ОПРЕДЕЛЕНИЕ КЭФФИЦИЕНТА ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ МЕТОДОМ СТОКСА

Введение

Вязкость газа или жидкости проявляется в том, что возникшее в среде упорядоченное движение молекул после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно прекращается. Это происходит потому, что между слоями жидкости или газа, движущимися с различными скоростями, действуют силы внутреннего (вязкого) трения, которые стремятся уравнять скорости слоев жидкости.

Сила вязкого трения газов и большинства жидкостей подчиняется закону, установленному И.Ньютоном. Выделим мысленно в потоке жидкости участок Δ S плоскости, в пределах которой скорость упорядоченного движения молекул U(z), зависящая от координаты z, постоянна (рис.1). Сила вязкого трения F, действующая на слой, лежащий выше участка Δ S, будет направлена навстречу движению жидкости и пропорциональна быстроте изменения скорости вдоль оси z Рис. 1 Вязкое трение т.е.перпендикулярно направлению скорости) и также величине площадки Δ S. Количественно, это выражается формулой

(1)

где η – параметр, носящий название динамической вязкости.

С молекулярной точки зрения происхождение сил вязкого трения объясняется следующим образом. Молекулы жидкости или газа участвуют одновременно и в упорядоченном и в хаотическом (тепловом) движении, тепловое движение вызывает перемешивание слоев среды, движущихся с разными скоростями. При этом импульс упорядоченного движения молекул передается от слоев с большей скоростью к слоям с меньшей скоростью. Согласно второму закону Ньютона отличная от нуля скорость изменения импульса выделенного слоя среды означает наличие приложенной к нему силы. Эта сила и называется силой вязкого трения.

Рассмотрим упрощенный расчет коэффициента вязкости в газах. Будем считать скорости теплового движения всех молекул одинаковыми и равными средней тепловой скорости < v>. Само же тепловое движение представим схемой, где все молекулы разделены на шесть одинаковых потоков, параллельных координатным осям. Таким образом, в положительном и отрицательном направлении оси z одинаковое количество молекул, равное одной шестой их общего числа. За время Δ t площадку Δ S пересекут те молекулы газа, которые находились на расстояниях меньших, чем Δ z = < v> Δ t от поверхности. Поэтому число молекул, пересекающих площадку за время Δ t,

(2)

где п–- концентрация молекул, Δ t – промежуток времени, в течение которого происходит перенос молекул, число которых равно Δ N.

Молекулы газа участвуют кроме теплового движения в упорядоченном движении со скоростью U, которая является непрерывной функцией z. На рис. 1 вектору U соответствует положительное направление оси у. Каждая молекула, пересекая за счет теплового движения поверхность Δ S, переносит импульс упорядоченного движения mU. Поэтому импульс, перенесенный всеми молекулами за время Δ t через площадку Δ S в положительном направлении оси z,

Δ Р₊ = mU₊Δ N ,

где U₊– характерное значение скорости упорядоченного движения молекул вблизи нижней границы выделенного слоя, т – масса одной молекулы, a Δ N определяется формулой (2). Аналогично импульс, переносимый в отрицательном направлении оси z,

Δ Р_{–_}= mU_{–_}Δ N.

Результирующая у – компонента импульса, перенесенная за время Δ t через площадку Δ S, равна

Δ Р = Δ Р₊– Δ Р_– = m(U₊ – U_–) Δ N= 1/6 п m< v> (U₊ – U^_) Δ SΔ t, (3)

Для нахождения U₊и U_–учтем, что те молекулы газа, которые находятся дальше от площадки Δ S, чем длина свободного пробега, испытывают столкновение с другими молекулами раньше, чем достигнут площадки. Вследствие этого они приобретут скорость упорядоченного движения того слоя газа, где они испытывают столкновение. Таким образом, можно считать, что скорость упорядоченного движения молекул, пересекающих поверхность Δ S в положительном направлении оси z, равна скорости упорядоченного движения U на расстоянии от поверхности Δ S:

U₊ = U₍_z_-_λ_).

Скорость упорядоченного движения молекул, пересекающих Δ S в отрицательном направлении оси z, есть

U_– = U₍_z₊_λ₎.

