Изучение свободных колебаний пружинного маятника

Принадлежности: пружинный маятник, укрепленный на штативе, линейка, секундомер, грузы, стакан с водой.

Краткая теория. Колебаниями называются процессы, обладающие свойством повторяемости. Например, качания маятника часов, качелей, колебания струны и др. В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания механические, электромагнитные, электромеханические и т.д.

В зависимости от характера воздействий, оказываемого на колеблющуюся систему, различают свободные (или собственные), вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.

Свободными называются колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как она однажды была выведена из положения равновесия. Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити (маятник). Вынужденными называются такие колебания, которые поддерживаются воздействием внешней периодически изменяющейся силы. Например, колебания моста, возникающие при прохождении по нему группы людей, шагающих в ногу. Автоколебания также сопровождаются воздействием внешних сил, однако, моменты времени, когда осуществляются эти воздействия, задаются самой колеблющейся системой (система сама управляет внешним воздействием). Примером автоколебательной системы являются часы, в которых маятник получает толчки за счет энергии закрученной пружины, причем эти толчки происходят в моменты прохождения маятника через среднее положение. При параметрических колебаниях за счет внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы.

Простейшими являются гармонические колебания. Различают свободные незатухающие и затухающие колебания, хотя, строго говоря, незатухающих колебаний в природе не бывает. Свободные незатухающие колебания можно рассмотреть на примере системы, состоящей из шарика массы , укрепленного на пружине. Для простоты рассуждений пружину расположим горизонтально на стержне (рис. 1, стержень не показан). Будем считать, что вся масса пружины сосредоточена в шарике, сила трения отсутствует.

Рис. 1

Если пружину вывести из состояния равновесия (точка ), например, растянуть и затем отпустить, то система придет в движение и будет совершать колебания вдоль координаты относительно точки . В отсутствие сил трения на шарик действуют сила тяжести , сила реакции опоры и упругая сила со стороны пружины , где – коэффициент жесткости пружины, – смещение тела от положения равновесия, – ускорение свободного падения.

Запишем уравнение движения (основной закон динамики):

(1)

В проекции на ось уравнение (1) имеет вид:

(2)

Поскольку ускорение есть вторая производная по времени от координаты , выражение (2) можно переписать:

или

(3)

Величины и – сугубо положительные, поэтому их отношение можно представить в виде квадрата некоторого числа . Тогда уравнение (3) примет вид:

(4)

Таким образом, движение тела под действием силы упругости описывается однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Решение уравнения (4) легко находится методом подстановки[1] и имеет вид:

(5)

Выражение (5) называется уравнением колебаний.

Здесь и – постоянные величины, зависящие от начальных условий ( – амплитуда колебаний, – начальная фаза), ( ) – фаза колебаний, – циклическая частота колебаний, т.е. число колебаний за секунд.

Уравнение (5) показывает, что смещение изменяется со временем по гармоническому закону, следовательно, движение системы представляет собой гармоническое колебание.

Собственная частота колебаний зависит, как видно, от параметров колеблющейся системы: от массы и коэффициента упругости пружины. Период собственных колебаний (время одного полного колебания) равен:

(6)

Связь между линейной частотой (число колебаний за единицу времени) и периодом очевидна:

График гармонического незатухающего колебания показан на рис. 2. По горизонтали отложено время , по вертикальной оси – смещение .

Рис. 2

Так как косинус изменяется от –1 до +1, значения лежат в пределах от до . Этот интервал называется размахом колебаний.

Затухающие колебания. Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, амплитуда колебаний будет уменьшаться и колебания затухнут.

Рассматривая свободные затухающие колебания, ограничимся случаем малых колебаний: при этом скорость системы будет малой. Известно, что при небольших скоростях сила вязкого трения (сопротивления) пропорциональна величине скорости :

(7)

где – коэффициент сопротивления среды. Знак минус обусловлен тем, что и имеют противоположные направления.

Уравнение движения маятника (второй закон Ньютона) с учетом силы трения в проекции на ось имеет вид:

Введя обозначения и и перенеся все слагаемые влево от знака равенства, получим дифференциальное уравнение второго порядка:

(8)

Решением уравнения (8) является выражение:

(9)

В соответствии с видом функции (9) движение системы можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой и амплитудой, изменяющейся по экспоненциальному закону, . Величина представляет собой амплитуду в момент времени (начало колебаний). Начальное смещение зависит от величины и от начальной фазы : .

График уравнения (9) представлен на рис. 3. Штриховыми линиями отмечены пределы, в которых изменяется смещение колеблющейся точки.

Скорость затухания колебаний определяется величиной которую называют коэффициентом затухания. Время , за которое амплитуда уменьшается в раз, находится из условия . Таким образом, по величине коэффициент затухания обратно пропорционален тому промежутку времени, за который амплитуда уменьшается в раз. Время колебаний называется временем релаксации или временем жизни колебаний.

