Внутренние силовые факторы при изгибе

 

На первом этапе анализа основная цель заключается в определении и построении эпюр (графиков) внутренних силовых факторов (при плоском изгибе – Q_y, М_х) в поперечных сечениях вдоль оси балки для последующего выбора наиболее опасного в прочностном отношении сечения.

Внутренние силовые факторы, действующие в поперечных сечениях балки, определяют (после нахождения реакций опор), используя метод сечений, для чего мысленно рассекают балку на две части и рассматривают равновесие одной из них. Взаимодействие её с другой частью балки заменяют внутренними силовыми факторами: поперечной силой Q_y и изгибающим моментом M_x.

Поперечная сила в сечении балки равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, действующих на мысленно отсечённую часть, на ось, перпендикулярную оси балки.

Изгибающий момент в сечении балки равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих на отсечённую часть, взятых относительно центра тяжести рассматриваемого сечения.

Знаки действия сил и моментов определяют с использованием «правила знаков» (рис. 17).

Замечание:

1. Если сумма внешних сил, лежащих по левую сторону от сечения m− n, даёт равнодействующую, направленную вверх, то поперечная сила в сечении считается положительной, вниз – отрицательной.

Если сумма внешних сил, лежащих по правую сторону от сечения m− n, даёт равнодействующую, направленную вниз, то поперечная сила в сечении положительна, вверх – отрицательна (рис. 17а).

2. Если относительно выбранного сечения m− n изгибающий момент стремится изогнуть балку так, что сжатые волокна сверху, то момент от этого силового фактора положителен, в противном случае – отрицателен (рис. 17б).

Проиллюстрируем определение поперечной силы и изгибающего момента на примере двухопорной балки с грузом G, расчётная модель (схема) которой показана на рис. 18а. К такой модели (расчётной схеме) сводится расчёт конструкций пролётов мостов, валов и осей машин, станков и т. п.

Конструктивно шарнирно-неподвижная опора А не препятствует повороту балки вокруг оси шарнира, но не даёт возможности балке перемещаться вдоль своей оси z и в перпендикулярном направлении – вдоль оси y.

Действие опоры заменяется реакцией F_A, направление которой заранее неизвестно. Её раскладывают по направлениям осей y и z: и .

Шарнирно-подвижная опора В не препятствует свободному повороту балки вокруг оси шарнира и свободному поступательному перемещению вдоль оси z. Поэтому воздействие опоры В заменяется одной вертикальной реакцией . Влияние груза G моделируется сосредоточенной силой F в точке С (рис. 18б).

Опорные реакции ( , , ) при плоском изгибе определяют, составляя три уравнения равновесия статики, которые в сопротивлении материалов принято записывать в следующей форме:

– сумма проекций всех сил на ось балки (ось z) равна нулю, в нашем случае это уравнение примет вид:

откуда

– сумма моментов всех сил относительно опоры А равна нулю:

,

 

откуда ;

– сумма моментов всех сил относительно опоры В равна нулю:

,

откуда .

 

Замечания.

1. Выбор опор А и В за центры приведения объясняется тем, что через опоры проходят линии действия неизвестных реакций и и уравнения получаются проще по виду.

2. В уравнениях моментов условно принято, что момент силы, пытающийся повернуть балку относительно выбранного центра против часовой стрелки, положителен, а по часовой стрелке – отрицателен.

3. Для проверки полученных результатов рекомендуется использовать уравнение – сумма проекций всех сил на вертикальную ось у равна нулю:

 

,

подставляя в которое полученные выражения для и , получаем тождественное равенство:

.

Разобьём балку на два участка, определяемые точками А, С и В приложения сил (рис. 18б). Проведём произвольное сечение I− I на первом участке на расстоянии z₁ от опоры А ( ). Применим метод РОЗУ. Действие отброшенной (правой) части на оставшуюся (левую) часть заменим силовыми факторами и (рис. 18в). Из условия равновесия оставшейся (левой) части получаем:

– поперечная сила Q_y в сечении I− I равна сумме проекций всех внешних сил (активных и реактивных), приложенных к оставшейся части балки:

= .

В данном случае поперечная сила на всём участке постоянна;

– изгибающий момент в сечении I− I равен сумме моментов всех внешних сил, приложенных к оставшейся части балки относительно точки О₁ выбранного сечения: .

В данном случае изгибающий момент линейно зависит от z.

