Момент инерции. Твердое тело в механике

1. Определить момент инерции правильного шестиугольника (R – сторона шестиугольника), в вершинах которого и в центре расположены точечные массы m относительно оси, перпендикулярной плоскости чертежа и проходящей через точку О.

2. Однородный металлический прут массой m и длиной l согнули в середине под прямым углом. Рассчитайте момент инерции полученного уголка относительно оси, перпендикулярной плоскости, в которой он лежит и проходящей через один из концов.

3. Рассчитайте момент инерции рамки из однородной проволоки в форме равностороннего треугольника относительно оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через середину одной из сторон. Масса рамки равна m, длина стороны – l.

4. Человек стоит на скамье Жуковского и ловит рукой мяч массой m = 0, 4 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью υ = 20 м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии r = 0, 8 м от вертикальной оси вращения скамьи. С какой угловой скоростью ω начнет вращаться скамья Жуковского с человеком, поймавшим мяч, если суммарный момент инерции J человека и скамьи равен 6 кг·м².

5. На скамейке Жуковского стоит человек и держит в руках стержень, расположенный вертикально по оси вращения. Скамейка с человеком вращается с угловой скоростью ω ₁ = 1 рад/с. С какой угловой скоростью ω ₂ будет вращаться скамейка с человеком, если повернуть стержень так, чтобы он занял горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамейки J = 6 кг·м². Длина стержня L = 2, 4 м, его масса m = 8 кг. Считать, что центр тяжести стержня с человеком находится на оси платформы.

6. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться вокруг вертикальной оси без трения. На какой угол повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и обойдя ее, вернется на то же место платформы. Масса платформы 240 кг, масса человека – 60 кг.

7. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом 4 м, стоит человек массой 80 кг. Масса платформы равна 240 кг и она может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. С какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек будет идти по ее краю со скоростью 2 м/с относительно нее?

8. К ободу однородного сплошного диска радиусом R=0, 5 м приложена постоянная касательная сила F=100 Н. При вращении диска на него действует постоянный момент сил трения М_тр=2 Н^.м. Определить массу диска, если известно, что его угловое ускорение постоянно и равно 16 рад/с².

9. Вал в виде сплошного цилиндра массой насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой . С каким ускорением а будет опускаться гиря, если её предоставить самой себе?

10. На барабан радиусом R = 20 см, момент инерции которого J = 0, 1 кг·м², намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 0, 5кг. Найти ускорение груза.

11. На барабан радиусом R = 0, 2 м, момент инерции которого I = 0, 1 кг·м², намотан шнур, к которому привязан груз массой m = 0, 5 кг. До начала вращения высота груза над полом h = 1м. Найти кинетическую энергию груза в момент удара о пол.

12. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 20 см, момент инерции которого J = 0, 15 кг·м², намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m = 0, 5 кг. До начала вращения барабана высота h груза над полом составляла 2, 3 м. Определить: 1) время опускания груза до пола; 2) силу натяжения нити; 3) кинетическую энергию груза в момент удара о пол.

13. Две гири с массами m₁ = 2 кг и m₂ = 1 кг соединены нитью, перекинутой через блок массой m = 1 кг. Найти ускорение а, с которым движутся гири. Блок считать однородным диском. Трением пренебречь.

14. Блок массой m = 1 кг укреплен на конце стола. Гири 1 и 2 одинаковой массы m₁= m₂= 1 кг соединены нитью, перекинутой через блок. Гиря 2 находится на поверхности стола, а гиря 1 свешивается со стола. Коэффициент трения гири 2 о стол μ = 0, 1. Найти ускорение, с которым движутся гири, и силы натяжения Т₁ и Т₂ нитей. Блок считать однородным диском. Трением в блоке пренебречь.

15. Грузы массами 1 кг и 2 кг, привязаны к концам нити, перекинутой через блок в виде однородного диска массой 3 кг. Пренебрегая массой и растяжением нити, а также трением блока, найти изменение высоты грузов за вторую секунду после начала их движения.

16. На наклонной плоскости находится груз m₁ = 5 кг, связанный нитью, перекинутой через блок, с другим грузом m₂ = 2 кг. Коэффициент трения между первым грузом и плоскостью k = 0, 1; угол наклона плоскости к горизонту α = 37º. Определить ускорения грузов. При каких значениях m₂ система будет находиться в равновесии?

17. Маховик начинает вращаться из состояния покоя с постоянным угловым ускорением ε = 0, 4 рад/с². Определить кинетическую энергию маховика через время t₂= 25 с после начала движения, если через t₁= 10 с после начала движения момент импульса L₁ маховика составлял 60 кг·м²/с.

18. Маховичок, момент инерции J которого равен 40 кг·м², начал вращаться из состояния покоя под действием момента силы М = 20 Н·м. Вращение продолжалось в течение t = 10 с. Определить кинетическую энергию Е_к, приобретенную маховичком.