Рис. 3

Период затухающих колебаний зависит не только от собственной частоты , но и от коэффициента затухания :

При незначительном сопротивлении среды, когда , период колебаний практически равен периоду свободных незатухающих колебаний . С увеличением коэффициента затухания период колебаний увеличивается.

Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно:

Это отношение называется декрементом затухания, а его логарифм – логарифмическим декрементом затухания:

(10)

Формула (10) обычно используется для характеристики затухания колебаний. Выразив через и , можно записать закон убывания амплитуды в виде

Рис. 4

Пусть за время амплитуда колебаний уменьшится в раз. В течение этого времени система успеет совершить колебаний. Из условия получается, что Следовательно, по величине логарифмический декремент затухания обратно пропорционален числу колебаний, которые система совершит за время релаксации (за время, необходимое для уменьшения амплитуды в раз).

Экспериментальная установка состоит из штатива 1 (рис. 4), на кронштейне которого закреплена пружина 2. К нижнему концу пружины подвешена платформа 3 со съемными грузами 4. Верхний конец платформы снабжен указателем 5, который при смещении маятника скользит вдоль масштабной линейки 6.

Для получения быстро затухающих колебаний платформу с грузами помещают в сосуд с водой 7. Коэффициент затухания определяют из следующих соображений: при затухающих колебаниях амплитуда колебаний связана с начальной амплитудой соотношением , где – время колебаний, за которое амплитуда уменьшилась от до . Отсюда:

(11)

Порядок выполнения работы

Опыт 1. Определение коэффициента жесткости пружины.

1. Нагружая пружину поочередно грузами разной массы (5–7 значений), измерить соответствующие удлинения. Чтобы устранить возможные ошибки, связанные с начальными условиями, следует исключить из числа опытов случай, когда в качестве груза используется только платформа.

2. По данным каждого из опытов вычислить коэффициент жесткости пружины, помня, что колебания происходят под действием силы тяжести , где – удлинение пружины.

3. Найти среднее значение коэффициента, абсолютную погрешность каждого его измерения и среднее значение абсолютной погрешности. Результаты занести в таблицу 1.

4. Конечный результат представить в виде с относительной ошибкой опыта.

Опыт 2. Зависимость периода колебаний от массы маятника.

1. Нагружая пружину грузами разной массы, при помощи секундомера определить время 50 колебаний (колебания будут продолжительно устойчивыми, если начальную амплитуду задать небольшой, примерно 1, 5 см). Результаты опытов занести в таблицу 2.

2. Для каждого случая вычислить период колебаний с точностью до третьего знака.

3. Для тех же нагрузок вычислить период колебаний по формуле . Найти различие между и в процентах. Не забудьте учесть массу платформы!

4. Построить график зависимости или и сделать вывод о совпадении (или нет) опыта с теорией.

Опыт 3. Определение характеристик затухания. Тело (груз), подвешенное на пружине, поместить в сосуд с водой и вывести из состояния равновесия (при колебаниях груз не должен касаться стенок сосуда и не должен выходить на поверхность жидкости). Убедиться, что колебания носят быстро затухающий характер.

1. Задать начальное смещение см, измерить время 10 полных колебаний ( ) и амплитуду .

2. При тех же значениях и опыт повторить не менее 7 раз. Результаты занести в таблицу 3.

3. По данным измерений вычислить средние значения , и других величин, указанных в таблице 3.

4. Вывести формулу для расчета погрешностей коэффициента (см. работу № 0), рассчитать абсолютную и относительную ошибки.

5. Результаты представить в виде (ед. изм.) и (%).

Контрольные вопросы

1. Что значит " колебательное движение"? Как при этом движении изменяется энергия системы (рассказать на примере пружинного или другого маятника)?

2. Способы определения коэффициента жесткости пружины и периода колебаний маятника в работе.

3. Вывод дифференциального уравнения свободных незатухающих колебаний, его решение и анализ (амплитуда, частота, фаза и начальная фаза).

4. Что такое собственная частота системы, от чего она зависит?

5. Свободные затухающие колебания. Чем определяется коэффициент затухания? (частота и амплитуда затухающих колебаний).

6. Вывод дифференциального уравнения свободных затухающих колебаний, его решение и анализ.

7. Величины, характеризующие скорость затухания колебаний (коэффициент затухания, декремент затухания, логарифмический декремент затухания).

8. Время жизни колебаний. От чего оно зависит?

9. Что необходимо сделать, чтобы перейти к вопросу " вынужденные колебания"?

Список рекомендуемой литературы

4. Савельев И.В. Курс общей физики. М., 1977 или 1982. т. 1. Гл. 7.

5. Ландау Л.Д., Ахиезер А.И., Лифшиц Е.М. Курс общей физики. Механика и молекулярная физика. М., 1965. Гл. 4.

Таблица 1

г	см	см	см	кг/с²	кг/с²

Таблица 2

г	с	с	с	%

Таблица 3

№	см	с	Средние значения характеристик
			1, 5 см 10

Лабораторная работа № 4

Предыдущая 1 234 5 6 7 Следующая