Скорость U(z) обычно медленно меняется на расстояниях порядка средней длины свободного пробега λ. Поэтому функцию U₍_z_±_λ₎можно разложить в ряд по малой величине λ, ограничившись только линейными членами:

откуда

Подставляя это выражение в формулу (3), получим

(4)

Знак минус в этой формуле указывает на направление переноса импульса.

Если > 0, то Δ Р < 0, и это означает, что импульс упорядоченного движения переносится в отрицательном направлении оси z, т. е. от быстрых слоев газа к медленным.

Величина силы, действующей на слой газа в пределах поверхности Δ S, равна

Произведение концентрации п на массу одной молекулы т равно плотности газа ρ, так что окончательное выражение приобретает вид

(5)

Сравнение формулы (5) с законом вязкости Ньютона (1), во-первых, подтверждает справедливость последнего на примере газа. Во-вторых, раскрывает связь коэффициента динамической вязкости

(6)

с молекулярными параметрами системы. Вспоминая, что средняя длина свободного пробега молекул газа равна

⁽⁷⁾

где d – эффективный диаметр молекул, убеждаемся, что произведение не зависит от температуры.

где k – постоянная Больцмана, а T - температура. Комбинируя два последних выражения, получаем

Отсюда следует, что коэффициент вязкости газов не зависит от давления и растет с температурой пропорционально

Коэффициент трения жидкости зависит от ее природы (вида молекул), температуры, давления. В отличие от газов, с ростом температуры вязкость жидкости уменьшается. Эта зависимость вязкости жидкости от температуры связана с характером теплового движения молекул.

В жидкости молекулы находятся на расстояниях, соизмеримых с размером молекул, и совершают малые колебания в пределах, ограниченных межмолекулярными расстояниями. Время от времени центр этих колебаний (положения равновесия) совершает случайные скачки, и молекулы перемещаются в новое положение равновесия. За счет этих скачков и происходит передача импульса упорядоченного движения молекул от слоя к слою. С ростом температуры скачки происходит чаще, и жидкость становится более текучей (менее вязкой). Частота скачков пропорциональна exp(–W/kT), где W - энергия, необходимая для скачка.

Коэффициент вязкости жидкости при постоянном давлении зависит от температуры согласно формуле Френкеля – Андраде может быть записан в виде

η = С exp(-W/kT) , (8)

где С – слабая функция от Т.

На твердое тело, движущееся в жидкости, действует сила сопротивления, которая при малых скоростях тела обусловлена силами вязкого трения. Малыми считаются скорости движения, при которых движение жидкости около этого тела имеет ламинарный (не турбулентный) характер. Количественным критерием малости скорости тела является число Рейнольдса

где v – скорость тела, r – характерный размер (например, радиус шара), ρ –плотность жидкости.

Движущееся в жидкости тело увлекает за собой часть жидкости. Очень тонкий слой жидкости «прилипает» к поверхности тела и движется с ним как одно целое, увлекая за собой из-за вязкого трения последующие слои. По мере удаления от тела скорость слоев уменьшается (рис. 2).

Рис. 2. Сопротивление среды

При изучении сопротивления среды (жидкости) движению тела необходимо учитывать вязкое трение отдельных слоев жидкости друг о друга.

Если в неограниченной жидкости движется шарик, то, как показал Стокс, при Re«1 сила сопротивления

Рассмотрим падение шарика в наполненный жидкостью сосуд с небольшой высоты h (рис. 3).На шарик действуют три силы: сила тяжести mg = ρ _oVg, сила Архимеда F_A = ρ Vg и сила вязкого трения .Здесь m - масса шарика, ρ ₀ – плотность материала шарика, v – скорость шарика, V – его объем, ρ – плотность жидкости, g – ускорение свободного падения.