Используя правило знаков, устанавливаем, что на первом участке поперечная сила и изгибающий момент положительны.

При z₁ = 0: ;

при z₁ = a:

.

Для определения внутренних силовых факторов в сечении II-II можно рассматривать левую или правую части (рис. 18г).

При рассмотрении левой части отсчёт z можно вести от точки С, т. е. с конца первого участка ( ). Тогда поперечная сила и изгибающий момент в этом сечении соответственно равны:

;

.

При z₂ = 0:

;

при z₂ = b:

Таким образом, эпюра поперечной силы постоянна на участках вдоль оси балки (рис. 18д). Знак поперечной силы на втором участке зависит от разности сил . Эпюра имеет скачки (мгновенное изменение) в местах приложения сил , , .

 

Эпюра изгибающего момента имеет два характерных линейных участка. На первом участке значение этого фактора возрастает от нуля (в шарнире А) до максимальной величины в месте приложения силы F (точка С), а на втором – линейно убывает до нуля (в шарнире В). С точки зрения прочности опасным является место приложения внешней силы F, так как здесь изгибающий момент достигает максимальной величины и поперечная сила также имеет наибольшее значение.

При рассмотрении правой части отсчёт ( ) ведём от точки В влево (рис. 18г). Поперечная сила и изгибающий момент во втором сечении соответственно равны:

;

.

При : ;

при : .

В этом случае эпюры поперечной силы и изгибающего момента имеют тот же вид и значения, что и для левой части балки.

 

Теорема Д. И. Журавского

 

Правильность построения эпюр поперечной силы и изгибающего момента можно проверить при помощи дифференциальных зависимостей Журавского между и распределённой нагрузкой q.

Для вывода этих зависимостей рассмотрим произвольную балку (рис. 19а). Пусть к ней приложены внешние силы F₁, F₂, ..., F_n и распределённая нагрузка q(z), действующая по произвольному закону (положительное направление указано на рис. 19б – вверх). Выделим из бруса элемент длины dz. В пределах длины dz можно считать нагрузку q распределенной равномерно. Слева и справа в поперечных сечениях выделенного элемента приложены положительные силовые факторы Q_y, М_х в соответствии с обусловленным выше правилом знаков, отличающиеся на dQ_y и dM_x соответственно.

Условия равновесия элемента в проекции на ось у даёт

Q_y + qdz – Q_y – dQ_y = 0,

или

. (4.1)

Условие равенства нулю моментов всех сил относительно центра тяжести сечения (т. С) приводит к соотношению:

,

откуда, отбрасывая q·dz²/2, как величину более высокого порядка малости, чем другие слагаемые, имеем

. (4.2)

Таким образом, поперечная сила Q_y есть производная от изгибающего момента М_х по длине бруса, а интенсивность внешней распределённой нагрузки q – в свою очередь, производная от поперечной силы.

Проверим правильность построения эпюр, показанных на рис. 19. Так как в данном случае распределённая нагрузка q=0, то в соответствии с формулой (4.1) поперечные силы на обоих участках постоянны. На участке, где поперечная сила Q_y постоянна и положительна, график изгибающего момента М_х, в соответствии с формулой (4.1), линейно возрастает (тангенс угла наклона графика изгибающего момента и есть значение Q_y). На участке, где Q_y постоянна и отрицательна, эпюра изгибающего момента M_x линейно убывает с тангенсом угла наклона, равным значению Q_y на этом участке.

 

Предыдущая891011121314151617181920212223Следующая

Поделиться:

Популярное:

1. B Проверьте стержень клапана на призмах при помощи
2. I. 14. Понятие о севообороте. Причины, вызывающие необходимость чередования культур.
3. I. 38. Состав, свойства и применение калийных удобрений.
4. I. 4. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРИКЛАДНАЯ КУЛЬТУРОЛОГИЯ
5. I. 49. Основные принципы разработки системы применения удобрений.
6. I. Кто мы, к кому обращено приглашение?
7. I. При каких условиях эта психологическая информация может стать психодиагностической?
8. I. Природа и культура. Проблемы антропо- и культурогенеза.
9. I. Пунктуация при однородных членах предложения
10. I. Разработка и принятие Конституции.
11. I. Смотрите на Него, приготовляющего для Себя престол.
12. I. Сохранять и укреплять здоровье детей, формировать у них привычку к здоровому образу жизни