Силы и моменты сил действующие на СМТ

Физические величины

Очевидно, в любом курсе физики мы встречаемся с физическими величинами-характеристика одного из свойств физического объекта (Физической системы, явления или процесса, поля), общая в качественном отношении многим физическим объектам, но в количественном отношении индивидуальна для каждого объекта. Физическая величина может быть измерена в реальном физическом опыте или мысленном.

▼ Размер физической величины-количественная определенность Физической величины (сколько), присущая конкретному материальному объекту, либо полю.

▼ Значение физической величины-доценка физической величины в виде некоторого числа принятых для нее едениц.

▼ Физический параметр- физическая величина рассматриваемая при измерение данной физической величины, как вспомогательная характеристика. Пример: тело брошенное под углом к горизонту (угол-параметр)

▼ Единица физической величины - физическая величина фиксированного размера, которой условно присвоено числовое значение, равное одному и применяемая для количественного выражения однородных физических величин. {Q}-единица физическая, Q-сама физическая величина.

▼ Q=n*{Q} n-числовое значение физической величины в выбранных единицах. Очевидно, числовое значение n зависит от размеров выбранной еденици, хотя значение физической величины и ее размер не изменяются. Пример: L1=0.15м, L2=15см, L3=150мм.

▼ Уравнение связи между физическими величинами-уравнение, отражающее законы природы, в котором под буквенными символами понимаются физические величины.

Система физических величин

Как правило, связи между физическими величинами носят устойчивый характер. Было установлено, что если условно выбрать несколько физических величин, условно приняв их независящими друг от друга, а также и от других физических величин, то остальные величины одного или даже нескольких разделов физики могут быть выражены через эти произвольно выбранные величины. Пример: выбрав в качестве независимых величин длину, массу и время, можно все величины механики последовательно выразить через эти три независимые величины, создав таким образом систему физических величин.

Система физических величин-совокупность взаимосвязанных физических величин, образованных в соответствии с принятыми принципами, когда одни величины принимаются за независимые, а другие являются функциями независимых величин.

▼ Зависимые физические величины называются производными физических величин.

▼ Каждой основной физической величине система величин присваивает символ в виде буквы латинского или греческого алфавита: длина-L, масса-M, время-T, сила эл. тока-I, кол-во вещества-N, сила света-J, температура-Θ.

4.Размерность физической величины-выражение в форме степенного одночлена, составленное из произведения символов основных величин в различных степенях и отражающих связь данной величины с физическими величинами, принятыми в данной системе за основание. Формула размерности-[x]=L^αM^βT^γ. Пример: F=ma=[m]*[a]=MLT^-2.

▼ Размерность физической величины- физическая величина в размерность которой [x]=L^αM^βT^γ хотябы одна из основных физических велечин возводится в степень не равную 0.

▼ Безразмерная физическая величина- физическая величина, в размерность которой [x]=L^αM^βT^γ входят степени=0 (КПД, коэф. трения).

Выражение любого физического закона или уравнения физической связи в качестве аргумента математической функции могут быть только безразмерные физические велечины. x=Asin(ω t) [A]=[x] [ω t]=1 [ω ]=T^-1.

▼ Международная СИ едениц (SI)-СИ построена на основе системы величин LMTIΘ JN. Оснсвной единицей СИ является: метр (м-ед. длины L), килограмм (кг-ед. массы M), ампер (А-ед. силы тока I), кельвин (К-ед. температуры Θ ), кондела (кд-ед. силы света J), моль (ед. кол-ва в-ва N).

▼ Метр=1650763, 73 длин волн в вкууме излучения, которое соотв. переходу между уровнями 2p₁₀ и 5d₅ атома криптона 86.

▼ Секунда=9192631770 периода излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия 133.

Скорость МТ.

Очевидно, что разные МТ могут совершать разное перемещение D за одинаковое время Dt.

▼ Пусть МТ за время Dt совершило перемещение D . _ср=D /Dt (1) назовем средней скоростью движения МТ за время Dt. Будем уменьшать Dt.

