Стержневые системы. Степень статической неопределимости

Под стержневой системой понимается всякая конструк­ция, состоящая из элементов, имеющих форму бруса. Если эле­менты конструкции работают только на растяжение или сжатие си­стема называется фермой (рис. 6.1). Ферма состоит из шарнирно опертых между собой прямых стержней, образующих треугольники и для нее характерно приложение внешних сил в узлах заданной системы.

Если элементы стержней системы работают в основном на изгиб или кручение, то такая система называется рамой (рис. 6.2).

Если все элементы стержневой системы расположены в одной плоскости, в которой также действуют все внешние силы, включая реакции опор, то система называется плоской (рис. 6.1, 6.2).

Если все элементы заданной системы расположены в одной плоскости, а внешние силы действуют в перпендикулярной плос­кости, то система называется плоскопространственной (рис. 6.3). Стержневые системы, не относящиеся к двум указанным категориям, называются пространственными (рис. 6.4).

Все стержневые системы принято разделять на статически определимые и статически неопределимые. Под статически определимой понимается такая система, для которой усилия во всех ее элементах могут быть определены по методу сечений с применением лишь урав­нений равновесия. Если этого сделать нельзя, то такая система на­зывается статически неопределимой.

Разность между числом неизвестных усилий (реакций опор и внутренних силовых факторов) и числом независимых уравнений равновесий, которые могут быть составлены для рассматриваемой сис­темы, называется степенью статической неопредели­мости системы.

Связи, наложенные на систему, бывают внешними и внутрен­ними. Под внешними понимают ограничения, накладываемые на абсолютные перемещения точек системы, как единое целое. Внутренние же связи ограничивают взаимные (относительные) перемещения элементов системы. Следовательно, статическая неопределимость системы мо­жет быть вызвана как внешними, так и внутренними связями.

Если рассматривать внешние связи, то можно отметить, что по­ложение жесткого тела на плоскости x, y характеризуется тремя незави­симыми параметрами - координатами x, y и углом поворота рассматриваемой плоскости. Таким образом, необходимое для равновесия число наложен­ных внешних связей должно быть равно трем (по количеству уравнений равновесия - å x = 0, å y = 0, å m = 0). Если плоская система состоит из D частей, каждую из которых можно рассмат­ривать как жесткое тело, то количество параметров, определяющих положение этой системы будет равно 3 D. Каждый шарнир, соеди­няющий две части системы, разрешает лишь их взаимный поворот, устраняя возможность их взаимных смещений - следовательно он уменьшает количество возможных перемещений системы на две единицы. Кроме этого, каждый опорный стержень устраняет воз­можность перемещения системы в соответствующем направлении. Таким образом, подсчитать степень статической неопределимости системы, определяемую внешними связями, можно по следующей формуле:

W = 3 D - 2 Ш - С,

где D - число частей (“дисков”) системы, каждая из которых может рассматриваться как абсолютно жесткое тело, Ш - количество шар­ниров в системе, соединяющих “диски”, С - число опорных стерж­ней. Для статически определимых систем W =0. При W< 0 система является статически неопределимой.

Наиболее характерные типы внешних связей и их схематичные изображения рассмотрены в п. 5.1.

На рис. 6.5 показана плоская рама, имеющая в первом (а) случае три внешние связи, а во втором случае (б) - пять. Значит, в первом случае рама имеет необходимое для статической определи­мости количество внешних связей, а во втором же - две дополни­тельные внешние связи. Однако в обеих ситуациях рама статически неопределима, т.к. конфигурация ее такова, что не позволяет опре­делить усилия во всех ее элементах, используя только уравнения равновесия. Следовательно, для окончательного ответа на вопрос о статической определимости системы необходимо проведение сов­местного анализа наложенных на систему внешних и внутренних связей (более подробно этот вопрос рассматривается в курсе строи­тельной механики).

Рис. 6.5

Методы расчета статически неопределимых систем основаны на определении перемещений в ее точках. Выше мы рассматривали метод начальных параметров для вычисления перемещений в бал­ках. При всех достоинствах этого метода он обладает одним суще­ственным недостатком - при большом количестве участков вычис­лительные формулы становятся весьма громоздкими. Особенно это существенно в случае криволинейной оси стержневой системы.

В связи с этим, рассмотрим более универсальный метод опре­деления перемещений - метод Мора, названный так по имени немецкого ученого, предложившего его.

 

Метод сил

Суть этого метода заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных связей как внешних, так и внутренних, а их действие заменяется соответ­ствующими силами и моментами. Их величины, в дальнейшем, подбираются так, чтобы перемещения системы соответствовали тем бы ограничениям, которые на нее накладываются отброшенными связями.

Система, освобожденная от дополнительных связей, становится статически определимой. Она носит название основной систе­мы. Для каждой статически неопределимой заданной системы (рис. 6.9, а) можно подобрать, как правило, различные основные системы (рис. 6.9, б, в), однако их должно объединять следующее условие - основная система должна быть статически определимой и геометрически неизменяемой (т.е. не должна менять свою гео­метрию без деформаций элементов).

Рис. 6.9

Рассмотрим систему, которая дважды статически неопределима (рис. 6.10, а). Заменим в основной системе действие отброшенных связей неизвестными усилиями X₁ и X₂ (рис. 6.10, б). Принятая основная система будет работать также, как и заданная, если на нее наложить условие отсутствия вертикальных перемещений в точках A и B (т.е. в тех местах, где в заданной системе стоят опоры):

(6.9)

Рис. 6.10

Уравнения (6.9) называются уравнениями совместности деформаций и при их выполнении фактически устанавливается условие эквивалентности между заданной и основной си­стемой при действии внешней силы Р и неиз­вестных усилий X₁ и X₂ . На основании принципа независимости действия сил (6.9) можно представить в следующем виде:

(6.10)

где y_A(P), y_B(P), y_A(X₁), y_B(X₁), y_A(X₂), y_B(X₂) - вертикальные пере­мещения точек А и В основной системы соответственно от дейст­вия сил Р, Х₁, Х₂.

