Простейшие случаи сопротивления

Вид напряженного состояния	N_z	Q_x	Q_y	M_z	M_x	M_y
Растяжение/сжатие	+
Кручение				+
Чистый изгиб относительно оси х					+
Чистый изгиб относительно оси у						+
Поперечный изгиб относительно оси х			+		+
Поперечный изгиб относительно оси у		+				+

Примечание: + означает наличие усилия, 0 - его отсутствие.

Напряжения

В окрестности произвольной точки К, принадлежащей сечению А некоторого нагруженного тела, выделим элементарную площадку DF, в пределах которой действует внутреннее усилие D (рис. 1.4, а). Векторная величина

(1.5)

называется полным напряжением в точке К. Проекция вектора полного напряжения на нормаль к данной площадке обозначается через s и называется нормальным напряжением.

Рис. 1.4

Проекции вектора на перпендикулярные оси в плоскости площадки (рис. 1.4, б) называются касательными напряжениями по направлению соответствующих осей и обозначаются t´ и t´ ´. Если через ту же самую точку К провести другую площадку, то, в общем случае будем иметь другое полное напряжение. Совокупность напряжений для множества площадок, проходящих через данную точку, образует напряженное состояние в этой точке.

23.

Теории прочности

Как показывают экспериментальные исследования, прочность материалов существенно зависит от вида напряженного состояния. В общем случае нагруженного тела напряженное состояние в какой-либо точке вполне может быть определено величиной напряжений в трех координатных плоскостях, проходящих через эту точку. При произвольном выборе положения координатных плоскостей, в каждой из них, вообще говоря, имеются и нормальные, и касательные напряжения. Для них вводятся соответствующие обозначения в плоскости xy: s_zz , t_zx , t_zy ; в плоскости xz: s_yy , t_yx , t_yz; в плоскости yz: s_xx , t_xy , t_xz . Здесь первый индекс показывает ориентацию площадки, в которой действует напряжение, т.е. какой из координатных осей она перпендикулярна. Второй индекс указывает направление напряжения по координатной оси.

В каждой точке тела существуют три взаимно перпендикулярные плоскости, свободные от касательных напряжений, носящие название главных площадок. Нормальные напряжения в этих площадках называются главными напряжениями и обозначаются s₁, s₂, s₃. При этом всегда s₁> s₂> s₃. Заметим, что более подробно вопросы теории напряженного состояния в точке обсуждены в десятом разделе настоящей книги, и по данному вопросу имеется обширная литература.

Напряженные состояния разделяются на три группы. Напряженное состояние называется: а) объемным или трехосным, если все главные напряжения s₁, s₂, s₃ не равны нулю; б) плоским или двухосным, если одно из трех главных напряжений равно нулю; в) одномерным или одноосным, если два из трех главных напряжений равны нулю.

Основной задачей теории прочности является установление критерия прочности, позволяющего сравнить между собой опасность различных напряженных состояний материала.

Выбранный критерий прочности должен быть обоснован на основе экспериментальных данных путем проведения испытаний различных материалов в зависимости от вида напряженного состояния, как функция от соотношений между значениями главных напряжений.

Заметим, что, так как в настоящее время строгой единой теории прочности материалов, в зависимости от вида напряженного состояния, не существует, поэтому при выполнении практических расчетов применяются упрощенные критерии.

Как отмечалось в п. 2.8, наиболее распространенным и наглядным критерием проверки конструкций на прочность, при простейших случаях напряженного состояния (сжатие-растяжение, кручение, чистый изгиб), является выполнение условия:

s_max £ [s], (5.38)

где s_max - максимальное расчетное значение напряжения, возникающее в наиболее опасной точке конструкции; [s] - допускаемое значение напряжения для материала конструкции.

В настоящее время при выполнении расчетов конструкций на прочность, при произвольных напряженных состояниях, широко используются три теории прочности.

