, движущейся под действием результирующей силы

Помножим скалярно: слева на - справа на

преобразуя левую часть,

получим

Кинетическая энергия

Таким образом элементарная работа, совершаемая над телом, равна элементарному приращению его кинетической энергии. При интегрировании вдоль траектории частицы, от точки 1 до точки 2, мы получим:

Работа результирующей силы идет на приращение кинетической энергии материальной точки (работа совершается за счет убыли кинетической энергии).

Консервативные и неконсервативные силы
Консервативные - такие силы, РАБОТА которых не зависит от траектории, а определяются только начальным и конечным положением материальной точки. Силы, не обладающие только что названным свойством, называют неконсервативными. Для того чтобы узнать, консервативна сила либо нет, надо вычислить ее работу.

Угловая скорость

, или

. Псевдовектор

направлен так же, как и псевдовектор

. Угловое ускорение

Теорема Штейнера

где I₀ - момент инерции относительно оси OО,
I - момент инерции относительно оси O'О'.

Моменты инерции I₀ для некоторых тел (относительно оси, проходящей через центр масс).

Для сплошного тела момент инерции

1. Обруч массой m и радиусом R с однородным распределением массы:

r dv = dm

2. Полый цилиндр – состоит из одинаковых обручей:

3. Сплошной цилиндр. Выделим элемент площади ds = 2p r,

элемент объёма dv = hds=2p rh.

4. Тонкий однородный стержень длиной L.

1) Ось проходит через середину стержня.

элемент массы dm = rdx (r – линейная плотность массы).

2) Ось проходит через конец стержня.

По теореме Штейнера

5. Шар. Разобьем шар на плоские цилиндры (блины) шириной dh: объём,

радиус и масса этого элементарного цилиндра

dv = p r²dh, r² = R²- h², .

Момент инерции этого элементарного цилиндра .

Интегрируя по h от 0 до R и удваивая, получим

6. Шаровой слой. Внутренний и наружный радиусы: R₁ и R₂.

7. Сферическая оболочка.

Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR.

СТО

Преобразования Галилея - это уравнения, связывающие координаты и время некоторого СОБЫТИЯ в двух инерциальных системах отсчета. СОБЫТИЕ определяется местом, где оно произошло (координаты x, y, z), и моментом времени t, когда произошло событие. Событие полностью определено, если заданы четыре числа: x, y, z, t - координаты события.

Пусть материальная точка m в системе отсчета К в момент времени t имела координаты x, y, z, т.е. в системе К заданы координаты события - t, х, y, z.

Найдем координаты t', x', y', z' этого события в системе отсчета К', которая движется относительно системы К равномерно и прямолинейно вдоль оси х со скоростью .

Выберем начало отсчета времени так, чтобы в момент времени t = 0 начала координат совпадали. Оси х и х' направлены вдоль одной прямой, а оси у и у', z и z' - параллельны.

Тогда из рисунка ОЧЕВИДНО: x = x'+Vt.

Кроме того, ясно, что для наших систем координат y = y', z = z'.

В механике Ньютона предполагается, что t = t',

т.е. время течет одинаково во всех системах отсчета.
Полученные четыре формулы и есть преобразования Галилея:

x = x' + Vt,
y = y', z = z', t = t'.

Принцип относительности Галилея:

Постулаты С.Т.О.

Механика больших скоростей, специальная теория относительности (С.Т.О.),
базируется на двух исходных утверждениях, постулатах:

I. Принцип относительности (Эйнштейна), согласно которому

никакими физическими опытами нельзя установить, покоится ли данная система отсчета, либо движется равномерно и прямолинейно.

Другая формулировка:

Все законы природы одинаково формулируются для всех инерциальных систем отсчета.

II. Принцип постоянства скорости света:

cкорость света в вакууме во всех инерциальных системах отсчета одинакова и не зависит ни от движения источника, ни от движения приемника света.

Преобразования Лоренца - это уравнения, связывающие координаты и время некоторого события в двух инерциальных системах отсчета. В отличие от преобразований Галилея преобразования Лоренца не должны противоречить постулатам С.Т.О.: необнаружимости абсолютного движения и постоянству скорости света. При скорости движения системы отсчета V< < c преобразования Лоренца должны переходить в преобразования Галилея.

Вывод преобразований Лоренца (не обязательно)

Рассмотрим две системы отсчета. Одна система К - неподвижна, другая К' движется вдоль оси х со скоростью V. При t=0 начала координат совпадали. Пусть наблюдатель в К системе проделал опыты по изучению движения тела и получил законы движения по каждой координате: x=x(t); y=y(t); z=z(t). Тогда наблюдателю в К' системе не надо проводить опыты, законы движения в своей системе координат он может получить по формулам преобразования Лоренца.

Такие преобразования сохраняют вид уравнения фронта световой волны, сфера преобразуется в сферу, в соответствии с постулатами С.Т.О.
Обозначим, для удобства записи,

тогда преобразования Лоренца запишутся так:

а) прямые		б) обратные
;		;
;		;
;		;
		.

Релятивистская механика должна быть построена таким образом, чтобы уравнения движения не менялись при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую, т.е. были инвариантны относительно преобразований Лоренца.

Следствия из преобразований Лоренца

Релятивистская динамика

Релятивистский импульс

В классической механике , при v < < c.

В релятивистской механике, где v → c,

Выражение для релятивистского импульса отличается от классического множителем γ.

Энергия покоя

При скорости материальной точки v=0

Интервал

Интервал между событиями 1 и 2

Доказательство

Как видим, слева и справа стоят одинаковые по форме выражения.

