Уравнение упругой линии балки

Изогнутая ось, представляющая собой геометрическое место центров тяжести поперечных сечений деформированного бруса, называется упругой линией. В результате прогиба балки центр тяжести С (рис. 21) каждого поперечного сечения I− I получает вертикальное и горизонтальное перемещения, а само сечение поворачивается на некоторый угол θ вокруг своей нейтральной оси.

На основании гипотезы малых деформаций в сопротивлении материалов при изгибе балок горизонтальные перемещения считаются ничтожно малыми по сравнению с вертикальными и не учитываются. Вертикальные же перемещения y являются основным определяющим фактором, их обычно называют прогибами.

В инженерной практике большое значение имеет оценка прогибов и сопоставление их наибольших значений с допускаемыми, определяемыми условиями работы балки, т. е. расчёт балок на жёсткость.

Существует несколько методов определения перемещений: с помощью дифференциального уравнения упругой линии балки, метод начальных параметров, энергетический, интеграл Мора, использование правила Верещагина.

Определим перемещение с помощью дифференциального уравнения упругой линии балки. Опираясь на гипотезу малости деформации, можно считать, что (рис.21) и, следовательно,

. (4.17)

Из аналитической геометрии известно, что радиус кривизны ρ кривой у = y(z) выражается как

. (4.18)

Ввиду малости деформаций (y' = dy/dz < < 1) выражение (5.19) упрощается:

. (4.19)

Подставляя в (4.19) значение (4.9), получим дифференциальное уравнение упругой линии или дифференциальное уравнение изгиба балки в виде:

. (4.20)

Здесь учтено, что положительный изгибающий момент (сжатые волокна сверху) соответствует положительной кривизне балки. Значения прогибов балки получаются, таким образом, двукратным интегрированием уравнения (4.20). В уравнении (4.20) под М_х следует понимать его аналитическое выражение как функцию от координаты z– .

Проинтегрировав один раз уравнение (4.20), получим зависимость углов наклона касательных к упругой линии θ , равных углам поворота поперечных сечений.

В результате второго интегрирования получаем уравнение упругой линии балки (уравнение прогибов).

Следует отметить, что если балка имеет несколько участков нагружения, то определение её упругой линии непосредственным интегрированием дифференциального уравнения (4.20) становится сложным из-за необходимости нахождения большого числа постоянных интегрирования из граничных условий. Поэтому в общем случае нагружения балок упругую линию, как правило, ищут другими методами, где упрощено нахождение постоянных интегрирования.

Пример 4.1. Определить прогиб посередине пролёта балки и угол поворота поперечного сечения на левой опоре. Жёсткость балки на изгиб – EJ_x, длина балки – l (рис. 22).

Решение. Для определения перемещений необходимо составить выражения для изгибающего момента на участке АС. Для этого определим опорные реакции. В нашем случае

Тогда аналитическое выражение для изгибающего момента на участке АС в сечении с координатой z (рис.22):

Уравнение (4.20) для нашего случая запишется в виде:

Интегрируя один раз, получим выражение для угла поворота поперечных сечений:

где С – постоянная интегрирования, определяемая из граничных условий (в нашем случае граничными условиями являются: при ):

Откуда находим значение С:

Таким образом,

Подставляя значение z = 0, найдём угол поворота сечения балки в опоре А:

Интегрируя полученное выражение для , определим прогибы балки :

Постоянную интегрирования D найдём из условия равенства нулю прогиба балки в опоре А при :

Аналитическое выражение для прогиба балки примет вид:

Максимальный прогиб балки будет в точке С при :

Отрицательное значение перемещение точки С означает, что оно не совпадает с направлением оси у.

Вопросы для самопроверки

1.В чём отличие между изгибом прямым и косым, чистым и поперечным?

2. Какие внутренние силы возникают в поперечных сечениях балки при изгибе?

3. Какие правила знаков приняты при изгибе для поперечных сил и изгибающих моментов?

4. Как определяется поперечная сила и изгибающий момент в сечениях балки при изгибе?

5. Какие типы опор применяются для закрепления балок к основанию?

6. Какие уравнения используются для определения значений опорных реакций?

7. Какая дифференциальная зависимость существует между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределённой нагрузки, перпендикулярной к оси балки?

8. Чему равна поперечная сила в сечениях балки, в которых изгибающий момент достигает экстремальных значений?

9. По каким законам изменяется поперечная сила и изгибающий момент по длине балки при отсутствии распределённой нагрузки?

10. Как изменяется поперечная сила в сечении, в котором приложена сосредоточенная сила, перпендикулярная к оси балки?

11. Как изменяется изгибающий момент в сечении, в котором к балке приложен сосредоточенный внешний момент?

12. В чём заключается проверка эпюр и ?

13. Какой вид имеет эпюры для балки, заделанной одним концом:

а) от сосредоточенной силы, перпендикулярной оси балки, приложенной на её свободном конце;

б) от сосредоточенного момента, приложенного на свободном конце балки;

в) от равномерно распределённой нагрузки, перпендикулярной оси балки, действующей по всей еёе длине?