Рис. 3. Падение шарика в вязкой жидкости

Второй закон Ньютона для рассматриваемого случая принимает вид

. (11)

При движении шарика в воздухе с небольшой скоростью силой вязкого трения шарика о воздух можно пренебречь и определить скорость v₀ у поверхности жидкости, как скорость при свободном падении с некоторой высоты h. Как только шарик погрузится в жидкость, силы вязкого трения и Архимеда возрастут, их сумма окажется больше силы тяжести, и падение будет замедляться (так будет, если высота падения шарика в воздухе достаточно большая). В конечном счете, сумма сил Архимеда и вязкого трения окажется равной силе тяжести. В этом случае ускорение шарика будет равно нулю, скорость движения v = v_s будет постоянна и уравнение (11) примет вид

(ρ – ρ _о) Vg –6π η rv_s = 0. (12)

Решая уравнение (3) относительно коэффициента η с учетом того, что V = 4/3π r³ и d = 2r, получаем

(13)

Скорость равномерного движения шарика v_s можно определить, если измерить время прохождения t, пройденное расстояние l и провести расчетпо формуле

(14)

Тогда формула (13) для вычисления коэффициента вязкости преобразуется к виду

. (15)

Таким образом, для определения коэффициента вязкости жидкости необходимо знать плотность жидкости и материала шарика, диаметр шарика и скорость установившегося движения шарика в жидкости, которая может быть измерена экспериментально.

Контрольные вопросы

1. В чем состоит суть явления вязкости в жидкостях и в газах с молекулярно-кинетической точки зрения?

2. Перечислите силы, действующие на шарик при его движении в вязкой жидкости. Запишите закон Ньютона для силы вязкого трения.

3. Как зависит коэффициент вязкости жидкости от температуры?

4. Дайте определение ламинарного и турбулентного течения жидкости. Число Рейнольдса. Сила Стокса. Какова зависимость силы вязкого трения от скорости движения шарика?

5. Вывод рабочей формулы для нахождения коэффициента вязкости жидкости методом Стокса.

6. Как зависит скорость установившегося движения шарика в вязкой жидкости от радиуса шарика (при постоянной плотности)?

7. Чем отличаются силы вязкого трения в газах и жидкостях? Вывод коэффициента вязкого трения для газов. От чего зависит коэффициент вязкого трения в газообразной среде?

Задачи

1. Одинаково ли быстро будет падать на землю целый камень и порошок, полученный из этого камня при его растирании?

2. Почему у гоночных велосипедов руль опущен низко?

3. Почему лыжник, прыгая с трамплина., наклоняет тело вперед?

4. Растительное масло в жару легко выливается из горлышка бутылки, а постоявшее на морозе – значительно труднее. Почему?

5. Шарик всплывает с постоянной скоростью v в жидкости, плотность ρ ₁ которой в 4 раза больше плотности ρ ₂ материала шарика. Во сколько раз сила трения, действующая на всплывающий шарик, больше силы тяжести mg, действующей на этот шарик?

6. Стальной шарик диаметром d = 1 мм падает с постоянной скоростью v= 0, 185 см /с в большом сосуде, наполненном касторовым маслом. Найти динамическую вязкость η касторового масла. Плотность стали 7800 кг /м3, плотность касторового масла

900 кг/м3.

7. Какой наибольшей скорости v может достичь дождевая капля диаметром d = 0, 3 мм, если динамическая вязкость воздуха η = 1, 2 10^-5 Па с?

8. Смесь свинцовых дробинок с диаметрами d₁ = 3 мм и

d₂ = 1 мм опустили в бак с глицерином высотой h = 1 м. На сколько позже упадут на дно дробинки меньшего диаметра по сравнению с дробинками большего диаметра? Динамическая вязкость глицерина η =1, 47 Па с, плотность свинца 11300 кг/м3.

9. Пробковый шарик радиусом r = 5 мм всплывает в сосуде, наполненном касторовым маслом. Найти динамическую вязкость и кинематическую вязкость касторового масла, если шарик всплывает с постоянной скоростью v= 3, 5 см/с.

10. Над нагретым участком поверхности Земли установился стационарный поток воздуха, направленный вертикально вверх. Скорость u = 20 см/с. В потоке находится шаровидная пылинка, которая движется вверх с установившейся скоростью v = 4 см/с.. Плотность пылинки ρ = 5 10³ кг/м3, плотность воздуха

ρ ₀ = 1, 29 кг/м³. Вязкость воздуха η = 1, 72 10^-5 Па с. Определить радиус пылинки. Показать, что обтекание пылинки воздухом носит ламинарный характер. Для шарика критическое значение числа Рейнольдса Re = 0, 25, если в качестве характерного размера принять радиус шарика.

