Напряжённое состояние при растяжении (сжатии)

 

Для того чтобы иметь представление о прочности материала, необходимо знать действующие напряжения не только в плоскости поперечного сечения, но и по любому наклонному сечению.

Рассмотрим стержень, который находится под действием растягивающей силы (рис. 29). Полагаем, что в поперечных сечениях стержня, достаточно удалённых от точек приложения сосредоточенных сил, нормальные напряжения распределяются равномерно и определяются по формуле (2.3):

.

В окрестности какой-либо точки S, лежащей в плоскости сечения abb^′ a^′ (рис. 29), выделим бесконечно малый элемент (рис. 30а). Поскольку на грани, перпендикулярной к направлению растягивающей силы, действует нормальное напряжение , а на остальных гранях напряжения отсутствуют, то элемент находится в линейном напряжённом состоянии (главные напряжения, ). Условимся такой элемент изображать в виде плоской фигуры (рис. 30б), хотя в действительности он имеет форму прямоугольного параллелепипеда.

Определим напряжение, возникающее в наклонном сечении a₁b₁b₁^′ a₁^′ (рис. 30а, б), перпендикулярном к плоскости рисунка. Положение наклонной площадки определяется углом α между направлением главного вектора и внешней нормалью n− n к площадке. Этот угол считают положительным, если его отсчитывают против часовой стрелки от направления . Наклонную площадку обозначают углом, определяющим её положение. Так, для принятого на рис. 6.3б обозначения угла имеем α -площадку (площадка a₁b₁). На этой площадке будут действовать нормальное, σ _α и касательное τ _α напряжения, для определения которых применяют метод сечений. Так как наклонная площадка рассекла элемент на две части, отбросим одну из них (например, верхнюю) и рассмотрим равновесие оставшейся (нижней) части (рис. 30в). Условие равновесия запишем в виде проекций всех сил на нормаль n− n и площадку t− t:

;

где – площадь наклонного сечения.

Учитывая, что , из уравнений равновесия находим:

(6.1)

. (6.2)

Для определения напряжений на площадке, перпендикулярной к площадке a₁b₁ (рис. 30г), расположенной под углом ( ), заменим в формулах (6.1) и (6.2) угол α на ( ), получим:

; (6.3)

 

. (6.4)

Для направлений напряжений σ и τ, действующих по наклонным площадкам, принимаем следующее правило знаков: нормальное напряжение положительно, если оно растягивающее; касательное напряжение положительно, если для совпадения с его направлением нормаль к площадке необходимо повернуть по направлению движения часовой стрелки.

Отметим некоторые свойства линейного напряжённого состояния, вытекающие из зависимостей (6.1)–(6.4):

1. Сумма нормальных напряжений, действующих по двум взаимно перпендикулярным площадкам, постоянна и равна главному напряжению, т. е.

. (6.5)

 

Этим свойством нормальных напряжений обычно пользуются для проверки правильности их вычислений.

2. На двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения равны, но противоположны по знаку, т. е.

. (6.6)

 

Данное свойство является общим для любого напряжённого состояния (закон парности касательных напряжений).

3. Величина нормального напряжения в любом наклонном сечении ( ) меньше и достигает максимума лишь в поперечных сечениях ( ).

4. Касательное напряжение наибольшее значение имеет в сечении, составляющем угол с направлением . В этом случае

. (6.7)

 

Оценивая напряжённое состояние стержня при его осевом растяжении или сжатии, можно сделать заключение о том, что стержень разрушается либо по поперечному сечению в результате действия максимальных нормальных напряжений, либо по наклонной (под углом ) плоскости от действия наибольших касательных напряжений.

 

Напряжения в наклонных сечениях при растяжении

В двух направлениях

Рассмотрим общий случай плоского (двухосного) напряжённого состояния, когда отличны от нуля два главных напряжения и (рис. 32а). Между направлением напряжения и площадкой угол равен Из условия равновесия отсечённой правой части (рис. 32б) определим напряжения и . Для этого воспользуемся уравнениями (6.1) и (6.2). Суммируя напряжения от действия с напряжением от действия (заменяя угол α на угол ( )), получим:

,

откуда

. (6.8)

 

Аналогично

 

откуда . (6.9)

 

Из формулы (6.9) видно, что максимальное касательное напряжение равно полуразности главных напряжений (при ):

. (6.10)

Из формул (6.8) и (6.9) следует:

1. Если , то на всех площадках, проходящих через рассматриваемую точку, нормальное напряжение равно , а касательное напряжение равно нулю. Такое напряжённое состояние называют равномерным двухосным растяжением (или сжатием).

2. Если , , а , то при нормальное напряжение в наклонной площадке оказывается равным нулю, а . Такое напряжённое состояние называется чистым сдвигом.

 

Предыдущая11121314151617181920212223242526Следующая

Поделиться:

Популярное:

1. B Проверьте стержень клапана на призмах при помощи
2. I. 14. Понятие о севообороте. Причины, вызывающие необходимость чередования культур.
3. I. 38. Состав, свойства и применение калийных удобрений.
4. I. 4. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРИКЛАДНАЯ КУЛЬТУРОЛОГИЯ
5. I. 49. Основные принципы разработки системы применения удобрений.
6. I. Кто мы, к кому обращено приглашение?
7. I. При каких условиях эта психологическая информация может стать психодиагностической?
8. I. Природа и культура. Проблемы антропо- и культурогенеза.
9. I. Пунктуация при однородных членах предложения
10. I. Разработка и принятие Конституции.
11. I. Смотрите на Него, приготовляющего для Себя престол.
12. I. Сохранять и укреплять здоровье детей, формировать у них привычку к здоровому образу жизни