Определение ускорения свободного падения с помощью физического маятника

Принадлежности: физический маятник, секундомер, линейка.

Краткая теория. Физическим маятником называется твердое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с его центром тяжести (рис.1). В положении равновесия центр тяжести маятника находится на одной вертикали с точкой подвеса и центром качаний .

При отклонении маятника от положения равновесия на некоторый угол возникает момент силы, который стремится вернуть маятник в положение равновесия. По определению момент силы есть векторное произведение радиус-вектора на вектор приложенной к телу силы :

В нашем случае в отсутствие силы сопротивления на маятник действует только сила тяжести (есть еще сила реакции опоры, вектор которой направлен из точки вверх, однако момент этой силы относительно оси равен нулю). По величине радиус-вектор равен расстоянию от точки подвеса маятника до точки приложения силы.

Вектор направлен вдоль оси вращения маятника перпендикулярно векторам и (на рис. 1 ось вращения направлена " от нас" ). Вдоль этой же оси направлен и вектор углового ускорения маятника (а также векторы угловой скорости и углового перемещения φ ). При этом в любой момент времени векторы φ и направлены в противоположные стороны.

Основной закон динамики вращательного движения твердого тела (2-ой закон Ньютона) имеет вид:

(1)

Здесь – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса.

Проектируя уравнение (1) на ось вращения маятника, и учитывая, что модуль вектора момента силы равен , получим:

(2)

(знак минус появляется за счет того, что векторы и имеют строго противоположные направления).

С учетом того, что , а в случае малых колебаний , уравнение (2) можно переписать в виде:

(3)

Уравнение (3) переходит в дифференциальное уравнение свободных колебаний:

(4)

решением[2] которого является выражение

(5)

Здесь – амплитуда колебаний, – начальная фаза колебаний, – собственная частота физического маятника, равная

Период собственных колебаний равен:

(6)

Зная период колебаний физического маятника, легко получить выражение для периода колебаний математического маятника.

Математическим маятником называется обладающая массой материальная точка, подвешенная на нерастяжимой нити, другой конец которой закреплен неподвижно. Близким к математическому маятнику является тяжелый шарик, подвешенный на длинной нити.

Момент инерции математического маятника относительно точки подвеса равен . Подставив это выражение в (6), получим:

(7)

Из сравнения (6) и (7) следует, что математический маятник, длина нити которого равна

(8)

будет иметь такой же период колебаний, что и данный физический маятник. Выражение (8) называют приведенной длиной физического маятника.

Ускорение свободного падения можно найти из (7):

(9)

Для вычисления необходимо измерить период колебаний и приведенную длину физического маятника . Период колебаний легко найти по времени , в течение которого будут совершены полных колебаний.

Приведенную длину можно найти из следующих соображений. Согласно теореме Штейнера (теорема о параллельном переносе осей) момент инерции маятника относительно точки подвеса может быть представлен в виде:

(10)

где – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр тяжести, – расстояние между параллельными осями (здесь – расстояние между центром тяжести и точкой подвеса).

Момент инерции

(11)

где – радиус инерции маятника.

Подставив (10) и (11) в формулу (6), получим:

(12)

Период колебаний физического маятника, как видно из (12), будет бесконечно большим в двух случаях: и . При этом график зависимости состоит из двух ветвей – падающей и нарастающей (рис. 2). Каждой половине маятника, начиная от центра тяжести, соответствует свой график (двум половинам – два графика).

Наименьшее значение периода получается при . В этом легко убедиться, если найти минимум функции, являющейся приведенной длиной маятника . Величину можно найти из условия, что для однородного стержня длиной и массой момент инерции равен , откуда .

Видно, что точки с минимальным значением периода колебаний находятся на расстоянии от центра тяжести стержня.

Равные периоды колебаний наблюдаются при двух значениях : – на падающей ветви, и – на возрастающей. Приравнивая периоды для этих точек

получим равенство:

(13)

Подставляя (13) в (12), получим выражение для приведенной длины физического маятника:

(14)

Чтобы отыскать приведенную длину маятника, следует найти расстояние между точками, асимметричными относительно центра тяжести и соответствующими одинаковым периодам колебаний. На рис. 2 такими точками являются и , и .

Приведенной длиной физического маятника при постоянном периоде колебаний является длина прямых или . Любая другая прямая, параллельная оси абсцисс, будет соответствовать другому значению периода колебаний и даст другую приведенную длину физического маятника. Можно найти приведенную длину маятника и по одной половине графика – по сумме расстояний и .

Рис. 2

Таким образом, из графика можно определить приведенную длину маятника для различных периодов. Зная и , по формуле (9) можно вычислить ускорение силы тяжести.

В нашем случае физический маятник представляет собой плоский стержень с отверстиями вдоль широкой стороны. Большое количество отверстий позволяет менять точки подвеса .

Порядок выполнения работы

1. Последовательно для каждой точки подвеса одной половины маятника определить время 20 полных колебаний.

2. Рассчитать период колебаний для этих точек. Результаты занести в таблицу 1.

3. Балансированием маятника на стержне для подвеса найти положение центра тяжести. Измерить расстояние между каждой точкой подвеса и центром тяжести.

4. Построить график зависимости от (см. рис. 2). При этом масштаб выбрать так, чтобы обе ветви графика занимали основную часть листка миллиметровки.

5. Из графика для пяти заданных преподавателем значений найти приведенную длину и по формуле (9) вычислить ускорение силы тяжести.

6. Вычислить среднее значение ускорения, абсолютную погрешность отдельного измерения, среднее значение погрешности. Результаты измерений и вычислений занести в таблицу 2.

7. Вычислить относительную погрешность.

8. Результаты представить в виде с указанием размерности и ошибки эксперимента (%).

Таблица 1 Таблица 2

№ п/п	t, c	T, c	a, см	№ п/п	T, c	l, см	g, см/c²	Δ g, см/c²

…				…

Примечание: Чтобы выполнялось условие , при котором получено дифференциальное уравнение свободных колебаний, начальное отклонение маятника от положения равновесия должно быть небольшим, не более 4 градусов.

Контрольные вопросы

1. Записать моменты инерции, силы, импульса по определению. На конкретном примере показать направление векторов и .

2. Записать основной закон динамики вращательного движения твердого тела. Показать направление вектора углового ускорения на рис. 1.

3. Что такое физический маятник, математический?

4. Вывод дифференциального уравнения движения физического маятника, его решение.

5. Дифференциальное уравнение движения математического маятника. Вывод и решение уравнения с использованием законов поступательного или вращательного движения.

6. Понятие собственной частоты и периода физического маятника. Собственная частота и период математического маятника.

7. Что такое приведенная длина физического маятника? Зависит ли период колебаний от приведенной длины?

8. Как находится приведенная длина физического маятника в данной работе? Вывод.

9. Доказательство теоремы о параллельном переносе осей инерции (теорема Штейнера).

Список рекомендуемой литературы

6. Савельев И.В. Курс общей физики. М., 1977, 1982. т. 1, гл. 7.

7. Ландау Л.Д., Ахиезер А.И., Лифшиц Е.М. Курс общей физики. Механика и молекулярная физика. М., 1965. Главы 3 и 4.

8. Рымкевич П.А. Курс физики. М., 1975. Главы 3 и 25.

Лабораторная работа № 5

Предыдущая 1 2 345 6 7 Следующая