11. При движении шарика радиусом r₁ = 1, 2 мм в глицерине ламинарное обтекание наблюдается при скорости шарика, не превышающей v₁ = 23 см/с. При какой минимальной скорости v₂ шара радиусом r₂ = 5, 5 см/с в воде обтекание станет турбулентным? Вязкости глицерина и воды равны соответственно

η ₁ = 1, 39 Па с и η ₂ = 1, 1 мПа с.

12. Стальной шарик диаметром d = 3 мм опускается с нулевой начальной скоростью в прованском масле, вязкость которого η = 90 мПа с.Через какое время после начала движения скорость шарика будет отличаться от установившегося значения на n = 1%?

13. В высокий широкий сосуд налит глицерин (плотность

ρ ₀ = 1, 21 10³ кг/м³, вязкость η = 0, 350 Па с). В глицерин погружают вдалеке от стенок сосуда и отпускают без толчка шарик радиусом r =1мм. Плотность шарика ρ = 10 10³ = кг/м³. Начальная высота шарика над дном сосуда h = 0, 5 м. Найти зависимость пути s, пройденного шариком, от времени t.

14. По условию предыдущей задачи найти время, за которое шарик достигнет дна сосуда, а также время, по истечении которого скорость шарика будет отличаться от предельного значения более чем на 1%.

15. Медный шарик диаметром d = 1 см падает с постоянной скоростью в касторовом масле. Является ли движение масла, вызванное падением в нем шарика, ламинарным? Критическое значение числа Рейнольдса Re = 0, 5.

16. Латунный шарик диаметром d = 0, 5 мм падает в глицерине. Определить скорость v установившегося движения шарика. Является ли при этой скорости обтекание шарика ламинарным?

17. При движении шарика радиусом r₁ = 2, 4 мм в касторовом масле ламинарное обтекание наблюдается при скорости v₁ шарика, не превышающей 10 см/с. При какой минимальной скорости v₂ шарика радиусом r₂ = 1 мм в глицерине обтекание станет турбулентным?

18. В высокий широкий сосуд налит глицерин (плотность

ρ ₀ = 1, 21 103 кг/м3, вязкость η = 0, 35 Па с). В глицерин погружают вдалеке от стенок сосуда и отпускают без толчка шарик радиуса r = 1 мм. Плотность шарика ρ = 10 103 кг/м3. Первоначальная высота шарика над дном сосуда h = 0, 5 м. Найти зависимость пути s, пройденного шариком, от времени t.

19. По данным предыдущей задачи определить время τ, за которое шарик достигнет дна сосуда.

ТРЕНИЕ

Введение

Трением называется механическое сопротивление, возникающее в плоскости касания двух прижатых друг к другу тел при их относительном перемещении. Сила сопротивления F, направленная противоположно относительному перемещению данного тела, называется силой трения, действующей на это тело. Трение является диссипативным процессом, сопровождающимся выделением теплоты, электризацией тел, их разрушением и т. д.

В данной работе мы имеем дело с так называемым сухим трением скольжения, которое в значительной степени зависит от состояния поверхностей трущихся тел и их химической природы.

Рассмотрим тело, лежащее на плоской поверхности, к которому приложена горизонтальная сила F. В том случае, когда сила F меньше некоторой величины F_т_p_.пок, тело остается неподвижным и сила трения остается равной величине силы F. При увеличении силы F в том случае, когда эта сила превысит значение F_т_p_.пок, тело придет в движение с ускорением а (рис. 1). Это ускорение может быть рассчитано по второму закону Ньютона:

ma = F– F_mp, (1)

где т–- масса тела, F_т_p – сила трения скольжения.

Французские физики Г. Амонтон и Ш. Кулон опытным путем установили закон: сила трения скольжения F_т_p пропорциональна силе нормального давления F_N , с которой одно тело действует на другое: F_т_p = μ F_N,

Рис. 1. Сила трения

где F_N -сила, действующая на плоскую поверхность со стороны тела т, численно равная силе N со стороны плоской поверхности на тело (по третьему закону Ньютона), μ - коэффициент трения скольжения.