Вводя обозначения d₁₁, d₁₂, D_1P - вертикальные перемещения точки А основной системы, соответственно, от последовательного действия сил X₁ = 1, X₂ = 1, от внешней силы Р; d₂₁, d₂₂, D_2P -вертикальные перемещения точки B основной системы, соответст­венно, от последовательного действия сил X₁ = 1, X₂ = 1, от внеш­ней силы Р, и учитывая существование линейности связи между силой и перемещением, систему уравнений (6.3) можно преобразо­вать в канонической форме:

(6.11)

Последние уравнения носят названия канонических урав­нений метода сил.

Для вычисления коэффициентов при неизвестных X₁ и X₂ ис­пользуют формулу Мора:

, (i, j = 1, 2). (6.12)

Легко видеть, что , это свойство называется законом парности коэффициентов при неизвестных. Свободные же коэффициенты определяются по формуле:

. (6.13)

После решения системы (6.11) определяются величины неизве­стных усилий X₁ и X₂ . Если их значения получились отрицатель­ными, это означает, что реально они действуют в направлении про­тивоположном принятому. Окончательная эпюра моментов опреде­ляется по зависимости

. (6.14)

Эпюра поперечных сил Q_OK может быть построена по эпюре моментов М_ОК с использованием зависимости и величин приложенных к системе усилий.

 

Пример расчета (задача № 14)

Для балки (рис. 6.11) задано: l₁ = 2 l₂ , P = q l₁, m = q .

Рис. 6.11

Требуется:

1. Определить сте­пень статической неоп­ределимости системы и составить уравнение сов­местности деформаций;

2. Определить коэф­фициенты и решить ка­ноническое уравнение метода сил;

3. Построить эпюры моментов М и поперечных сил Q.

Решение

1. Определить степень статической неопредели­мости системы и составить уравнение совместности деформаций. Используя зависимость W из пункта 6.1, подсчита­ем степень статической неопределимости системы. D = 1, Ш = 0, С = 4 ® W = 3× 1 - 2× 0 - 4= -1, следовательно система один раз ста­тически неопределима. Основную систему получим путем отбрасы­вания опоры в точке А и замены ее действия неизвестным усилием X₁ (рис. 6.12). Каноническое уравнение метода сил в данном случае запишется в следующем виде:

Рис. 6.12

d₁₁ × X₁ + D_1P = 0.

2. Определить коэффициенты и решить канониче­ское уравнение метода сил. От силы X₁ строим эпюру M₁ (рис. 6.13). Для определения величины d₁₁ воспользуемся выраже­нием (6.12). Фактически эпюру M₁ нужно умножить саму на себя и проинтегрировать это произведение:

Для определения сво­бодного коэффициента в каноническом уравнении строим в основной сис­теме эпюру моментов M_P от внешней нагрузки (рис. 6.14) и в соответст­вии с (6.7) получаем:

 

При вычислении D_1P было учтено, что эпюры М₁ и М_P имеют разный знак, т.к. вызывают растяжение разных волокон - об этом говорит отрицательный знак при D_1P . Кроме этого, криволиней­ный участок в эпюре М_P был представлен как разность трапеции и параболического сегмента.

Напишем уравнение совместности деформаций в виде

E I d₁₁ × X₁ + E I D_1P = 0,

и, подставляя найденные величины перемещений, получим:

, откуда X₁ = .

3. Построить эпюры изгибающих моментов и попе­речных сил. Окончательную эпюру изгибающих моментов полу­чим по формуле:

.

Рис. 6.15

Последняя формула означает, что окончательное значение мо­мента в любом сечении определяется путем сложения значения момента в эпюре М_P с величиной момента в эпюре М₁, увеличен­ной на коэффициент ql₂ (рис. 6.15, а). Эпюру Q_ОК для заданной системы можно построить следующим образом. Заменив в задан­ной системе опорные реакции R_A на X₁, по­лучим статически оп­ределимую эквивалент­ную систему, тождест­венную заданной. Да­лее, определяя осталь­ные опорные реакции R_C и R_D и по методу сечений составляя ана­литические выражения изменения поперечных сил на каждом участке, по ним определив ор­динаты в характерных сечениях, строится эпю­ра Q_ОК (рис. 6.15, б).

39.

Предыдущая123456789101112Следующая

Поделиться:

Популярное:

1. II. Степень свободы от государственного регулирования.
2. Анализ устойчивости по ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы.
3. Виды цен, различающиеся степенью и способами регулирования
4. Возведение в натуральную степень
5. Возникновение НЛП как области психотерапии. Фильтры и позиции восприятия. Способы моделирования. Репрезентативные системы.
6. Воспитательная система школы. Авторитарные и гуманистические воспитательные системы Авторские воспитательные системы.
7. Дифференциальные уравнения электромеханической системы.
8. Заболевания мочеполовой системы.
9. Заработная плата, ее формы и системы.
10. Иммунодефициты - это состояния, обусловленные функциональной недостаточностью иммунной системы вследствие отсутствия либо снижения уровня одного или нескольких факторов иммунной системы.
11. Квалификация (степень) «бакалавр»
12. Квалификация (степень) бакалавр