Эвольвента окружности и её свойства.

Уравнения эвольвенты

 

Эвольвентой (от лат. evolvens (evolventis) – разворачивающий) или развёрткой окружности называют плоскую кривую А₀Y (рис. 54), которая описывается любой точкой Y прямой n-n, перекатываемой без скольжения по окружности. Линию n-n называют производящей прямой, а окружность радиуса r_b, по которой она перекатывается, – эволютой (от лат. evoluta – развёртка) или основной окружностью.

Основные свойства эвольвенты:

– образующая прямая n – n всегда нормальна к эвольвенте (основное и важнейшее свойство эвольвенты);

– эвольвента начинается на основной окружности и всегда расположена вне окружности;

– форма эвольвенты зависит только от радиуса основной окружности;

– эвольвента является кривой без перегибов.

Уравнение эвольвенты. Положение какой-либо точки Y эвольвенты определяется радиус-вектором r_y иуглом θ _y, называемым эвольвентным. Из свойства эвольвенты следует, что

NY=˘ NmA₀. (71)

Из рис. 54 видно, что

NY=r_btgα _Y, (72)

где α – угол профиля (угол между радиус-вектором r_y и касательной к эвольвенте в точке А);

˘ NmA₀ = r_b∙ ν _Y , (73)

 

где ν – угол развёрнутости (ν _y=α _y+θ _y).

Подставляя (72) и (73) в (71), получаем

r_btgα _y= r_b∙ ν _y= r_b(α _y+θ _y)

или

tgα _y = (α _y+θ _y). (74 )

Из (8.6) находим

Θ _y = tgα _y–α _y. (75)

 

Выражение tgα _Y–α _Y сокращённо обозначается знаком invα _Y и читается как инволюта α _Y (от лат. involuta – развёрнута – то же самое, что и эвольвента): tgα _Y–α _Y = invα _Y.

Для инвалютных функций составлены таблицы, по которым по значению угла α _Y можно определить значение величины invα _Y. Таким образом, угол θ _Y будет равен

Θ _y = invα _y (76)

Из треугольника NYO радиус-вектор r_Y

(77)

Уравнения (8.8) и (8.9) есть уравнения эвольвенты в полярных координатах.

 

Эвольвентное зацепление

Пусть вращательное движения передаётся при помощи двух звеньев, профили которых выполнены по кривым Э₁ и Э₂, являющиеся эвольвентами основных окружностей радиусов r_b1 и r_b2 (рис. 55). На основании основного закона зацепления и основного свойства эвольвенты можно показать, что передаточное отношение этой передачи постоянно. Действительно, общая касательная n – n к основным окружностям нормальна к каждой из эвольвент (на основании основного свойства эвольвенты) и поэтому проходит всегда через точку их касания. Прямая n – n, являясь общей нормалью в точке касания к обеим эвольвентам, делит межосевое расстояние О₁О₂ на отрезки, обратно пропорциональные угловым скоростям (на основании основного закона зацепления):

.

Так как прямая n – n всегда касается одних и тех же окружностей, то и занимает всегда одно и то же положение, т.е. пересекает межосевое расстояние в постоянной точке Р, которая называется полюсом зацепления. Следовательно, передаточное отношение

Окружности, радиусы которых r_w1= OP₁ и r_w2= O₂P, жёстко связанные с зубчатыми колёсами, и между которыми осуществляется передача вращательного движения со строго постоянным передаточным отношением, касающиеся и перекатывающиеся одна по другой без скольжения, называются начальными. Таким образом, отношение угловых скоростей обратно пропорционально отношению радиусов начальных окружностей:

(78)

Геометрическое место точек касания профилей (зубьев) называется линией зацепления. Только в эвольвентном зацеплении линией зацепления является прямая n – n – касательная к основным окружностям, так как эвольвенты касаются только в точках этой прямой. В этом заключается одно из достоинств эвольвентного зацепления. Действительно, зуб одного колеса давит на зуб другого колеса, если пренебречь трением, всегда по линии n – n. Поэтому направление силы не изменяется, что положительно сказывается на прочности конструкции зубчатого механизма.

Угол α _w отклонения линии зацепления от общей касательной t – t к начальным окружностям в полюсе Р называется углом зацепления. Угол профиля α в точке эвольвенты, лежащей на начальной окружности, численно равен углу зацепления α _w.

В эвольвентном зацеплении при изменении межосевого расстояния О₁О₂ передаточное отношение не изменяется. Действительно, из подобия треугольников O₁N₁P и O₂N₂P следует

, (79)

 

т.е. передаточное отношение обратно пропорционально радиусам основных окружностей. Так как эти радиусы являются постоянными для эвольвентных профилей зубьев, то при изменении межосевого расстояния О₁О₂ передаточное отношение не изменится. Несколько изменится лишь положение линии зацепления, т.е. угол зацепления α _w.

Постоянство передаточного отношения при изменении межосевого расстояния является положительным качеством эвольвентной зубчатой передачи, так как неизбежные погрешности при сборке зубчатых механизмов не будут оказывать влияние на передаточное отношение.

Все геометрические параметры зубчатых колёс определяются через модуль. Угол профиля рейки принят равным 20°. Размер c (рис. 56) обеспечивает у колёс, нарезанных инструментальной рейкой, наличие радиального зазора в зубчатом зацеплении. Обычно c = 0.25m. Окружность колеса, по которой шаг равен р, называют делительной.

Её диаметр обозначают через d. Так как π d = pz = π mz, (z – число зубьев колеса), то

d = mz. (80)

При нарезании зубчатого колеса возможно смещение инструментальной рейки относительно нарезаемого колеса. Смещение, направленное от оси нарезаемого колеса, называют положительным, (нарезанное таким способом колесо называется положительным) а смещение к его оси – отрицательным (колесо в этом случае называется отрицательным). Если смещение равно нулю (колесо нулевое), то начальная прямая рейки совпадает с делительной прямой рейки. Коэффициент смещения рейки обозначается через x. Смещение рейки равно xm. При положительном смещении инструмента толщина зуба у основания увеличивается, что повышает его прочность. Кроме того, смещение инструмента в ту или иную сторону позволяет строго вписаться в заданное межосевое расстояние.

 

Предыдущая12131415161718192021222324252627Следующая

Поделиться:

Популярное:

1. Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.