Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Стержневые системы. Степень статической неопределимости
Под стержневой системой понимается всякая конструкция, состоящая из элементов, имеющих форму бруса. Если элементы конструкции работают только на растяжение или сжатие система называется фермой (рис. 6.1). Ферма состоит из шарнирно опертых между собой прямых стержней, образующих треугольники и для нее характерно приложение внешних сил в узлах заданной системы. Если элементы стержней системы работают в основном на изгиб или кручение, то такая система называется рамой (рис. 6.2). Если все элементы стержневой системы расположены в одной плоскости, в которой также действуют все внешние силы, включая реакции опор, то система называется плоской (рис. 6.1, 6.2). Если все элементы заданной системы расположены в одной плоскости, а внешние силы действуют в перпендикулярной плоскости, то система называется плоскопространственной (рис. 6.3). Стержневые системы, не относящиеся к двум указанным категориям, называются пространственными (рис. 6.4). Все стержневые системы принято разделять на статически определимые и статически неопределимые. Под статически определимой понимается такая система, для которой усилия во всех ее элементах могут быть определены по методу сечений с применением лишь уравнений равновесия. Если этого сделать нельзя, то такая система называется статически неопределимой. Разность между числом неизвестных усилий (реакций опор и внутренних силовых факторов) и числом независимых уравнений равновесий, которые могут быть составлены для рассматриваемой системы, называется степенью статической неопределимости системы. Связи, наложенные на систему, бывают внешними и внутренними. Под внешними понимают ограничения, накладываемые на абсолютные перемещения точек системы, как единое целое. Внутренние же связи ограничивают взаимные (относительные) перемещения элементов системы. Следовательно, статическая неопределимость системы может быть вызвана как внешними, так и внутренними связями. Если рассматривать внешние связи, то можно отметить, что положение жесткого тела на плоскости x, y характеризуется тремя независимыми параметрами - координатами x, y и углом поворота рассматриваемой плоскости. Таким образом, необходимое для равновесия число наложенных внешних связей должно быть равно трем (по количеству уравнений равновесия - å x = 0, å y = 0, å m = 0). Если плоская система состоит из D частей, каждую из которых можно рассматривать как жесткое тело, то количество параметров, определяющих положение этой системы будет равно 3 D. Каждый шарнир, соединяющий две части системы, разрешает лишь их взаимный поворот, устраняя возможность их взаимных смещений - следовательно он уменьшает количество возможных перемещений системы на две единицы. Кроме этого, каждый опорный стержень устраняет возможность перемещения системы в соответствующем направлении. Таким образом, подсчитать степень статической неопределимости системы, определяемую внешними связями, можно по следующей формуле: W = 3 D - 2 Ш - С, где D - число частей (“дисков”) системы, каждая из которых может рассматриваться как абсолютно жесткое тело, Ш - количество шарниров в системе, соединяющих “диски”, С - число опорных стержней. Для статически определимых систем W =0. При W< 0 система является статически неопределимой. Наиболее характерные типы внешних связей и их схематичные изображения рассмотрены в п. 5.1. На рис. 6.5 показана плоская рама, имеющая в первом (а) случае три внешние связи, а во втором случае (б) - пять. Значит, в первом случае рама имеет необходимое для статической определимости количество внешних связей, а во втором же - две дополнительные внешние связи. Однако в обеих ситуациях рама статически неопределима, т.к. конфигурация ее такова, что не позволяет определить усилия во всех ее элементах, используя только уравнения равновесия. Следовательно, для окончательного ответа на вопрос о статической определимости системы необходимо проведение совместного анализа наложенных на систему внешних и внутренних связей (более подробно этот вопрос рассматривается в курсе строительной механики). Рис. 6.5 Методы расчета статически неопределимых систем основаны на определении перемещений в ее точках. Выше мы рассматривали метод начальных параметров для вычисления перемещений в балках. При всех достоинствах этого метода он обладает одним существенным недостатком - при большом количестве участков вычислительные формулы становятся весьма громоздкими. Особенно это существенно в случае криволинейной оси стержневой системы. В связи с этим, рассмотрим более универсальный метод определения перемещений - метод Мора, названный так по имени немецкого ученого, предложившего его.
