Определение напряжений на площадке произвольного

Положения

Пусть у некоторой выбранной точки D тела наблюдается плоское напряжённое состояние (рис. 33а, б).

Выделим в окрестности точки призму abca'b'c' (рис. 33в), на граниbb'с′ с которой (рис. 33г) действует нормальное напряжение σ _α и касательное τ _α (п – нормаль к этой грани, t – касательная). Рассмотрим равновесие данной призмы, приняв площадь наклонённой грани bb'с'с за dА. Тогда площадь грани abb'a', перпендикулярной оси х – dAcosα , а грани aa′ c′ c, перпендикулярной оси у – dAsinα . На грани abb'a', относительно которой на угол α повернута площадка bb'с′ с, направление касательного напряжения τ _ху = τ принято положительное.

Сумма проекций всех сил на нормаль п:

Приняв τ _ху= τ _ух= τ и сократив на dА, получим формулу для определения нормальных напряжений на площадке bb'с′ с:

. (6.11)

Проецируя все действующие силы на направление касательной t к наклонной площадке, получим:

После несложных преобразований получим формулу для определения касательных напряжений на площадке bb'с′ с:

. (6.12)

Формула для определения положения главных площадок, т. е. площадок, на которых касательные напряжения равны нулю, следует из выражения (6.12) при :

. (6.13)

Углы α ₀ и , найденные по формуле (6.13), определяют положение главных площадок около анализируемой т. А. Подстановкой найденных значений углов α ₀ и в выражение (6.11) для напряжений σ _α получим значения главных напряжений (σ ₂ = 0):

. (6.14)

Максимальное значение касательных напряжений в теле:

. (6.15)

Значение возникает на площадке, параллельной вектору и делящей пополам угол между первой и третьей главными площадками.

Теории прочности

При центральном растяжении (сжатии) в нормальных сечениях стержня возникают одни нормальные напряжения . Условие прочности в данном случае имеет вид:

Здесь допускаемое напряжение вполне определяется механическими испытаниями материала на растяжение (сжатие) и условиями работы детали.

Если в рассматриваемом сечении имеются одни касательные напряжения (чистый сдвиг), то условие прочности запишется так:

где определяется механическими испытаниями материала на сдвиг (срез) и условиями работы детали.

Оценку прочности конструкции в точке в случае сложного напряжённого состояния, когда в данной точке на данной площадке одновременно действуют и , произвести на основании эксперимента весьма затруднительно. Для такой оценки прочности деталей служат теории прочности, которые строятся на основе различных критериев прочности. Критерий прочности устанавливается на основании гипотез возникновения текучести материала или его разрушения (гипотез предельных состояний). Предельное напряжённое состояния в общем случае зависит от соотношения между тремя главными напряжениями. Гипотезы предельных состояний (гипотезы прочности) основываются на предпосылке, что два каких-либо напряжённых состояния считаются равноопасными, если они, при увеличении главных напряжений в одно и то же число раз, одновременно становятся предельными. В этом случае коэффициент запаса прочности для обоих напряжённых состояний в указанных условиях будет одинаковым.

Поэтому в случае сложного напряжённого состояния следует определить эквивалентное напряжение, при котором возникает опасность разрушения, и сравнить его с допустимым значением напряжения на растяжении, полученным опытным путём:

Существует несколько гипотез прочности. Одни гипотезы прочности дают удовлетворительные результаты для хрупких материалов, другие – для пластичных.

Рассмотрим наиболее известные теории прочности в хронологическом порядке их появления.

1. Теория наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности). В XVIII–начале XIX в. преимущественно применялись такие материалы, как камень, стекло, кирпич, чугун, т. е. хрупкие материалы. Для них наиболее свойственным представлялось разрушение путём отрыва. Поэтому согласно первой теории прочности считалось− разрушение материалов при сложном напряжённом состоянии наступает тогда, когда наибольшее нормальное напряжение достигает предельного значения.

Условие прочности по этой теории для расчетного (или эквивалентного) напряжения имеет вид

σ _р = σ _эквI = σ ₁ ≤ [σ ], (6.16)

где [σ ] = σ _в/[п],

σ _в − предел прочности при растяжении,

[п] − выбранный нормативный коэффициент запаса прочности.

В случае плоского напряжённого состояния из выражения (6.14) следует:

. (6.17)

По первой теории прочности остальные два главных напряжения во внимание не принимаются.

2. Теория наибольших относительных удлинений (вторая теория прочности).

Согласно этой теории разрушение материалов при сложном напряжённом состоянии наступает тогда, когда наибольшее по абсолютной величине относительное линейное удлинение достигает некоторого предельного значения.

Эта теория прочности получила опытное подтверждение только для весьма хрупких материалов.

3. Теория наибольших касательных напряжений (третья теория прочности). Широкое развитие производства, строительство железных дорог во второй половине XIX в. и связанный с этим процессом анализ причин возникновения и развития пластических деформаций привели к формированию третьей теории прочности. По этой теории разрушение материалов наступает тогда, когда наибольшее касательное напряжение достигает некоторого предельного значения. Согласно этой теории прочность обеспечена, если

τ _max ≤ [τ ]. (6.18)

Максимальное значение расчётного касательного напряжения при сложном напряжённом состоянии согласно (6.15) равно

а величина допускаемых касательных напряжений определяется из опыта на простое растяжение и согласно (6.7) равна

где [σ ] = σ _Т /[n];

σ _T − предел текучести материала;

[п] – принятый нормативный коэффициент запаса прочности.

Тогда по третьей теории прочности окончательное условие прочности принимает вид:

σ _р = σ _эквIII = σ ₁ – σ ₃ ≤ [σ ]. (6.19)

Для часто встречающегося случая плоского напряжённого состояния из выражения (6.14) получаем

. (6.20)

Опытная проверка показала, что эта теория даёт хорошие результаты для пластичных материалов. Для хрупких материалов она неприменима. Третья теория не учитывает влияния на прочность промежуточного (σ ₂) главного напряжения, что может привести к ошибке до 12 %.

4. Теория энергии формоизменения (четвёртая теория прочности). Недостатки описанных выше теорий прочности частично исправляет теория энергии формоизменения, согласно которой разрушение в точке наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия формоизменения достигает предельного для данного материала значения. Условие прочности по четвёртой теории имеет вид:

, (6.21)

где и_ф – максимальное значение удельной потенциальной энергии формоизменения;

[и] − допускаемое значение удельной потенциальной энергии формоизменения при растяжении.

Для практически важных случаев исследования изгиба балок, а также совместного кручения и изгиба валов в наиболее нагруженных точках поперечного сечения имеет место плоское напряжённое состояние и возникают нормальные σ и касательные напряжения τ. Условие прочности по четвёртой теории для этих инженерно значимых условий работы брусьев примет вид:

. (6.22)

Эта теория находится в соответствии с данными экспериментальных исследований прочности для металлов с выраженными упругопластическими свойствами (конструкционные стали) и имеет большое распространение в современной расчётной практике.

Пример 6.1. Определить запас прочности по пластическим деформациям болта соединения (рис. 34) с резьбой М24 х 1, 5, если в результате затяжки в нём создано усилие кН, а момент сопротивления в резьбе (крутящий момент) составляет Нм. Материал болта – углеродистая сталь ( МПа).

Решение. Оценим прочность болта в сечении минимального диаметра по впадинам резьбы. По стандарту находим, что для данного болта внутренний диаметр резьбы мм. Определим напряжение растяжения в болте от усилия затяжки: