ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯС ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Цель работы – изучение основных закономерностей колебательного движения математического маятника.

Идея эксперимента

В эксперименте исследуется колебательное движение груза, подвешенного на длинной нити. Соотношение его элементов таково, что этот физический маятник с достаточной степенью точности может считаться моделью математического маятника.

Теоретическая часть

Рис. 7. Математический маятник

Маятник – тело, совершающее колебательное движение под действием квазиупругой силы. Простейший маятник – массивный груз на подвесе. Если подвес нерастяжим, размеры груза пренебрежимо малы по сравнению с длиной подвеса и масса нити пренебрежимо мала по сравнению с массой груза, то груз можно рассматривать как материальную точку, находящуюся на неизменном расстоянии l от точки подвеса О. Такой маятник называется математическим.

На маятник действуют силы: натяжения нити и тяжести , которые в положении равновесия компенсируют друг друга . Для возбуждения колебаний маятник выводят из положения равновесия (рис. 7). Теперь и маятник обладает избыточной потенциальной энергией mgh по отношению к положению равновесия. Эта энергия обуславливает колебание, происходящее по окружности и описываемое основным уравнением динамики вращательного движения

, (2.1)

где – результирующий вращающий момент, – угловое ускорение, J = ml² – момент инерции шарика относительно оси ОО^¢, проходящей через точку подвеса О, перпендикулярно плоскости колебаний (плоскости чертежа). Результирующий момент силы натяжения нити и силы тяжести равен

. (2.2)

Тогда

. (2.3)

Векторы направлены по оси вращения.

Спроецируем выражение (2.3) на ось ОО^¢. Примем за положительное направление оси направление вектора – вектора, направленного от читателя вглубь, так как отсчет угла ведется по часовой стрелке. Тогда

, (2.4)

где – радиус-вектор точки, модуль которого равен длине подвеса .

Очевидно, что угол , а угол . Тогда

. (2.5)

Или, так как угловое ускорение , а момент инерции материальной точки , получим

. (2.6)

Для достаточно малых углов sinj » j, тогда

, (2.7)

где .

Решение уравнения (2.7) представляет собой гармоническую функцию, соответствующую гармоническому колебанию

, (2.8)

где j₀ – амплитуда, w₀ – частота так называемых собственных колебаний, a₀ – начальная фаза.

Мы видим, что w₀ оказывается циклической частотой этого колебания с периодом

. (2.9)

Решение уравнения (2.6) сложнее и представляет собой колебание с непрерывно изменяющейся частотой, которой соответствует период

. (2.10)

Экспериментальная установка

Используемый маятник – шарик на бифилярном (двойном) подвесе (рис. 8). Прибор состоит из горизонтальной планки, прикрепленной к стене, вертикальной шкалы, подвеса с шариком и устройства для изменения длины маятника. Вверху прибора может быть укреплен транспортир для отсчета углов отклонения маятника. Маятник может быть снабжен таймером, который позволяет отсчитывать время некоторого заранее заданного числа колебаний.

Рис. 8

Порядок выполнения работы

Задание 1. Проверка независимости периода колебаний математического маятника от амплитуды при малых углах отклонения.

Измерения и обработка результатов

Согласно теории период колебаний математического маятника практически не зависит от амплитуды колебаний при углах отклонения менее 5^° – формула (10). Во всяком случае, эта зависимость лежит за пределами точности измерений периода в нашем опыте – 0, 01 с. При малых углах отклонения оказывается справедливой формула (2.9). Это утверждение и подлежит проверке в данном задании.

1. Измеряют период колебаний математического маятника при постоянной длине (» 2 м) и массе маятника при углах отклонения 1°, 2°, 3°, 4° и 5°. Число колебаний выбирают равным 15 – 20. Данные заносят в таблицу 1 отчета.

2. Вычисление периода колебаний производят с точностью до 0, 001 секунды. Если различие в периоде колебаний не превышает 0, 01 с, то можно сделать вывод о практической независимости периода колебаний математического маятника от амплитуды при малых углах отклонения.

Задание 2. Проверка зависимости периода колебаний математического маятника от амплитуды при углах отклонения, больших 5°.

Измерения и обработка результатов

1. Измеряют период колебаний математического маятника при постоянной длине (» 2 м) и массе маятника при больших углах отклонения от 5° до 60°с шагом 5°. Число колебаний выбирают равным 15 – 20. Вычисляют период колебаний с точностью до 0, 001 с. Данные заносят в таблицу 2 отчета.

2. С помощью формулы (2.10), используя два первых члена формулы, вычисляют теоретические значения периодов колебания математического маятника при заданной длине маятника и выбранных углах.

3. На одном графике строят теоретическую и экспериментальную зависимости периодов колебаний математического маятника от угла отклонения. Обе кривые должны если не совпадать, то, во всяком случае, иметь одинаковый ход. В выводе надо объяснить некоторое несовпадение двух кривых.

Задание 3. Проверка независимости периода колебаний математического маятника от его массы.

Измерения и обработка результатов

Для проверки необходимо использовать тела разной массы, но имеющие одинаковые размеры и форму, что позволяет считать силу сопротивления воздуха во всех опытах одинаковой. При этом тела не обязательно должны иметь шарообразную форму. Угол отклонения маятника из положения равновесия не должен превышать 5°.

1. Измеряют периоды колебаний математического маятника при постоянной длине (» 2 м) и различных массах маятника. Число колебаний выбирают равным 15 – 20. Данные заносят в таблицу 3 отчета.

2. Вычисление периода колебаний производят с точностью до 0, 001 секунды. Если различие в периоде колебаний не превышает 0, 01 с, то можно сделать вывод о независимости периода колебаний математического маятника от массы.

Задание 4. Изучение зависимости периода колебаний математического маятника от его длины и определение ускорения свободного падения.

Измерения и обработка результатов

1. Подвешивают на нити стальной шар. Длину подвеса изменяют в пределах от 0, 8 до 2, 5 м с шагом приблизительно 20 см. Число колебаний в каждом опыте 20 – 30. Полученные данные заносят в таблицу 4 отчета. Угол отклонения маятника из положения равновесия не должен превышать 5°.

2. Зависимость Т = f(l) нелинейная. Поэтому для удобства экспериментальной проверки эту зависимость следует линеаризировать. Для этого можно, например, построить график зависимости квадрата периода колебаний от длины маятника. Если экспериментальные точки ложатся на прямую с небольшим разбросом, то можно сделать вывод о выполнении формулы (2.9).

3. Для определения с помощью полученного графика ускорения свободного падения сначала необходимо получить точное уравнение экспериментальной прямой. Для этого применяют метод наименьших квадратов (МНК). Находят угловой коэффициент прямой, т.е. значение коэффициента k в полученном уравнении. Вычисляют ускорение свободного падения.

По формулам МНК определяют погрешность измерения g.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение математического маятника.

2. Что называют моментом инерции материальной точки, твердого тела?

3. Дайте определение момента силы.

4. Как направлены векторы момента силы, углового ускорения.

5. С помощью основного уравнения динамики вращательного движения получите уравнение колебаний математического маятника.

6. Как зависит период колебаний математического маятника от амплитуды при углах отклонения больших 5⁰?

7. В чем сущность метода наименьших квадратов?

Лабораторная работа № 3

Предыдущая 1 234 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Следующая