Моменты инерции плоских сечений.

При расчетах на прочность, жесткость и устойчивость используются осевые и полярные моменты инерции.

Осевым моментом инерции относительно некоторой оси называют взятую по всей площади сечения А сумму произведений площадей элементарных площадок dA на квадраты их расстояний до этой оси:

Полярным моментом инерции относительно некоторой точки (полюса О) называют взятую по всей площади сечения А сумму произведений площадей элементарных площадок dA на квадраты их расстояний до этой точки

Связь между осевыми и полярным моментами инерции:

Согласно рис. r² = x² + y²

Осевые и полярный моменты инерции всегда положительны и не могут быть = 0. Они измеряются в м⁴ или в см⁴. (1 см⁴= 10^-8 м⁴)

Центробежным моментом инерции относительно некоторых двух взаимно перпендикулярных осей (xy) называют взятую по всей площади сечения А сумму произведений площадей элементарных площадок dA на их расстояния до этих осей.

Центробежный момент может быть положительным, отрицательным и равным нулю в зависимости от положения осей. Измеряется он также в м⁴ или см⁴.

Если какое-либо сечение (плоская фигура) имеет хотя бы одну ось симметрии, то центробежный момент инерции относительно оси симметрии Y и ей перпендикулярной оси X равен нулю. (трапеция)

Момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции её составных частей.

Моменты инерции простых сечений

Прямоугольник:

Квадрат:

Круг:

Кольцо:

Моменты инерции относительно параллельных осей

Момент инерции сечения относительно любой оси равен моменту инерции относительно параллельной ей центральной оси плюс произведение площади сечения на квадрат расстояния между осями.

I_x1=I_x+a²·A I_y1=I_y+b²·A

Центробежный момент инерции относительно параллельных осей:

I_x₁_y₁=I_xy+ab× A , где a и b – координаты в осях XY

Оси, относительно которых моменты инерции сечения имеют экстремальные значения, а центробежный момент инерции I_xy = 0 называются главными осями инерции сечения.

Если главные оси проходят через центр тяжести сечения, то они называются главными центральными осями инерции сечения.

Кручение

Кручение – вид деформации, при котором поперечные сечения бруса взаимно поворачиваются под влиянием моментов, действующих в этих сечениях. Продольная ось бруса при этом остается прямой.

При работе стержня, бруса на кручение в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент T.

Работающий на кручение стержень, брус называют валом.

Определение крутящего момента в поперечном сечении вала

При равномерном вращении сумма внешних крутящих моментов, действующих на вал, равна 0. ( å М_i = 0)

Крутящий момент в любом сечении вала определяют методом сечений через внешние крутящие моменты.

Крутящий момент Т в произвольном поперечном сечении вала численно равен сумме внешних моментов, приложенных по одну сторону от рассматривае-мого поперечного сечения. Т=Σ M_z

Другими словами внутренние силы, возникающие в поперечном сечении бруса, должны дать момент, уравновешивающий внешние крутящие моменты, приложенные к оставленной части.

Правило знаков: Крутящий момент в сечении считается положительным, когда внешний момент вращает отсеченную часть против часовой стрелки, если смотреть на отсеченную часть со стороны сечения.

Если же внешний момент вращает отсеченную часть по часовой стрелке (при взгляде со стороны сечения), то крутящий момент в сечений будет отрицательным.

Если на вал действует несколько крутящих моментов, то для определения наиболее нагруженного участка вала строят эпюры крутящих моментов.

На каждом участке крутящий момент Т имеет постоянное значение. Эпюра крутящих моментов на участке – прямая параллельная оси абсцисс. При переходе границы участка эпюра крутящих моментов делает скачок на величину внешнего момента, приложенного в этом сечении.

Расчёт вала на прочность

При кручении бруса во всех поперечных сечениях возникают только касательные напряжения.

Для расчета на прочность (жесткость), также как и при растяжении (сжатии) бруса, надо найти его опасное сечение. В случае, если размеры поперечного сечения по длине бруса постоянны, опасными будут сечения, в которых крутящих момент максимален.

Касательное напряжение в " точке поперечного сечения:

где Т – внутренний крутящий момент, I_r – полярный момент инерции всего сечения,

r – радиус-вектор (расстояние) от центра сечения до рассматриваемой точки.

I_r и Т не зависят от того насколько точка удалена от центра сечения и постоянны для " точки сечения.

Наибольшего значения касательное напряжение достигает в точках контура поперечного сечения, т. е. при ρ _max = r = d/2

Так как наиболее важно именно максимальное напряжение, то обозначили , где W_r – полярный момент сопротивления (в общем случае – момент сопротивления при кручении). Тогда

Если поперечное сечение вала – круг:

Если поперечное сечение вала – кольцо:

Условие статической прочности вала при кручении:

используется при проверочном расчете.

При проектном расчете:

1 23	Поделиться: