Элементы специальной теории относительности

Длина l тела, движущегося со скоростью υ относительно некоторой системы отсчета, связана с длиной l₀ тела, неподвижного в этой системе, соотношением

где β =υ /с, с – скорость распространения света.

Промежуток времени Δ τ в системе, движущейся со скоростью υ по отношению к наблюдателю, связан с промежутком времени Δ τ ₀ в неподвижной для наблюдателя системе соотношением

Зависимость массы m тела от скорости υ его движения дается уравнением

где m₀ – масса покоя этого тела.

Зависимость кинетической энергии тела от скорости υ его движения дается уравнением

Изменение массы системы на Δ m соответствует изменению энергии системы на

Δ W=c² Δ m.

Релятивистский закон сложения скоростей для тела, движущегося вдоль оси OX, имеет вид

где υ – скорость движущейся системы отсчета K′ , u′ – скорость относительно системы K′ , u – скорость относительно неподвижной.

4. 1. Две нестабильные частицы движутся в системе отсчета К в одном направлении вдоль одной прямой с одинаковой скоростью υ = 0, 6 с. Расстояние между частицами в системе К равно 64 м. Обе частицы распались одновременно в системе К', которая связана с ними. Определить промежуток времени между распадом частиц в системе К. Ответ: 0, 2 мкс.

4. 2. Определить, во сколько раз увеличивается время жизни нестабильной частицы (по часам неподвижного наблюдателя), если она начинает двигаться со скоростью, равной 0, 9 с. Ответ: В 2, 29 раза.

4. 3. Собственное время жизни частицы отличается на 1 % от времени жизни по неподвижным часам. Определить β = υ /c. Ответ: 0, 141.

4. 4. Космический корабль движется со скоростью υ = 0, 8 с по направлению к Земле. Определить расстояние, пройденное им в системе отсчета, связанной с Землей (системе К), за t_o = 0, 5 с, отсчитанное по часам в космическом корабле (системе К'). Ответ: 200 Мм.

4. 5. Мюоны, рождаясь в верхних слоях атмосферы, при скорости υ = 0, 995 с пролетают до распада l = 6 км. Определить: 1) собственную длину пути, пройденную ими до распада; 2) время жизни мюона для наблюдателя на Земле; 3) собственное время жизни мюона. Ответ: 1) 599 м; 2) 20, 1 мкс; 3) 2 мкс.

4. 6. Определить относительную скорость движения, при которой релятивистское сокращение линейных размеров тела составляет 10%. Ответ: 1, 31·10⁵ км/с.

4. 7. В системе К' покоится стержень (собственная длина l₀ = 1, 5 м), ориентированный под углом θ ' = 30° к оси Ох'. Система К' движется относительно системы К со скоростью υ = 0, 6 с. Определить в системе К: 1) длину стержня 1; 2) соответствующий угол . Ответ: 1) 1, 28 м; 2) 35°48'.

4. 8. Определить собственную длину стержня, если в лабораторной системе его скорость υ = 0, 6 с, длина l = 1, 5 м и угол между ним и направлением движения =30°. Ответ: 1, 79 м.

4. 9. Ионизованный атом, вылетев из ускорителя со скоростью 0, 8 с, испустил фотон в направлении своего движения. Определить скорость фотона относительно ускорителя. Ответ: с.

4. 10.Две ракеты движутся навстречу друг другу относительно неподвижного наблюдателя с одинаковой скоростью, равной 0, 5 с. Определить скорость сближения ракет, исходя из закона сложения скоростей: 1) в классической механике; 2) в специальной теории относительности. Ответ: 1) с; 2) 0, 8 с.

4. 11.Частица движется со скоростью υ = 0, 8 с. Определить отношение массы релятивистской частицы к ее массе покоя. Ответ: 1, 67.

4. 12.Определить на сколько процентов масса релятивистской элементарной частицы, вылетающей из ускорителя со скоростью υ = 0, 75 с, больше ее массы покоя Ответ: На 51, 2%.

4. 13.Определить скорость движения релятивистской частицы, если ее масса в два раза больше массы покоя. Ответ: 0, 866 с.

4. 14.Определить релятивистский импульс протона, если скорость его движения υ = 0, 8с. Ответ: 6, 68·10^-19 кг·м/с.

4. 15.Определить скорость, при которой релятивистский импульс частицы превышает ее ньютоновский импульс в n = 3 раза. Ответ: 0, 943 с.

4. 16.Полная энергия релятивистской частицы в 8 раз превышает ее энергию покоя. Определить скорость этой частицы. Ответ: 298 Mм/c.

4. 17.Кинетическая энергия частицы оказалась равной ее t энергии покоя. Определить скорость частицы. Ответ: 260 Мм/с.

4. 18.Определить релятивистский импульс p и кинетическую энергию Т протона, движущегося со скоростью υ = 0, 75 с. Ответ: 5, 68·10^-19 кг·м/с; 7, 69·10^-11 Дж.

4. 19.Определить кинетическую энергию электрона, если масса движущегося электрона втрое больше его массы покоя. Ответ выразить в электронвольтах. Ответ: 1, 02 МэВ.

4. 20.Определить работу, которую необходимо совершить, чтобы увеличить скорость частицы с массой покоя m_o от 0, 5 с до 0, 7 с. Ответ: 0, 245 m_oс².

4. 21.Определить релятивистский импульс электрона, кинетическая энергия которого Т = 1 ГэВ. Ответ: 5, 34·10^-19кг·м/с.

1 234 5