МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ. ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК

Рис. 6.1

Всякое тело, подвешенное в точке, лежащей выше его центра тяжести, может колебаться и представляет собой физический маятник (рис. 6.1).

Если мятник отклонить от положения равновесия на угол j, то сила тяжести создает относительно оси вращения (проходит через т. О₁ перпендикулярно к плоскости рисунка) вращающий момент

, (6.1)

где l₁ – расстояние от оси вращения до центра тяжести С, m – масса маятника, а угол j отсчитывается от вертикальной линии против часовой стрелки. Момент силы М стремится вернуть маятник в положение равновесия.

При малых углах отклонения колебания маятника будут близки к гармоническим. Действительно, при малых углах sinj » j и формула (6.1) принимает вид

. (6.2)

По основному закону динамики вращательного движения

, (6.3)

где J – момент инерции маятника относительно оси О₁; –угловое ускорение.

Подставляем M и ε в формулу (6.3):

. (6.4)

Обозначая , перепишем равенство (6.4) в виде

. (6.5)

Уравнение (6.5) – дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Решением этого уравнения является функция

, (6.6)

где j₀ – максимальный угол отклонения маятника от положения равновесия, а круговая (или циклическая) частота.

Для периода колебаний получаем

. (6.7)

Величину называют приведенной длиной физического маятника. Подставив это в выражение (6.7), найдем, что приведенная длина физического маятника равна длине математического маятника с таким же периодом колебаний.

Точка, находящаяся на расстоянии l_пр от точки подвеса по линии, проходящей через центр тяжести, называется центром качания.

Точка подвеса и центр качания обладают свойством обратимости: если центр качания сделать точкой подвеса, то прежняя точка подвеса станет новым центром качания, при этом период колебаний не изменится.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой Штейнера: момент инерции тела относительно оси z равен моменту инерции этого тела относительно оси z’, проходящей через его центр инерции параллельно оси z, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями z и z’, т.е.

, (6.8)

где J – момент инерции относительно оси z; J₀ – момент инерции относительно оси z’; m – масса тела; l – расстояние между осями z и z’.

Рассмотрим вращение физического маятника вокруг точки О₁ (см. рис. 6.1).

Проведем линию О₁С и на ее продолжении возьмем точку О₂, такую, что О₁О₂= l_пр1. Обозначим О₂С = l₂, так что . Тогда

Таким образом, .

Теперь перевернем маятник и рассмотрим его вращение вокруг оси, проходящей через точку О₂, при этом

откуда следует, что l_пр1 =l_пр2.

Определение ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника. (Лабораторная работа 12)

Приборы и принадлежности: оборотный маятник, секундомер.

Теория метода и описание прибора

Зная период колебаний физического маятника и его приведенную длину l_пр, ускорение свободного падения рассчитаем по формуле

. (6.9)

Таким образом, для определения g с помощью физического маятника необходимо измерить период колебаний T и определить приведенную длину маятника l_пр.

В работе используется оборотный маятник (рис. 6.2), который является частным случаем физического маятника.

На металлическом стержне 3 жестко закреплены опорные призмы 1 и 2 и находящаяся между ними чечевица 4. Чечевица 5 может перемещаться по шкале 6 и закрепляться в нужном положении винтом. Расстояние между призмами постоянно (l₀= 730 мм).

При перемещении чечевицы 5 по стержню изменяются периоды колебаний Т₁ и Т₂ (на ребрах призм 1 и 2 соответственно).

При некотором положении чечевицы 5 периоды Т₁ и Т₂ оказываются равными. В этом случае l_пр1=l_пр2=l₀ (расстояние между призмами). Подставляя l₀ и Т=Т₁=Т₂ в формулу (6.9), можно найти g.

Чтобы найти указанное положение чечевицы 5 на шкале 6, нужно найти зависимость Т₁ и Т₂ от положения (r) чечевицы 5, т.е. построить график Т₁=Т₁(r) и Т₂=Т₂(r). Пересечение этих графиков и даст искомое положение чечевицы 5.

Порядок выполнения работы и обработка результатов

Измерений

1. Подвесить маятник на призме 1.

2. Закрепить чечевицу 5 на делении 0 по шкале 6.

3. Отклонить маятник от положения равновесия на угол не более 3 ÷ 5 градусов и отпустить. С помощью секундомера измерить время t₁ пятидесяти (или ста) колебаний.

4. Перевернуть маятник на призму 2 и измерить время t₂ пятидесяти (или ста) колебаний, как в пункте 3.

5. Вновь перевернуть маятник на призму 1.

6. Передвинуть чечевицу 5 на 1, 5 см по шкале 6 и провести измерения t₁ и t₂ согласно пунктам 3, 4 и 5.

7. Повторить аналогичные измерения при перемещении чечевицы 5 через каждые 1, 5 см по всей шкале 6.

8. Результаты измерений свести в табл. 6.1.

Таблица 6.1

50 (100)

r, см

1, 5

3, 0

4, 5

6, 0

7, 5

9, 0

10, 5

12, 0

13, 5

15, 0

16, 5

t₁, с

t₂, с

9. Построить графики t₁(r) и t₂(r) на одном рисунке, откладывая по горизонтальной оси r (положение чечевицы 5 на шкале 6), а по вертикали – t₁ и t₂.

10. По точке пересечения графиков t₁(r) и t₂(r) определить время t₀=t₁=t₂ и рассчитать ускорение свободного падения по формуле

. (6.10)

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте цель работы.

2. При каких условиях колебания маятника можно считать гармоническими?

3. Что такое физический маятник?

4. Выведите формулу для периода колебаний физического маятника.

5. Что такое приведенная длина физического маятника? Как она зависит от момента инерции, массы и расстояния между точкой подвеса и центром тяжести маятника?

6. Как устроен оборотный маятник?

7. Как определяется g с помощью оборотного маятника?

8. Сделайте выводы по работе.

6.2. Определение ускорения свободного падения с помощьюмаятника универсального. (Лабораторная работа 13)

Приборы и принадлежности: установка ФМ-13 «Маятник универсальный», секундомер.

Предыдущая 1 2 3 4 5 67Следующая