14. Как распределены нормальные напряжения в поперечных сечениях балки при изгибе?

Сдвиг и кручение

При сдвиге и кручении на боковых гранях выделенного элемента действуют только касательные напряжения. В том и в другом случае частицы элемента конструкции стремятся сдвинуться относительно друг друга в плоскости сечения, т. е. имеет место деформация сдвига.

Сдвиг

Сдвигом называется такой вид деформации стержня, при котором в поперечном сечении возникает только поперечная (перерезывающая) сила. Они вызывают касательные напряжения, или напряжения сдвига.

Явление сдвига можно наблюдать при перерезывании полосы ножницами (рис. 23). Из рисунка видно, что сдвиг одной части относительно другой возникает в том случае, когда плечо h мало. При большом плече h сдвиг сопровождается изгибом. При увеличении сил деформация завершается перерезыванием полосы.

Закрепим полосу по плоскости 1–4 (рис. 23а). Рассмотрим сдвигаемый элемент полосы в виде, показанном на рис 23б.

Действие отброшенной правой части на левую представим сдвигающими силами, равнодействующая которых приводится к поперечной силе , равной по модулю внешней силе .

В сечении возникают касательные напряжения . Суммируя их по всей площади сечения, получим поперечную силу

. (5.1)

Распределение касательных напряжений по сечению неравномерное, однако, для небольших толщин его можно считать равномерным, т. е. постоянным, и тогда

. (5.2)

По формуле (5.2) определяют касательные напряжения. В заделке возникают и нормальные напряжения от изгиба, которыми часто пренебрегают ввиду их малости.

При воздействии силы плоскость 2− 2′ − 3′ − 3 (рис. 23б) перемещается вертикально относительно заделки на величину (рис. 23в), Пренебрегая малыми величинами, можно считать, что при сдвиге объём не изменяется, а происходит лишь изменение формы: прямоугольник 1− 2− 3− 4 превращается в параллелограмм 1− 2′ − 3′ − 4. Угол сдвига определяет изменение формы – искажение углов первоначального параллелепипеда.

Аналогично закону Гука при растяжении в пределах упругости, касательное напряжение при сдвиге прямо пропорционально относительному сдвигу :

. (5.4)

Формула (5.4) выражает закон Гука при сдвиге. Параметр называется модулем упругости при сдвиге (модуль сдвига).

Существует зависимость между модулем упругости при сдвиге и модулем продольной упругости при растяжении :

. (5.5)

Подставив значения и (формулы (5.2) и (5.3)) в (5.4), получим формулу для определения значения абсолютного сдвига:

. (5.6)

Условие прочности при сдвиге имеет вид:

, (5.7)

где – допускаемое касательное напряжение при сдвиге ( – для пластичных материалов и – для хрупких материалов).

Расчёту на прочность при сдвиге подлежат сварные швы, заклёпки, болты и другие виды соединения, работающие на сдвиг (срез).

Пример 5.1. Определить минимальную высоту головки (рис. 24) болта из условия равнопрочности её со стержнем.

Решение. При малой высоте h головки болта происходит её срез по цилиндрической поверхности диаметром d. Сила F, растягивающая стержень болта, будет перерезывающей для головки (F=Q). Полагаем, что касательные напряжения постоянны по высоте h:

При этом растягивающие напряжения в стержне болта

Откуда, обращая неравенства в равенства, будем иметь

, тогда .

Принимая для пластичных материалов , найдём .

Таким образом, условие равнопрочности головки болта с его стержнем будет соблюдено при высоте головки болта равной половине диаметра стержня болта.

Кручение

Кручением называется такой вид деформации стержня (вала), при котором в поперечных сечениях возникает только крутящий момент.

5.2.1. Определение крутящего момента

Для определения крутящего момента в каком-либо сечении используют метод сечений.

Рассмотрим пример, показанный на рис. 25а. Здесь к четырём шкивам, сидящим жёстко на валу, приложены внешние скручивающие вал моменты разной направленности. Для определения крутящего момента в сечении z рассмотрим равновесие, например, левой части (рис. 25б), для которой уравнение равновесия имеет вид:

, откуда .

При определении крутящих моментов придерживаются правила знаков: если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит крутящий момент М_к направленным против часовой стрелки, то момент считается положительным.

В любом сечении вала действует крутящий момент, равный сумме внешних моментов, находящихся по одну сторону этого сечения. Делая поочерёдно аналогичные сечения вала на участках между шкивами
(рис. 25а), находим значении . Распределение крутящего момента по длине вала изображается в виде эпюры, показанной на рис. 25в.

5.2.2. Перемещения при кручении

Опыт показывает, что при кручении круглых валов:

– плоские поперечные сечения до деформации остаются плоскими и после приложения нагрузок, сами сечения при этом не искажаются;

– расстояние между любыми двумя поперечными сечениями не меняется;

– все образующие поверхности вала (линии, параллельные его оси) поворачиваются на один и тот же угол.