19. Найти скорости υ движения центров масс шара, диска и полого цилиндра, скатившихся без скольжения с наклонной плоскости высотой h = 0, 5 м.

20. Однородный шар скатывается без скольжения с плоскости, наклоненной под углом 15⁰ к горизонту. За какое время он пройдет путь 2 м и какой будет его скорость в конце пути.

21. Пуля массой m = 10 г летит со скоростью 800 м/с, вращаясь около продольной оси с частотой ν = 3000 об/с. Принимая пулю за цилиндрик диаметра d = 8 мм, определить кинетическую энергию пули.

22. Карандаш, поставленный вертикально, падает на стол. Какую угловую и линейную скорости будет иметь в конце падения: 1) середина карандаша; 2) верхний конец? Длина карандаша 15 см. Какой импульс получит стол, если масса карандаша 50 г?

23. Шест длиной 2 м и массой 8 кг падает из вертикального положения на землю. Определить момент импульса шеста относительно точки опоры в момент удара о землю.

24. Шест длиной 2 м и массой 8 кг падает из вертикального положения на землю, так что нижний конец шеста не проскальзывает. Определить модуль момента импульса шеста относительно точки опоры и линейную скорость верхнего конца шеста в момент удара о землю.

25. Однородный шест длиной 3 м и массой 6 кг упал из вертикального положения на горизонтальную поверхность и остался на ней. Нижний конец шеста не двигался. Какой импульс передал шест поверхности?

26. Однородный стержень длиной l = 1 м подвешен на горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. Какую линейную скорость будет иметь нижний конец стержня в момент прохождения равновесного положения, если его отклонить на угол 60° от равновесного положения и отпустить?

27. Однородный стержень длины 1 м подвешен на горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. На какой угол надо отклонить стержень, чтобы при прохождении равновесного положения его нижний конец имел скорость 5 м/c?

28. Однородный шар скатывается без скольжения с плоскости, наклоненной под углом 15⁰ к горизонту. За какое время он пройдет путь 2 м и какой будет его скорость в конце пути?

29. Вентилятор вращается со скоростью, соответствующей 900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки 75 оборотов. Работа сил торможения равна 44, 4 Дж. Найти: 1) момент инерции вентилятора, 2) момент силы торможения.

30. Шарик массой m=50 г, привязанный к концу нити длиной L₁=1 м, вращается с частотой n₁= 1 об/с, опираясь на горизонтальную плоскость. Нить укорачивается, приближая шарик к оси вращения до расстояния L₂=0, 5 м. С какой частотой n₂ будет при этом вращаться шарик? Какую работу А совершает внешняя сила, укорачивая нить? Трением шарика о плоскость пренебречь.

31. Полый тонкостенный цилиндр массой m = 0, 5 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стену и отталкивается от нее. Скорость цилиндра до удара о стену v₁= 1, 4 м/с, после удара v₁^/ = 1 м/с. Определить выделившееся при ударе количество теплоты Q.

32. Какую работу надо совершить в течение t = 1 мин, чтобы увеличить частоту вращения маховика массой m = 0, 5 кг, имеющего форму диска диаметром D = 1, 5 м от ν ₀ = 0 до ν = 50 об/с, если к ободу маховика приложена касательная сила трения F_тр = 1 Н?

Механические колебания и волны

1. Материальная точка массой m = 5 г совершает гармоническое колебание с частотой ν = 5 Гц. Амплитуда колебаний А = 3 см. Определить максимальную силу F, действующую на точку, и полную энергию Е колеблющейся точки.

2. Частица массой m = 0, 01 кг совершает гармонические колебания с периодом Т = 2 с. Полная энергия колеблющейся частицы Е = 0, 1 мДж. Определить амплитуду А колебания и наибольшее значение силы F_max, действующей на частицу.

3. Полная энергия тела, совершающего гармоническое колебательное движение, равна 30 мкДж, максимальная сила, действующая на тело, равна 1, 5 мН. Чему равно смещение тела от положения равновесия через 1, 25 периода колебаний, если в начальный момент оно составляло 2 см.

4. Для определения ускорения а, с которым поднимается вертикально вверх ракета, в нее был помещен математический маятник длиной l, который при взлете совершил N полных колебаний за время t. Найти ускорение ракеты.

5. Математический маятник длиной 40 см и тонкий однородный стержень длиной 60 см совершают синхронные малые колебания вокруг горизонтальной оси. Найти расстояние от центра стержня до этой оси.

6. Диск радиусом R = 24 см колеблется относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Определить период колебаний диска.

7. Уравнение колебаний физического маятника массой 0, 2 кг и моментом инерции 0, 4 кг·м² имеет вид м. Определить расстояние от центра масс до точки подвеса маятника.

