Границы применимости решения Эйлера. Формула Ясинского

Как показали опыты, решение Эйлера подтверждалось не во всех случаях. Причина состоит в том, что формула Эйлера была получена в предположении, что при любой нагрузке стержень ра­ботает в пределах упругих деформаций по закону Гука. Следова­тельно, его нельзя применять в тех ситуациях, когда напряжения превосходят предел пропорциональности. В связи с этим найдем границы применимости решения Эйлера:

Рис. 7.4

, (7.13)

где - радиус инерции сечения. Если стержень имеет оди­наковые опорные закрепления в двух взаимно перпендикулярных плоскостях инерции, то при определении значения критической силы и критического напряжения, необходимо брать наименьшее значение момента инерции и, соответственно, радиуса инерции поперечного сечения.

Введем понятие гибкости стержня:

.

Тогда (7.13) принимает вид:

. (7.14)

Из (7.14) следует, что напряжение s_КР возрастает по мере уменьшения гибкости стержня. Заметим, что стержень, имеющий неодинаковые опорные закрепления в главных плоскостях и, сле­довательно, неодинаковые приведенные длины, теряет устойчи­вость в той главной плоскости, в которой гибкость стержня имеет наибольшее значение.

Формула Эйлера неприемлема, если напряжения s_КР > s_П, где s_П - предел пропорциональности. Приравнивая (7.14) к пределу пропорциональности, получим предельное значение гибкости:

. (7.15)

Если l > l_ПРЕД, то формулу Эйлера можно применять. В противном случае ею пользоваться нельзя. Для стали Ст.3 l_ПРЕД = 100.

В ситуациях, когда напряжения превышают предел пропорциональности, получение теоретического решения осложняется, т.к. зависимость между напряжениями и деформациями становится не­линейной. В связи с этим, в этих случаях пользуются эмпириче­скими зависимостями. В частности, Ф.С. Ясинский предложил сле­дующую формулу для критических по устойчивости напряжений:

, (7.16)

где a, b - постоянные, зависящие от материала, так для стали Ст.3 a = 3, 1× 10⁵ кН/м² , b = 11, 4× 10² кН/м².

При гибкостях стер­жня, находящихся в диа­пазоне 0< l< 40¸ 50, стер­жень настолько “коро­ток”, что его разрушение происходит по схеме сжа­тия, следовательно, кри­тические напряжения можно приравнять в этом случае к пределу пропор­циональности. Обобщая вышесказанное, зависи­мость критических на­пряжений s_КР от гибко­сти стержня l можно представить, как это сделано на рис. 7.5.

 

Рис. 7.5

 

Расчет сжатых стержней на устойчивость

Как правило, основная проблема при расчете сжатых стержней состоит в том, чтобы сжимающие напряжения s не превышали бы критических значений по устойчивости s_КР, т.е.

. (7.17)

При продольном изгибе центрально сжатый стержень теряет несущую способность, когда напряжения в его поперечных сечени­ях достигают критических значений. Поэтому необходимо ввести в расчет коэффициент запаса устойчивости n по отноше­нию к критическим напряжениям, с помощью которого и опре­деляется допускаемое напряжение при расчете на устойчивость:

.

При расчете же стержней на растяжение применяют условие s < R, где R - расчетное сопротивление на растяжение.

Для унификации расчетов на растяжение и сжатие введем соот­ношение правых частей двух последних неравенств:

, (7.18)

откуда . И тогда (7.17) можно записать так: s < jR.

Величина j носит название коэффициента уменьшения расчетного сопротивления при расчете на сжатие и явля­ется функцией от гибкости стержня l (табл. 5).

Таким образом, окончательно формула для расчета стержней на устойчивость принимает следующий вид:

. (7.19)

Несмотря на простоту выражения (7.19) расчет сжатых стерж­ней производится, как правило, в несколько этапов. Это связано с тем, что величина j зависит от формы и размеров сечения, поэтому не может быть назначена заранее. В связи с этим, подбор сечения осуществляют итеративно, постепенно приближаясь к тому, чтобы разница между напряжением сжатия s и расчетным сопротивле­нием на растяжение R не превышала бы 3-.%5

Таблица 5

l	Cт 2-4	Ст 5	Чугун	Дерево	l	Ст 2-4	Ст 5	Чугун	Дерево
	1.00	1.00	1.00	1.00		0.52	0.43	-	0.25
	0.99	0.98	0.97	0.99		0.45	0.36	-	0.22
	0.96	0.95	0.91	0.97		0.40	0.33	-	0.18
	0.94	0.92	0.81	0.93		0.36	0.29	-	0.16
	0.92	0.89	0.69	0.87		0.32	0.26	-	0.14
	0.89	0.86	0.57	0.80		0.29	0.24	-	0.12
	0.86	0.82	0.44	0.71		0.26	0.21	-	0.11
	0.81	0.76	0.34	0.60		0.23	0.19	-	0.10
	0.75	0.70	0.26	0.48		0.21	0.17	-	0.09
	0.69	0.62	0.20	0.38		0.19	0.16	-	0.08
	0.60	0.51	0.16	0.31

 

44. 46.

Предыдущая123456789101112Следующая

Поделиться:

Популярное:

1. АБСОЛЮТНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ АДРЕСАЦИЯ ПРИ РАБОТЕ С ФОРМУЛАМИ
2. Возможности и границы государственного регулирования экономики
3. Вы можете только укрепить уже установленные границы.
4. Вычисление значений в формулах
5. ГЛАВА 12. РОЛЬ КРЕДИТА В РАЗВИТИИ ЭКОНОМИКИ, ЕГО ГРАНИЦЫ
6. Границы зон санитарной охраны водопроводных сооружений
7. Границы использования тропов в речи
8. Границы кредита: назначение, виды и функции
9. Границы системно-структурного подхода в описании социальной реальности.
10. Движение вязкой жидкости. Силы вязкого трения. Коэффициэнт вязкости. Течение вязкой жидкости по трубе. Формула Пуазейля.
11. Ищи страх. Он сторожит границы той крошечной части твоего я, которая тебе известна. Разбудив страх, помни: здесь начинается новая земля.