Метод сил Суть этого метода заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных связей как внешних, так и внутренних, а их действие заменяется соответствующими силами и моментами. Их величины, в дальнейшем, подбираются так, чтобы перемещения системы соответствовали тем бы ограничениям, которые на нее накладываются отброшенными связями. Система, освобожденная от дополнительных связей, становится статически определимой. Она носит название основной системы. Для каждой статически неопределимой заданной системы (рис. 6.9, а) можно подобрать, как правило, различные основные системы (рис. 6.9, б, в), однако их должно объединять следующее условие - основная система должна быть статически определимой и геометрически неизменяемой (т.е. не должна менять свою геометрию без деформаций элементов). Рис. 6.9 Рассмотрим систему, которая дважды статически неопределима (рис. 6.10, а). Заменим в основной системе действие отброшенных связей неизвестными усилиями X1 и X2 (рис. 6.10, б). Принятая основная система будет работать также, как и заданная, если на нее наложить условие отсутствия вертикальных перемещений в точках A и B (т.е. в тех местах, где в заданной системе стоят опоры): (6.9)
Уравнения (6.9) называются уравнениями совместности деформаций и при их выполнении фактически устанавливается условие эквивалентности между заданной и основной системой при действии внешней силы Р и неизвестных усилий X1 и X2 . На основании принципа независимости действия сил (6.9) можно представить в следующем виде: (6.10) где yA(P), yB(P), yA(X1), yB(X1), yA(X2), yB(X2) - вертикальные перемещения точек А и В основной системы соответственно от действия сил Р, Х1, Х2. Вводя обозначения d11, d12, D1P - вертикальные перемещения точки А основной системы, соответственно, от последовательного действия сил X1 = 1, X2 = 1, от внешней силы Р; d21, d22, D2P -вертикальные перемещения точки B основной системы, соответственно, от последовательного действия сил X1 = 1, X2 = 1, от внешней силы Р, и учитывая существование линейности связи между силой и перемещением, систему уравнений (6.3) можно преобразовать в канонической форме: (6.11) Последние уравнения носят названия канонических уравнений метода сил. Для вычисления коэффициентов при неизвестных X1 и X2 используют формулу Мора: , (i, j = 1, 2). (6.12) Легко видеть, что , это свойство называется законом парности коэффициентов при неизвестных. Свободные же коэффициенты определяются по формуле: . (6.13) После решения системы (6.11) определяются величины неизвестных усилий X1 и X2 . Если их значения получились отрицательными, это означает, что реально они действуют в направлении противоположном принятому. Окончательная эпюра моментов определяется по зависимости . (6.14) Эпюра поперечных сил QOK может быть построена по эпюре моментов МОК с использованием зависимости и величин приложенных к системе усилий.
Пример расчета (задача № 14) Для балки (рис. 6.11) задано: l1 = 2 l2 , P = q l1, m = q .
Требуется: 1. Определить степень статической неопределимости системы и составить уравнение совместности деформаций; 2. Определить коэффициенты и решить каноническое уравнение метода сил; 3. Построить эпюры моментов М и поперечных сил Q. Решение 1. Определить степень статической неопределимости системы и составить уравнение совместности деформаций. Используя зависимость W из пункта 6.1, подсчитаем степень статической неопределимости системы. D = 1, Ш = 0, С = 4 ® W = 3× 1 - 2× 0 - 4= -1, следовательно система один раз статически неопределима. Основную систему получим путем отбрасывания опоры в точке А и замены ее действия неизвестным усилием X1 (рис. 6.12). Каноническое уравнение метода сил в данном случае запишется в следующем виде: Рис. 6.12 d11 × X1 + D1P = 0. 2. Определить коэффициенты и решить каноническое уравнение метода сил. От силы X1 строим эпюру M1 (рис. 6.13). Для определения величины d11 воспользуемся выражением (6.12). Фактически эпюру M1 нужно умножить саму на себя и проинтегрировать это произведение: Для определения свободного коэффициента в каноническом уравнении строим в основной системе эпюру моментов MP от внешней нагрузки (рис. 6.14) и в соответствии с (6.7) получаем:
При вычислении D1P было учтено, что эпюры М1 и МP имеют разный знак, т.к. вызывают растяжение разных волокон - об этом говорит отрицательный знак при D1P . Кроме этого, криволинейный участок в эпюре МP был представлен как разность трапеции и параболического сегмента. Напишем уравнение совместности деформаций в виде E I d11 × X1 + E I D1P = 0, и, подставляя найденные величины перемещений, получим: , откуда X1 = . 3. Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. Окончательную эпюру изгибающих моментов получим по формуле: .
Последняя формула означает, что окончательное значение момента в любом сечении определяется путем сложения значения момента в эпюре МP с величиной момента в эпюре М1, увеличенной на коэффициент ql2 (рис. 6.15, а). Эпюру QОК для заданной системы можно построить следующим образом. Заменив в заданной системе опорные реакции RA на X1, получим статически определимую эквивалентную систему, тождественную заданной. Далее, определяя остальные опорные реакции RC и RD и по методу сечений составляя аналитические выражения изменения поперечных сил на каждом участке, по ним определив ординаты в характерных сечениях, строится эпюра QОК (рис. 6.15, б). 39. Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-31; Просмотров: 644; Нарушение авторского права страницы