8. На гвозде, вбитом в стену, в положении устойчивого равновесия висит квадратная рамка со стороной 20 см, сделанная из однородной тонкой проволоки. С каким периодом будут происходить её колебания после небольшого толчка?

9. Найти период вертикальных колебаний цилиндрического поплавка в воде, если в равновесом состоянии он погружен на 4 см.

10. Деревянный кубик плавает в воде, погрузившись в нее на 5 см. Слегка надавив на кубик, можно заставить его совершать колебания. С каким периодом они будут происходить? Сопротивлением воды можно пренебречь, ее плотность равна 1000 кг/м³.

11. Чему равен период колебаний деревянного кубика, плавающего в воде, если в равновесии он погружен в воду на 3/4. Плотность воды 10³ кг/м³, длина ребра кубика 10 см.

12. Найти амплитуду А гармонического колебания, полученного сложением одинаково направленных колебаний, данных уравнениями , м и , м.

13. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за время t = 1 мин уменьшилась вдвое. Во сколько раз уменьшится амплитуда за t = 3 мин?

14. Амплитуда затухающих колебаний маятника за время t₁ = 1 мин уменьшилась втрое. Во сколько раз уменьшится амплитуда за время t = 5 мин?

15. Начальная амплитуда затухающих колебаний маятника А₀ = 3 см. Через t₁ = 10 с амплитуда стала А₁ = 1 см. Через какое время амплитуда станет равной А₂ = 0, 3 см.

16. Чему равен логарифмический декремент затухания математического маятника длиной 1 м, если за 1 минуту амплитуда колебаний уменьшилась в 2 раза?

17. Найти логарифмический декремент затухания λ математического маятника, если за время t = 2 мин амплитуда колебаний уменьшилась в 4 раза. Длина маятника l = 1 м.

18. Математический маятник совершает затухающие колебания. Логарифмический декремент затухания λ = 0, 01. За время t = 100 с амплитуда колебаний уменьшилась в 10 раз. Найти период затухающих колебаний.

19. Логарифмический декремент затухания колебаний маятника λ = 0, 001. Определить число N полных колебаний, которое должен сделать маятник, чтобы амплитуда уменьшилась в 3 раза.

20. К пружине подвесили груз, в результате чего она удлинилась на х = 9 см. Каков будет период колебаний Т груза, если его немного оттянуть вниз и затем отпустить? Логарифмический декремент затухания λ = 0, 3.

21. Сколько полных колебаний совершит гармонический осциллятор за время, в течение которого его энергияпосле начала колебаний уменьшится в 10 раз, если логарифмический декремент затухания λ = 0, 03.

22. Тело массой m = 10 г совершает затухающие колебания. В течение времени t = 50 с оно потеряло 40% своей энергии. Определить коэффициент сопротивления r.

23. Тело массой m = 5 г совершает затухающие колебания. В течение времени t = 50 с тело потеряло 60% своей энергии. Определить коэффициент сопротивления r.

24. Тело массой m = 10 г совершает затухающие колебания. В течение времени t = 50 с оно потеряло 40% своей энергии. Определить коэффициент сопротивления r.

25. Гиря массой 500 г подвешена к спиральной пружине жесткостью 20 Н/м и совершает затухающие колебания с логарифмическим декрементом 0, 004. Сколько колебаний должна совершить гиря, чтобы амплитуда колебаний уменьшилась в два раза?

26. Найти добротность математического маятника с длиной нити 20 см, у которого за 7 минут полная механическая энергия уменьшилась в 128 раз.

27. Складываются два гармонических колебания одного направления, описываемые уравнениями (см) и (см). Определите для результирующего колебания: 1) амплитуду; 2) начальную фазу. Запишите уравнение результирующего колебания и представьте векторную диаграмму сложения амплитуд.

28. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью υ = 10 м/с. Амплитуда колебаний точек шнура А = 5 см, а период колебаний Т = 1 с. Запишите уравнение волны и определите:

1) длину волны; 2) фазу колебаний, смещение, скорость и ускорение точки, расположенной на расстоянии х₁= 9 м от источника колебаний в момент времени t = 2, 5 с.

29. Уравнение незатухающих колебаний имеет вид x = sin 2, 5 t, см. Найти смещение x от положения равновесия, скорость v и ускорение a точки, находящейся на расстоянии l = 20 м от источника колебаний в момент времени t = 5 с. Скорость распространения колебаний u = 100м/с.

30. Уравнение незатухающих колебаний имеет вид , см. Найти смещение из положения равновесия точки, находящейся на расстоянии l = 75 см от источника колебаний, в момент времени t = 0, 01 с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний равна с = 300 м/с.

31. Смещение от положения равновесия точки, отстоящей от источника колебаний на расстоянии l = 4 см, в момент времени t = равно половине амплитуды. Найти длину λ бегущей волны.

1 2 345