На горизонтальной поверхности сила нормального давления равна силе тяжести: F_N = mg.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение поступательного и вращательного движения. Как связаны между собой кинематические характеристики поступательного и вращательного движения?

2. Как вводятся в динамику понятия массы, силы и импульса? Сформулируйте законы динамики поступательного движения.

3. Физическая сущность силы трения и коэффициента трения. Закон Амонтона. Постановка и решение задачи о движении тела по наклонной плоскости.

4. В чем состоят особенности сухого и вязкого трения? Графики зависимости силы трения от скорости движения. Каков характер движения тела под действием силы трения?

5. «Положительные» и «отрицательные» стороны трения. Способы увеличения и уменьшения силы трения. Существует ли трение в невесомости?

Заданчи

1. Для передвижения ящика массой 40 кг по бетонному полу необходима сила 270 Н. Чему равен коэффициент трения покоя между коробкой и полом?

2. Предположим, что вы стоите в вагоне поезда, движущегося с ускорением 0, 42 g. Каким должен быть минимальный коэффициент трения между вашими подошвами и полом, чтобы вы не скользили?

3. С каким максимальным ускорением может двигаться автомобиль, если коэффициент трения покоя между шинами и покрытием дороги равен 0, 35?

4. Груз массой 4 кг положен на доску массой 12 кг, движущуюся по горизонтальному столу с ускорением a = 5, 2 м/с² Найти минимальный коэффициент трения µ, при котором груз не будет двигаться по доске.

5. По данным предыдущей задачи: если μ составляет лишь половину этого максимального значения, то чему будут равны ускорения груза относительно стола и относительно доски?

6. Ящик массой 8 кг на наклонной плоскости с углом наклона 30^° движется с ускорением 0, 3 м/с². Найти силу трения, препятствующую этому движению. Чему равен коэффициент трения?

7. Ящик толкнули таким образом, что он начал скользить по полу. Как далеко продвинется ящик, если коэффициент трения скольжения равен 0, 3, а при толчке ему была сообщена скорость 3 м/с?

8. Автомобиль массой 1000 кг тянет прицеп массой 450 кг. Чтобы ускориться, автомобиль действует на землю силой в горизонтальном направлении, величина которой равна 3, 5·10³ Н. Коэффициент трения равен 0, 45. С какой силой автомобиль действует на прицеп?

9. Камень, пущенный по поверхности льда со скоростью

v = 3 м/с, прошел до остановки расстояние s = 20, 4 м. Найти коэффициент трения камня о лед.

10. Мотоциклист, движущийся с постоянной скоростью

12 м/с, въезжает на участок дороги, покрытый песком, где коэффициент трения скольжения равен 0, 8. Проскочит ли он песчаный участок без переключения скоростей, если протяженность участка равна 15 м? Если да, то какова будет его скорость в конце этого участка?

11. Два контейнера, масса одного из которых равна 95 кг, а другого – 125 кг, стоят, соприкасаясь друг с другом. К контейнеру массой 95 кг прикладывают силу величиной 650 Н. Если коэффициент трения скольжения равен 0, 25, то чему равно ускорение системы тел? Чему равна сила действия одного контейнера на другой?

12. Два тела массами m₁ = 0, 25 кг и m₂ = 0, 15 кг связаны тонкой нитью, переброшенной через блок (рис. 4). Блок укреплен на краю горизонтального стола, по поверхности которого скользит тело массой m₁. С каким ускорением a движутся тела и каковы силы натяжения нити по обе стороны блока? Коэффициент трения µ тела о поверхность стола равен 0, 2. Масса блока равна 0, 1 кг и ее можно считать равномерно распределенной по ободу. Массой нити и трением в подшипниках оси блока пренебречь.

13. Наклонная плоскость (рис.5) составляет угол α с горизонтом. Отношение масс m₂/m₁ = 2/3. Коэффициент трения между телом m₁ и плоскостью μ = 0, 1. Массы блока и нити пренебрежимо малы. Найти модуль и направление ускорения тела m₂, если система пришла в движение из состояния покоя.

