Динамика теории относительности

Эйнштейн показал, что для того, чтобы уравнения движения тел были инвариантны относительно преобразований Лоренца, необходимо считать, что масса тела зависит от скорости и эта зависимость имеет вид:

. (44)

Здесь m₀ –массы тела, измеренная в системе, в которой тело покоится (масса покоя); m –масса тела, измеренная в системе, движущейся относительно первой с постоянной скоростью . Допустим, что , тогда при в соответствии с формулой (44) масса тела . А так как масса не может принимать бесконечные значения, то скорость движения тел, с отличной от нуля массой покоя, не может превышать скорости света в вакууме. Вывод об ограничении возможных скоростей движения относится к важнейшим результатам теории относительности.

Однако известно, что фотоны двигаются со скоростью света, что возможно только если m₀=0. Следовательно неподвижный фотон в природе не существует. Масса фотона всецело связана с его движением.

Основное уравнение динамики теории относительности.

Используя соотношение (44) для массы, запишем основной закон динамики теории относительности в следующей форме:

Аналогично формула для импульса тела в теории относительности будет иметь вид:

Можно заметить, что при условии получим выражения классической механики Ньютона и, поэтому, классическая механика содержится в теории относительности как предельный вариант теории.

Исключительно важным следствием теории относительности является связь между массой и энергией.

Полная энергия тела:

. (45)

Энергия, запасенная в массе покоя тела:

Кинетическая энергия тела:

. (46)

Формула (45) выражает один из важнейших законов природы – закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии. Согласно этому закону всякая частица (или область поля), имеющие энергию E, обладают массой . И наоборот, всякой массе m присуща энергия .

Из этой же формулы вытекает, что изменение массы тела ведет к эквивалентному изменению энергии E и наоборот:

При скоростях существенно меньших скорости света изменение массы тела m весьма мало. Заметным этот эффект становится лишь при ядерных превращениях и в астрономических явлениях.

Формула (46) представляет собой выражение для кинетической энергии в теории относительности. Оно совершенно не похоже на формулу кинетической энергии в классической механике. Но при малых скоростях ( < < c) релятивистские формулы должны переходить в обычные классические формулы. Покажем, что и формула (46) при < < c переходит в обычную формулу кинетической энергии классической механики.

По правилам приближенных вычислений при можно записать:

Тогда

т.е. получается обычная формула для кинетической энергии классической механики.

Из всех приведенных примеров следует, что теория относительности содержит классическую механику Ньютона как частный случай, соответствующий малым скоростям (по сравнению со скоростью света).

Контрольные вопросы и задачи

1. Сформулируйте принцип относительности Галилея

2. Какой вид имеют прямые преобразования Галилея?

3. При каких скоростях верны преобразования Галилея?

4. Как зависит длина тел от скорости их движения в теории относительности?

5. Что такое собственное время t₀ события?

6. Как зависит масса тел от скорости их движения в релятивистской динамике?

7. Как выражается в релятивистской динамике полная энергия физического объекта?

8. При какой энергии электрона его масса в 2 раза больше массы его покоя? (Ответ выразить в джоулях и мегаэлектронвольтах).

9. Энергия протона 250 МэВ. Найти скорость протона по формуле теории относительности и по формуле классической механики Ньютона. Оценить ошибки в величине скорости, которая совершается, если расчеты ведутся по формуле классической механики.

10. Какой импульс имеет электрон, если его энергия 15 МэВ? (Указание: скорость электрона при заданной энергии близка к скорости света, и, поэтому необходимо воспользоваться формулами теории относительности).

СПРАВОЧНЫЕ ТАБЛИЦЫ

Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 171819 Следующая