![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Основные свойства функции Гаусса
1. Немецкий математик К.Ф.Гаусс в 1821 г. получил формулу нормального распределения значений случайной величины:
Функция 2. Кривая нормального распределения является симметричной относительно вертикальной оси, проходящей через ее максимум, т.е. одинаковые отклонения значений, но в противоположные стороны встречаются одинаково часто и имеют одинаковую вероятность. 3. В точке 4. Площадь под кривой 5. Точки a и b являются точками перегиба функции
Доля всех значений случайной величины, попадающих в интервал (–σ, +σ ) составляет 68, 3%. В интервале (–2σ, +2σ ) находится 95, 4% всех значений, а для интервала (–3σ, +3σ ) эта доля соответственно уже 99, 9%. Рис. 3. Кривая нормального распределения значений случайной величины Величина Площади под кривой, ограниченные этими интервалами (их также называют доверительными интервалами), равны вероятности попадания значения случайной величины внутрь интервала. Эта вероятность называется доверительной вероятностью (надежностью) (рис. 4). Рис. 4. Доверительные интервалы Δ xa = σ, Δ xb = 2σ, Δ xc = 3σ; доверительные вероятности, соответственно, равны:
В теории погрешности случайной величиной является результат измерения (а также погрешность измерения). Абсолютной погрешностью измерения называется величина, определяемая разницей между результатом измерения
Относительной погрешностью называется величина, равная отношению абсолютной погрешности к среднему арифметическому значению результата измерения,
Теперь вспомним то обстоятельство, что экспериментатор имеет дело с ограниченным числом измерений, часто незначительным. При этом распределение случайных погрешностей тем больше отличается от нормального распределения, чем меньше сделано измерений. Английский химик и математик У. Госсет (1908), публиковавший свои работы под псевдонимом Стьюдент (Student), указал на возможность и при малом числе измерений определять доверительный интервал. Он вывел распределение погрешностей, получаемых при малом числе измерений (малой выборке). Кривые распределения Стьюдента (рис. 5) по своей форме напоминают кривую Гаусса, и при числе измерений Рис. 5. Кривые распределения Стьюдента для различного числа измерений
По Стьюденту, центр доверительного интервала определяется средним арифметическим значением, полученным из
Абсолютная погрешность измерения равна полуширине доверительного интервала для заданной надежности измерения α и определяется соотношением
где
где τ α – коэффициент Стьюдента, учитывающий количество измерений n и требуемую надежность α. Значения коэффициентов Стьюдента приводятся в таблицах. После определения погрешности методом Стьюдента результат прямых измерений записывают в стандартном виде
при α = 0, 95
Надежность измерений (доверительная вероятность) α для научных и инженерных измерений принята равной 95%. При расчете погрешностей, сопровождающих косвенные измерения, используют следующий алгоритм. Пусть, например, измеряемая величина А погрешность
где
Определение числа π методом Бюффона В качестве примера рассмотрим предложенный Бюффоном эксперимент для определения числа π (игла Бюффона). Возьмите миллиметровую бумагу или лист тетради в клетку. Сторона клетки (квадрата) – Рис. 6. Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-31; Просмотров: 571; Нарушение авторского права страницы