14. В установке (рис.5) известны угол α и коэффициент трения µ между телом m₁ и наклонной плоскостью. Массы блока и нити пренебрежимо малы, трения в блоке нет. Вначале оба тела неподвижны. Найти отношение масс m₂/m₁, при котором тело m₂ начнет а) опускаться, б) подниматься.

15. Автомобиль идет по закруглению шоссе, радиус R кривизны которого равен 200 м. Коэффициент трения колес о покрытие дороги равен 0, 1 (гололед). При какой скорости v автомобиля начнется его занос?

16. Какую наибольшую скорость v_maxможет развить велосипедист, проезжая закругление радиусом R = 50 м, если коэффициент трения между шинами и асфальтом равен 0, 3? Каков угол отклонения велосипеда от вертикали, когда велосипедист движется по закруглению?

17. Мотоцикл едет по поверхности вертикального цилиндра радиусом R = 11, 2 м. Центр тяжести мотоцикла с человеком расположен на расстоянии l = 0, 8 от поверхности цилиндра. Коэффициент трения покрышек о поверхность цилиндра равен 0, 6.

С какой минимальной скоростью должен ехать мотоциклист? Каков при этом будет угол φ наклона его к плоскости горизонта?

18. На горизонтальной плоскости находятся два тела: брусок и электромотор с батарейкой на подставке. На ось электромотора намотана нить, свободный конец которой соединен с бруском. Расстояние между телами равно l, коэффициент трения между телами и плоскостью µ. После включения мотора брусок, масса которого вдвое больше массы электромотора, начал двигаться с постоянным ускорением a. Через сколько времени оба тела столкнутся?

19. К бруску массой m, лежащему на гладкой горизонтальной плоскости, приложили постоянную по модулю силу F = mg/3. В процессе его прямолинейного движения угол α между направлением этой силы и горизонтом меняют по закону α = ks, где k – постоянная величина, s – пройденный бруском путь (из начального положения). Найти скорость бруска как функцию угла α.

КОЛЕБАНИЯ

Цель работы – ознакомление с характером собственных упругих колебаний, определение модуля Юнга металлов и логарифмического декремента затухания системы.

Приборы и принадлежности: лабораторный модуль ЛКМ–3, набор грузов, набор упругих стержней, пружина, нить с крючком, измерительная система ИСМ-1 (секундомер).

Введение

Установка для исследований упругих колебаний собрана на базе модуля ЛКМ-3 (рисунок). Упругий стержень (балка) 1 закреплен на стойке посредством цилиндрического кронштейна. К концу стержня прикреплен конец нити, перекинутой через блок. К другому концу нити прикреплен груз переменной массы, способный совершать колебания.

Рис. Установка для исследования упругих колебаний на модуле ЛКМ-3

При этом незакрепленный конец стержня колеблется в вертикальной плоскости.

В механике простейшими колебательными системами с одной степенью свободы являются пружинные маятники. Период колебаний Т системы, изображенной на рисунке, при малом затухании может быть рассчитан по формуле

(1)

где m – масса груза, k – коэффициент жесткости балки.

Для того чтобы не учитывать массу балки 1 и шкива при измерении жесткости балки, воспользуемся формулой

, (2)

где m₁и m₂– масса грузов, T₁и T₂ – соответствующие им периоды колебаний.

Жесткость балки определяется ее размерами, формой, способом закрепления и модулем упругости (модулем Юнга) Е ее материала. Для круглого стержня имеем

(3)

где d – диаметр, L –- длина стержня.

Контрольные вопросы

1. Вывод уравнения гармонических колебаний для случая малых горизонтальных колебаний груза на пружине.

2. Запишите законы изменения во времени следующих параметров колебательного движения: смещения из положения равновесия, скорости и ускорения материальной частицы.

3. Как изменяется во времени энергия колеблющейся частицы? Как в этих зависимостях находит отражение закон сохранения полной механической энергии?

4. Вывод уравнения затухающих колебаний. Как соотносятся между собой периоды собственных затухающих и незатухающих колебаний? Почему затухающие колебания материальной частицы не являются гармоническими?

5. Дайте определение коэффициента затухания, логарифмического декремента затухания и добротности колебательной системы.