Согласно первой теории критерием прочности является ограничение главного максимального напряжения:

s_max = s₁ £ [s], (5.39)

где [s] - предельное напряжение, полученное из опытов на одноосное растяжение.

Основным недостатком этой теории является не учет двух других главных напряжений.

В основу второй теории прочности заложена гипотеза о том, что критерием оценки работы конструкции является ограничение наибольшего удлинения. В формулировке данного положения через главные напряжения (s₁ и s₂) это условие для плоского напряженного состояния записывается следующим образом:

s₁ - m s₂ £ [s],

где [s] - напряжение, при котором было вызвано предельное удлинение образца в опытах на одноосное растяжение; m - коэффициент бокового расширения.

При объемном напряженном состоянии вторая теория прочности записывается в виде:

s₁ - m (s₂ -s₃) £ [s], (5.40)

Экспериментальная проверка не всегда подтверждает правильность теории прочности наибольших линейных деформаций при простых нагружениях, т.е. при чистом растяжении или чистом сдвиге. Однако до настоящего времени эта теория имела широкое применение при выполнении инженерных расчетов..

В основу третьей теории прочности заложена гипотеза о том, что причиной разрушения материалов являются сдвиговые деформации, происходящие на площадках максимальных касательных напряжений, т.е.

t_max < [t], (5.41)

где t_max - расчетное максимальное касательное напряжение, возникающее в опасной точке нагруженного тела; [t] - предельное значение касательного напряжения, полученное из опытов.

Для плоского напряженного состояния по третьей теории условие прочности записывается в виде:

s₁ - s₂ < [s]. (5.42)

В случае поперечного изгиба балки (s₂ = 0), если выразить главные напряжения s₁ и s₃ через s и t, то условие прочности (5.42) преобразуется в виде:

, (5.43)

где R - расчетное сопротивление материала балки при изгибе.

Пример расчета (задача № 13)

Дан пространственный консольный брус с ломаным очертанием осевой линии, нагруженный сосредоточенной силой Р = 1 кН и равномерно распределенной нагрузкой q = 2 кН/м. На рис. 5.34, а этот брус показан в аксонометрии в соответствии с прямоугольной системой координат xyz. Вертикальный элемент бруса имеет поперечное сечение в виде круга диаметром d = 0, 06 м (рис. 5.34, в), горизонтальные элементы бруса имеют поперечные сечения в виде прямоугольника (рис. 5.34, б). Ширина сечения b = d = 0, 06 м, а высота сечения c = 0, 5 d = 0, 03 м. Ориентация главных осей поперечных сечений на каждом участке показана на рис. 5.34, г.

Требуется:

1. Построить в аксонометрии эпюры M_x, M_y, M_z , N_z, Q_x, Q_y;

2. Указать вид сопротивления для каждого участка бруса;

3. Определить максимальные напряжения в опасном сечении каждого участка от внутренних усилий N_z, M_x, M_y и M_z (касательными напряжениями от Q_x и Q_y можно пренебречь);

4. Проверить прочность при расчетном сопротивлении R = = 180 МПа.

Решение

1. Построить в аксонометрии эпюры M_x, M_y, M_z , N_z, Q_x, Q_y. Заметим, что так как заданная система пространственная, при произвольном характере нагружения, в опорном сечении, где установлена заделка, возникает шесть опорных реакций (три опорные силы и три момента). Для определения опорных реакций, в данном случае, можем применить шесть уравнений равновесия статики. Так как число независимых уравнений равновесия равно числу опорных реакций, то можно сделать вывод, что рассматриваемая система в виде ломаного бруса, с заделанным одним концом, является статически определимой. Поэтому рассматриваемая система разрешима по методу сечений. Далее, учитывая особенности конструкции, определение величин внутренних усилий можно осуществить без предварительного вычисления величин опорных реакций.

Предыдущая 1 2 3 4 5 678 9 10 11 12 Следующая