ИМПУЛЬС ТЕЛА. ИМПУЛЬС СИЛЫ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА.

Импульсом (или количеством движения) материальной точки (тела) называется произведение его массы на скорость

. (32)

Импульс системы тел складывается из импульсов тел, входящих в эту систему

Импульсом силы называется произведение силы на время ее действия

. (33)

Скорость изменения импульса системы тел равна сумме внешних сил, действующих на эту систему

Отсюда следует, что изменение импульса системы тел равно интегралу от суммы сил по времени

. (34)

Для постоянных, не зависящих от времени сил, выражение (34) упрощается

. (35)

Из (34) следует, что, если , то , т.е. импульс системы тел не изменяется, если сумма внешних сил, действующих на эту систему, равна нулю.

Если сумма внешних сил, действующих на систему тел, равна нулю, то система называется замкнутой.

Закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы тел сохраняется.

ЦЕНТР МАСС. ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС.

Центром масс системы материальных точек называется точка , радиус-вектор которой определяется из соотношения

, (36)

и - масса и радиус-вектор той точки, - масса системы.

Соответственно координаты центра масс равны

, и . (37)

Для сплошного тела массой координаты его центра масс

, , , (38)

- элемент массы тела, - координаты этого элемента.

Закон движения центра масс: произведение массы системы на ускорение центра масс равно сумме внешних сил, действующих на эту систему

. (39)

ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА.

1. Момент силы.

Вращающее действие силы определяется ее моментом. Моментом силы относительно какой-либо точки называется векторное произведение

, (40)

- радиус-вектор, проведенный из точки в точку приложения силы (рис.5). Единица измерения момента силы .

Величина момента силы

или можно записать

, (41)

где - плечо силы ( кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы).

Рис.5.

Момент силы относительно какой-либо точки равен нулю, если линия действия силы проходит через эту точку.

Проекция вектора на какую-либо ось, например, ось z, называется моментом силы относительно этой оси. Чтобы определить момент силы относительно оси, сначала проецируют силу на плоскость, перпендикулярную оси (рис.6), а затем находят момент этой проекции относительно точки пересечения оси с перпендикулярной ей плоскостью. Если линия действия силы параллельна оси, или пересекает ее, то момент силы относительно этой оси равен нулю.

Рис.6.

Момент инерции тела.

Моментом инерции тела относительно какой-либо оси z называется сумма произведений масс точек этого тела на квадраты расстояний от этих точек до оси

, (42)

- масса -той точки, - кратчайшее расстояние от -той точки до оси z.

Для сплошных тел момент инерции определяется через интеграл

, (43)

- расстояние от элемента массы тела до оси z.

Моменты инерции однородных тел простой геометрической формы обычно рассчитывают по формуле (43), а сложной определяют экспериментально. В таблице 1 приведены моменты инерции некоторых тел.

Теорема Штейнера. Если для какого-либо тела известен его момент инерции относительно оси , проходящей через центр масс тела, то момент инерции этого тела относительно оси , параллельной , равен

, (44)

- масса тела, - кратчайшее расстояние между осями и .

Основной закон динамики вращательного движения.

Для тела, вращающегося вокруг оси z,

, (45)

- момент инерции тела относительно оси вращения z, - угловое ускорение тела, - сумма моментов сил, приложенных к телу, и рассчитанных относительно оси вращения, - индекс суммирования. Уравнение (45) представляет собой основной закон динамики вращательного движения.

Условия равновесия тел.

Из 2-го закона Ньютона и основного уравнения динамики вращательного движения следуют условия равновесия тел: для покоящегося тела

1) сумма действующих на тело сил должна быть равной нулю,

или, если использовать проекции сил, то

и ; (46)

2) сумма моментов сил относительно любой точки тела должна быть равна нулю

. (47)

Таблица 1. Моменты инерции некоторых тел.

4. Момент импульса .

Моментом импульсаматериальной точки массой , движущейся со скоростью , относительно какой-либо точки отсчета , называют векторное произведение

- радиус-вектор материальной точки (рис.7), - ее импульс.

Рис.7.

Величина момента импульса материальной точки

, (48)

где -кратчайшее расстояние от линии вектора до точки .

Для вращающегося тела момент импульса относительно оси вращения

равен

, (49)

- момент инерции тела относительно оси и - его угловая скорость.

Скорость изменения момента импульса системы тел равна сумме моментов сил, приложенных к этой системе

Тогда

. (50)

Если моменты сил постоянны, то уравнение (50) можно записать в виде

, (51)

т.е. изменение момента импульса системы тел относительно какой-либо оси равно сумме моментов сил, действующих на эту систему, умноженной на время .

Отсюда следует закон сохранения момента импульса: момент импульса системы тел относительно оси сохраняется, если сумма моментов сил , действующих на эту систему, равна нулю.

РАБОТА И ЭНЕРГИЯ.

Работа силы.

Работа , выполняемая силой при малом перемещении тела, определяется следующим образом

, (52)

или

,

- угол между направлениями силы и перемещения. Если сила перпендикулярна перемещению , т.е. , то работа силой не совершается, т.к. .

Полная работа на пути

. (53)

Если тело движется прямолинейно и действующая на тело сила постоянна, то есть и не меняются, то работа силы на пути равна

. (54)

Единица измерения работы Дж (Джоуль).

· Работу силы тяжести можно подсчитать по упрощенной формуле

, (55)

- величина перемещения тела вдоль действия силы тяжести, « » выбирается при движении тела вниз, «-» - при движении тела вверх.

· Работа силы упругости равна

, (56)

- коэффициент упругости пружины, и - ее начальная и конечная деформации.

Силы, работа которых не зависит от траектории движения тела, а определяется его начальным и конечным положением, называются консервативными. В механике к таким силам относятся сила тяжести и сила упругости .

Мощность представляет собой работу, произведенную в единицу времени, т.е.

, (57)

где - работа, совершенная за время . Единицей измерения мощности является Ватт (Вт).

Работа момента силы.

При вращении, когда тело поворачивается на малый угол , момент силы совершает работу

. (58)

При повороте на угол работа равна

.

Если момент силы не зависит от угла поворота, то

. (59)

Механическая энергия.

Энергия является мерой способности тел совершать работу. Механическая энергия складывается из кинетической и потенциальной. Первая обусловлена движением тела, вторая - видом сил, действующих на тело и положением тела в пространстве.

Для материальной точки и поступательно движущегося тела кинетическая энергия равна

, (60)

для вращающегося телаона представляет собой сумму кинетических энергий отдельных точек тела

В итоге, для вращающегося тела,

. (61)

- момент инерции тела относительно оси вращения, - его угловая скорость.

Потенциальной энергией обладают тела, находящиеся под действием консервативных сил. Если тело перемещается консервативными силами из точки 1 в точку 2, то изменение потенциальной энергии тела определяется как работа этих сил

. (62)

Из (62) можно найти только изменение потенциальной энергии, ее величина может быть определена лишь с точностью до постоянного слагаемого. Поэтому начало отсчета потенциальной энергии может быть выбрано произвольно.

Консервативная сила по величине равна скорости изменения потенциальной энергии в направлении действия силы,

. (63)

Знак минус в уравнении (63) отражает тот факт, что консервативная сила всегда направлена в сторону убыли потенциальной энергии.

Если тело находится под действием силы тяжести, его потенциальная энергия

, (64)

- высота расположения тела над уровнем отсчета.

Если на тело действует сила упругости, его потенциальная энергия

, (65)

- величина деформации пружины.

1 234 5