6. Дайте определение параметров напряженного состояния твердого тела: относительной деформации, модуля Юнга и коэффициента упругости. Сформулируйте закон Гука для твердого тела, находящегося в напряженном состоянии.

Задачи

1. К вертикальной проволоке длиной L = 5 м и площадью поперечного сечения S = 2 мм² подвешен груз массой m = 5, 1 кг. В результате проволока удлинилась на x = 0, 6 мм. Найти модуль упругости (модуль Юнга) материала проволоки.

2. К стальному стержню длиной L = 3 м и диаметром

d = 2 см подвешен груз массой m = 2, 5 10³ кг. Определить напряжение σ в стержне. Модуль Юнга стали E = 220 ГПа

(ГПа – ГигаПаскаль).

3. По условиям предыдущей задачи определить относительное ε и абсолютное удлинение x стержня.

4. Проволока длиной l = 2 м и диаметром d = 1 мм натянута практически горизонтально. Когда к середине проволоки подвесили груз массой m = 1 кг, проволока растянулась настолько, что точка подвеса опустилась на h = 4 см. Определить модуль Юнга E материала проволоки.

5. Тонкий стержень одним концом закреплен, к другому концу приложен момент силы M = 1 кН м. Определить угол φ закручивания стержня, если постоянная кручения

C = 120 кН м /рад.

6. Коэффициент линейного теплового расширения стали равен 12 10^-6К^-1, модуль Юнга E =220 ГПа (ГигаПаскаль). Какое давление p необходимо приложить к торцам стального цилиндра, чтобы длина его оставалась неизменной при повышении температуры на 100°С.

7. Стальной канат диаметром 9 мм может выдержать вес неподвижной кабины лифта. Какой диаметр должен иметь канат, если кабина лифта может иметь ускорение до 8 g.

8. Насколько вытягивается стержень из железа (модуль

Юнга Е=220 ГПа), подвешенный за один конец под действием собственного веса?

9. По условиям предыдущей задачи определить, насколько меняется объем стержня.

10. Какую работу A надо совершить, чтобы растянуть на x = 1 мм стальной стержень (E = 220 ГПа) длиной l = 1 м и площадью поперечного сечения S = 1 см².

11. Точка совершает колебания с частотой ω и коэффициентом затухания β. Найти амплитуду скорости точки как функцию времени, если в момент t = 0 амплитуда ее смещения равна a₀.

12. По условиям предыдущей задачи найти амплитуду скорости точки как функцию времени, если в момент t = 0 смещение x(0) = 0 и проекция скорости v_x = v₀.

13. Математический маятник совершает колебания в среде, для которой логарифмический декремент затухания θ ₀ = 1, 5. Каким будет значение θ, если сопротивление среды увеличить в

n = 2 раза?

14. По условиям предыдущей задачи определить, во сколько раз следует увеличить сопротивление среды, чтобы колебания стали невозможны?

15. К пружине подвесили груз, и она растянулась на

Δ x = 9, 8 см. Логарифмический декремент затухания θ = 3, 1.С каким периодом будет колебаться груз в вертикальном направлении?

16. Амплитуда затухающих колебаний маятника за время

t₁ = 5 мин уменьшилась в два раза. За какое время t₂, считая от начального момента, амплитуда уменьшится в восемь раз?

17. За время t = 8 мин амплитуда затухающих колебаний маятника уменьшилась в три раза. Определить коэффициент затухания β.

18. Логарифмический декремент затухания колебаний маятника равен 0, 003. Определить число N полных колебаний, которые должен сделать маятник, чтобы амплитуда уменьшилась в два раза?

19. Амплитуда колебаний маятника длиной l = 1 м за время t = 10 мин уменьшилась в два раза. Определить логарифмический декремент затухания β.

20. Определить период T затухающих колебаний, если период T₀ собственных колебаний системы равен 1 с и логарифмический декремент θ = 0, 628.

Приложение I

Коэффициенты Стьюдента (при α = 0, 95)

п											∞
τ (α, n)	12, 7	4, 3	3, 2	2, 8	2, 6	2, 4	2, 4	2, 3	2, 3	2, 1

Приложение II

Предыдущая 1 2 3 4 567 Следующая