Типы интервалов

1. Пространственноподобный

события не могут быть связаны причинноследственной связью

2. Времениподобный

события могут быть связаны причинноследственной связью

3. Светоподобный

Динамика СТО

1. Релятивистский импульс и закон сохранения импульса

Ньютоновский импульс не сохраняется

Релятивистский импульс сохраняется

2. Релятивистская масса

3. Основное уравнение релятивистской динамики

4. Сила и ускорение

5. Кинетическая энергия частицы

По теореме о кинетической энергии запишем

Выражение для силы возьмём из уравнения динамики

поэтому кинетическая энергия

Теперь распишем релятивистскую массу и возьмём дифференциал этого уравнения

Комбинируя это с выражением для энергии, получим , что малое изменение энергии пропорционально изменению массы.

Интегрируя, получаем, что кинетическая энергия равна разности полной энергии и энергии покоя или , что по виду сильно отличается от классического выражения. Однако если разложить в ряд

получим при обычное классическое выражение . Работа, затрачиваемая на ускорение частицы (приобретение Т) по прежнему равна

6. Взаимосвязь массы и полной энергии

Определим полную энергию как сумму энергии покоя и кинетическую энергию

Тем самым Эйнштейн положил, что любое тело массой обладает энергией покоя , а полная его энергия , как видно в неё не включается потенциальная энергия тела во внешнем поле, даже если таковое и действует на тело.

7. Связь полной энергии и импульса частицы

По отдельности энергия и импульс не являются инвариантными, но есть их комбинация, которая будет inv. Энергия покоя инвариант

Следовательно

8. Частицы с нулевой массой покоя

Рассмотрим новые определения полной энергии и импульса

Из них следует, что могут существовать частицы с и

Такие есть в природе – это фотоны (и нейтрино-? ). Связь энергии и импульса для них простая

Закон сохранения релятивистского импульса

Кинематика

Основные понятия

Материальная точка: тело, размерами которого можно пренебречь при описании его движения.

Абсолютно твердое тело: тело, у которого размеры и форма не меняются.

Тело отсчета: тело, относительно которого определяют положение других тел.

Система отсчета: система координат, связанная с телом отсчета и способ измерения времени (часы).

Компоненты радиус-вектора

В трёхмерном пространстве на плоскости

единичные векторы или орты, направленные по осям x, y, z соответственно;

- x, y, z - компоненты радиуса - вектора. Очевидно, они же являются координатами материальной точки.

Модуль радиус-вектора - по теореме Пифагора.

Траектория - это линия, описываемая материальной точкой при ее движении.

Путь - длина отрезка траектории.

Перемещение - вектор, проведенный из начального положения материальной точки в ее конечное положение.

Скорость - это производная радиуса - вектора по времени.

Скорость всегда направлена по касательной к траектории

Компоненты скорости

Вектор скорости материальной точки M, движущейся по плоскости x, y:

v_x, v_y - компоненты скорости, т.е. проекции вектора на координатные оси.

компоненты скорости равны производным соответствующих координат по времени:

; ; . Зная проекции, мы всегда построим вектор скорости.

Средняя скорость. По теореме о среднем имеем:

Средний модуль скорости за время Dt=t₂- t₁

Средний вектор скорости за время Dt=t₂- t₁

Модуль скорости - производная пути по времени.

По теореме Пифагора: .

Вычисление пройденного пути: путь - это определенный интеграл от модуля скорости по времени:

v₁ в течение отрезка Δ t_i приблизительно постоянны, если Δ t достаточно мало.
В пределе:

Ускорение - это производная скорости по времени.

или:

Ускорение - это скорость изменения скорости.

Нормальное и тангенциальное ускорение

Направим единичный вектор вдоль вектора скорости:

Тогда

(по правилу нахождения производной от произведения).

Первый член, нормальное ускорение,

показывает быстроту изменения направления скорости.

Второй, тангенциальное ускорение,

направлен вдоль скорости и показывает быстроту изменения ее модуля.

Направление и величину нормального ускорения найдем для частного случая равномерного движения материальной точки по окружности:

Направлен , при , по вектору :

Нормальное ускорение направлено по нормали к скорости, его модуль:

Для движения по произвольной кривой R - радиус кривизны траектории - не будет величиной постоянной.

Основная задача кинематики: по заданной зависимости ускорения от времени определить закон движения тела (м.т.).

Для одномерного движения:

1) Из определения ускорения находится скорость как функция времени: . (V₀ – константа интегрирования).

2) Из определения скорости находится координата как функция времени: . (x₀ – константа интегрирования).

Таким образом, для нахождения закона движения тела по каждой координате необходимо задать шесть констант – три начальных координаты: x₀, y₀, z₀ и три начальных проекций скорости Vx₀, Vy₀, Vz₀ – всего 6 констант интегрирования, определяющих начальное положение тела (м.т.) – начальные условия.

Для наиболее простого случая , получаем закон равнопеременного движения: – квадратичная зависимость радиуса вектора от времени и линейная зависимость скорости от времени .

Вопрос о зависимости ускорения от времени решается в разделе динамики материальной точки.

Для изучения механических явлений надо выбрать ту или иную систему отсчета. В различных системах отсчета законы движения имеют, вообще говоря, различный вид. Если взять произвольную систему отсчета, то может оказаться, что законы даже совсем простых явлений будут выглядеть в ней весьма сложно. Естественно, возникает задача отыскания такой системы отсчета, в которой законы механики выглядели бы наиболее просто.

Выбор системы отсчета.

12 3 4