ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА МЕТОДОМ ИЗГИБА

Цель работы – изучение упругих деформаций различных материалов.

Теоретическая часть

Деформация сдвига

Рис. 31.

Возьмем куб из однородного и изотропного вещества. Приложим к противоположным граням его AD и ВС равные и противоположно направленные касательные силы (рис. 31, а). Рассматриваемая деформация состоит в том, что все слои куба параллельные основанию AD, сдвигаются в одном и том же направлении, параллельном основанию. Поэтому такая деформация называется сдвигом. Величина сдвига пропорциональна расстоянию сдвигаемого слоя от основания AD. Угол γ между гранью АВ до деформации и той же гранью АВ' после деформации называется углом сдвига (рис. 31, б). В данном случае, предполагая, что угол γ мал (γ < < 1), для деформации сдвига можно записать закон Гука в виде

где τ – касательное напряжение, действующее на гранях куба. Постоянная G называется модулем сдвига и зависит от материала, из которого изготовлен куб.

Найдем выражение для плотности упругой энергии при деформации сдвига. Закрепив неподвижно основание AD (рис. 31, б), будем производить сдвиг квазистатически. Тогда вся работа, затрачиваемая на сдвиг, пойдет на увеличение упругой энергии тела. Совершаемая работа равна , где Δ х – смещение грани ВС при сдвиге, а S – площадь этой грани. Если а – длина ребра куба, то Δ х = аγ , а потому , где V – объем куба. Таким образом, объемная плотность упругой энергии выражается формулой

Можно показать, что сдвиг эквивалентен растяжению тела в некотором направлении и сжатию в перпендикулярном направлении.

Для плотности упругой энергии при сдвиге также можно получить следующее выражение

из которого вытекает, что

Последнее выражение устанавливает связь между модулем Юнга Е, коэффициентом Пуассона μ и модулем сдвига G.

Деформация кручения

Вышеописанные деформации были однородными деформациями, т.е. такими, когда все бесконечно малые элементы тела деформированы одинаково. Деформации кручения и изгиба являются неоднородными деформациями. Это означает, что в этих случаях деформации внутри тела меняются от точки к точке.

Возьмем однородную проволоку и закрепим ее верхний конец, а к нижнему концу приложим закручивающие силы, создающие вращающий момент М относительно продольной оси проволоки. Проволока закрутится – каждый радиус нижнего основания ее повернется вокруг продольной оси на угол φ . Такая деформация называется кручением. Закон Гука для деформации кручения записывается в виде

где f – постоянная для данной проволоки величина, называемая ее модулем кручения. В отличие от описанных выше величин, характеризующих деформации, модуль кручения зависит не только от материала, но и от геометрических размеров проволоки.

Рис. 32.

Выведем выражение для модуля кручения f. Сделаем это для цилиндрической трубки радиуса r и длины l, предполагая, что толщина δ r стенки трубки очень мала по сравнению с радиусом r. Площадь основания трубки есть . Момент сил, действующий на это основание, будет , где τ – касательное напряжение в том же основании. При квазистатическом закручивании проволоки на угол φ совершается работа . Разделив ее на объем трубки , найдем плотность упругой энергии при деформации кручения

Ту же величину можно выразить иначе. Мысленно вырежем из трубки бесконечно короткую часть, изображенную на рис. 32. В результате деформации кручения бесконечно малый элемент трубки ABDC перейдет в положение A'B'DC. Это есть сдвиг. Таким образом, деформацию кручения можно рассматривать как неоднородный сдвиг. Используя выражение для плотности упругой энергии при деформации сдвига, и приравнивая ее последнему выражению, получаем

Если стенка трубки имеет конечную толщину, то модуль f найдется интегрированием последнего выражения по r. В результате получим

где r₁ – внутренний радиус трубки, а r₂ – внешний. Для сплошной проволоки радиуса r

Деформация изгиба

Рис. 33.

Рассмотрим изгиб однородного бруса (балки) произвольного поперечного сечения, которое, однако, должно оставаться постоянным на протяжении всей длины бруса. Пусть до деформации брус имел прямоугольную форму. Проведя сечения АВ И А'В', нормальные к оси бруса, мысленно вырежем из него бесконечно малый элемент АА'В'В (рис. 33, а), длину которого обозначим l. Ввиду бесконечной малости выделенного элемента можно считать, что в результате изгиба прямые АА', NN', ВВ' и все прямые, им параллельные, перейдут в окружности с центрами, лежащими на оси О, перпендикулярной к плоскости рисунка (рис. 33, б). Эта ось называется осью изгиба. Наружные волокна, лежащие выше линии NN' при изгибе удлиняются, волокна, лежащие ниже линии NN', – укорачиваются. Линия NN' остается неизменной. Эта линия называется нейтральной линией. Проходящее через нее сечение (недеформированного) бруса плоскостью, перпендикулярной к плоскости рис. 33, а, называется нейтральным сечением. Таким образом, все наружные волокна будут натянуты, все внутренние – сжаты. Пусть R – радиус кривизны нейтральной линии NN'. Тогда , где α – центральный угол, опирающийся на дугу NN'. Рассмотрим волокно бруса, находящееся на расстоянии ξ от нейтрального сечения. (Величина ξ положительна, если волокно находится выше нейтрального сечения (рис. 33, б) и отрицательна, если оно находится ниже.) Если брус не слишком толст, так что , то длина рассматриваемого волокна будет , а удлинение . Следовательно, натяжение, действующее вдоль рассматриваемого волокна, , или

Натяжение, таким образом, линейно меняется с расстоянием ξ . Ниже нейтрального сечения оно отрицательно, т.е. является давлением. Сумма сил натяжения и давления, действующих в сечении АВ, может быть и отличной от нуля. Будем считать, что сумма сил натяжения и давления, действующих в каждом нормальном сечении бруса, равна нулю. В таком случае нейтральная линия и нейтральное сечение проходят через центр тяжести поперечного сечения бруса, т.е. . Отсюда следует, что момент сил натяжения М_τ, действующих на сечение АВ, не зависит от того, относительно какой оси он берется. Для вычисления М_τ проще всего взять ось, перпендикулярную к плоскости рисунка и проходящую через точку N. Очевидно,

или

где введено обозначение

Величина I называется моментом инерции поперечного сечения бруса по аналогии с соответствующей величиной, вводимой при рассмотрении вращения тела вокруг неподвижной оси. Однако, в отличие от последней величины, имеющей размерность массы, умноженной на квадрат длины, в данном случае I есть чисто геометрическая величина с размерностью четвертой степени длины.

Экспериментальная установка

Рис. 34. Схема экспериментальной установки

Схематическое изображение экспериментальной установки, используемой в работе, приведено на рис. 34. Установка состоит из вертикальной стойки, закрепленной на массивной платформе. Платформа имеет опоры, позволяющие регулировать вертикальное расположение стойки. На стойке с помощью винтового зажима может располагаться кронштейн, на котором находятся призматические опоры 2. На эти опоры устанавливается одна из исследуемых пластин 1. На середину пластины вешается скоба 4, снабженная на конце крюком для наборного груза 5. Под действием силы тяжести подвешенного груза пластина прогибается. Величина стрелы прогиба контролируется с помощью часового индикатора 3.

Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213Следующая