Деформация вала при кручении происходит за счёт сдвига одного сечения относительно другого из-за касательных напряжений τ , действующих в сечении (рис. 26). Для выяснения закона изменения деформации по сечению вырежем из вала двумя поперечными сечениями элемент длиной dz, условно закрепив жёстко один из его торцов (сечение I− I). В результате действия крутящего момента сечение II− II повернётся относительно условно закреплённого сечения I− I на угол . Точка В переместится в положение В₁. Угол между новым положением образующей АВ₁ и первоначальным АВ называется относительным углом сдвига или относительным сдвигом.

Из рис. 26 видно, что

откуда находим

. (5.8)

Отношение представляет угол закручивания на единицу длины вала, обозначается θ и называется относительным углом закручивания. Здесь ρ – текущий радиус-вектор.

Подставляя значение γ (5.8) в формулу (5.4) закона Гука при сдвиге, получим

. (5.9)

Полученное выражение определяет закон распределения касательного напряжения по сечению. Поскольку в сечении , то напряжения изменяются пропорционально радиусу ρ. Из (5.9) следует, что на контуре сечения касательные напряжения принимают максимальные значения.

Крутящий момент является результирующим моментом внутренних сил (рис.27) относительно оси z:

. (5.10)

Подставляя (5.9) в (5.10), получим

Поскольку , то , или

, (5.11)

где – полярный момент инерции сечения.

Из (5.11) получаем формулу для определения относительного угла закручивания вала:

, (5.12)

тогда угол закручивания

. (5.13)

Если , и l различны на разных участках вала, то в общем случае полный угол закручивания вала можно определить как сумму углов закручивания вала отдельных его участков:

, (5.14)

где – угол закручивания i-го участка;

n – число участков.

5.2.3. Напряжение

Подставляя (5.12) в (5.9), получим формулу, определяющую касательные напряжения, действующие в нормальном сечении вала:

. (5.15)

Максимальные значения касательных напряжений, возникающих на контуре сечения, т. е. при (d – диаметр вала), можно записать в виде:

В случае круглого сечения .

5.2.4. Условия прочности и жёсткости

Условие прочности при кручении записывается как

, (5.16)

где [τ ] – принятое допускаемое значение касательных напряжений для материала вала.

Условие (5.16) прочности при кручении вала позволяет решать следующие основные задачи:

– проектировочный расчёт: по известному значению крутящего момента в сечении и материалу вала ([τ ]) подбираются необходимые размеры поперечного сечения для обеспечения безопасности работы по величине полярного момента сопротивления:

, (5.17)

по значению W_р определяют диаметр вала;

– проверочный расчёт: по известному размеру вала и материалу из которого он изготовлен (задано [τ ]), проверяется, выдержит ли он заданную нагрузку в виде крутящего момента ; используется выражение (5.16);

– определение допускаемой внешней нагрузки [М] (или установление работоспособности). По известным геометрическим параметрам сечения (W_p – задано) и материалу вала ([τ ]) находится допускаемая величина внешней нагрузки:

[М] = [τ ] W_p. (5.18)

Выбор величины допускаемого напряжения при кручении [τ ] зависит как от свойств материала вала, так и от принятого коэффициента запаса прочности [n].

При расчёте стальных валов в случае статического нагружения можно использовать эмпирическую зависимость [τ ] = (0, 5 – 0, 6) [σ ].

Примечание. Большинство валов испытывают при работе переменные по времени нагрузки, они также воспринимают одновременно и изгибные нагрузки, поэтому их нагружения нельзя считать статическими, и в практике машиностроения для стальных валов, в зависимости от материала и условий работы, принимают более низкий диапазон изменения допускаемых напряжений, а именно: [τ ] = 20 – 40 МПа.

Произведение GJ_p называется жёсткостью вала при кручении.Она характеризует способность вала сопротивляться скручиванию. В технике наряду с оценкой прочности валов имеет значение соблюдение условий жёсткости, т. е. условий, исключающих появление при эксплуатации чрезмерных деформаций. Условие жёсткости для валов имеет очевидный вид:

. (5.19)

При проектировочном расчёте:

. (5.20)

При проверочном расчёте:

. (5.21)

Допускаемый относительный угол закручивания [θ ] принимается для разных конструкций валов и различных видов нагрузки в диапазоне или (0, 00175–0, 035 рад.) на один метр длины вала.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется сдвигом?

2. Что называется абсолютным и относительным сдвигом?

3. Как формулируется закон Гука при сдвиге?

4. Как связаны между собой модуль продольной упругости Е и модуль сдвига G?

5. Как производится расчёт на прочность при сдвиге?

6. Какой вид деформации называют кручением?

7. Чему равен крутящий момент в каком-либо сечении вала?

8. Как определяют наибольший крутящий момент?

9. Как определяют напряжение при кручении?

10. Как определяется угол закручивания вала?

11. Чему равна жёсткость стержня (вала) при кручении и что она характеризует?

Предыдущая 10 11 12 13 14 15 161718 19 20 21 22 23 24 25 Следующая