▼ По определению предел = _ср=D /Dt (2)(если он существует), называется мгновенной скоростью движения МТ в момент времени t, это вектор. Используя математическое определение производной, вторую часть формулы можно записать в следующем виде = (3), т.е. ▼ мгновенная скорость есть первая производная МТ от времени. Разложим (3) по формуле =x(t) _x+y(t) _y+z(t) _z. (4) по правилам дифференцирования. _x, _y и _z фиксированные в пространстве и поэтому они постоянны во времени. = = ( x _x+ y _y+ z _z)= ( x _x)+ ( y _y)+ ( z _z )= _x₊ _y₊ _z(5). С другой стороны так же может быть разложен по формуле (4) в базисе _x, _y и _z: = _x _x+ _y _y+ _z _z (6). Сравнивая (5) и (6) единством разложения вектора по базису получаем _x=, _y=, _z=(7).

6.Ускорение МТ.

Понятно, что скорость также меняется во времени. Пример-разгон авто. Введем характеристику, описывающую скорость изменения скорости (временное изменение). Для этого рассмотрим отрезок траектории между двумя соседними точками М₁ и М₂, которые занимала МТ. В каждой точке направлен по касательной к этой траектории. Введем разные векторы ₁ и ₂ по формуле D = ₂- ₁ (1).

▼ По определению вектор равный W= (2) (W=vj) называется вектором среднего ускорения за время Dt. Далее поступаем также как и с определением мгновенной скорости. Мгновенное ускорение МТ определяется как предел среднего ускорения (2) = _ср= (3) если этот предел существует.

▼ Мгновенное ускорение определяется = (4). = , = ( ) (5).

▼ Выражение (5) обозначает вторую производную по времени от (производная от первой производной). = (6). Разобьем D =D _n+D _τ (8) по построению (М₁В= ), отвечает за удлинение вектора скорости МТ в процессе ее движения, а D _n отвечает за поворот D в процессе движения МТ. Представим (8) в виде (3): = _n+ _τ (9), _n= (10), _τ= (11), _τ= = (12)

▼ _τ по величине хар-ет быстроту изменения величины скорости и очевидно, при Dt→ 0 сам _τ будет направлен по направлению скорости в этой точке, т.е. по касательной, по этой причине _τ дназывается касательным или тангенсальным ускорением МТ. Рассмотрим И2, рассмотрим равнобедренный треугольник МАВ, Dα +2β = (13).

▼ _n – направленно -но к вектору .( , , ) (14). Проведем в М₁ и М₂ -ры к касательным. Они пересекаются в точке О. Для малых Dt, М₁О М₂О=R (15).Рассмотрим DМ₁М₂О. R / (17), R= (18).

▼ Величина определяемая по формуле (18) называется радиусом кривизны траектории. Рассмотрим DМ₁М₂О DМ₁АВ (они подобны). -величина перемещения (19). => . (20). . Мы доказали (21).

▼ _n –величина которая определяется формулой (21) и которая направлена перпендикулярно к касательной к траектории называется нормальным вектором ускорения.

Закон Ньютона.

Все законы Ньютона являются обобщением большого числа опытных фактов.

▼ 1 закон Ньютона-существуют системы, в которых свободные тела могут двигаться равномерно и прямолинейно или находиться в состоянии покоя.

▼ Свободными называют тела на которые не действуют силы, либо они компенсируют друг друга ( ).

▼ Система отсчета, о существовании которой утверждает 1 закон Ньютона называется инерциальной системой отсчета(Пример-система Коперника).

▼ Система отсчета, которая движется с ускорением относительно инерциальной системой отсчета называется неинерциальной системой отсчета(Пример-наша Земля).

Закон Ньютона.

▼ Импульсом тела (или кол-вом движения) называется векторная величина (1).

▼ 2 закон Ньютона для МТ записывается в виде (2), где -равнодействующая всех сил, действующих на МТ. Закон в виде (2) справедлив только для классической механики. В спец. теории относительности (СТО) этот закон записывается в другом виде-релетивистскоковариантом. Закон в виде (2) справедлив также и для тел с переменной массой. Рассмотрим случай, когда m=const (3). Подставим (1) в (2) и учтем (3): , (4).

▼ 2 закон Ньютона имеет вид (4) для тел с постоянной массой. [F]=1H=кг*м/c².

Закон Ньютона

Проиллюстрируем вывод 3 закона Ньютона для системы двух изолированных частиц. Две частицы взаимодействуют друг с другом.

▼ Замкнутая система-ситема МТ-ек на которую не действуют внешние силы. Опыт показывает, что для такой системы справедлив закон сохранения импульса (9), где и импульсы тел зависящих от времени ( ). Прдифференцируем неравенство (9): (10), к формуле (10) применим 2 закон Ньютона. и (11), , (12).

▼ Силы двух взаимодействующих МТ равны по величине, противоположны по направлению и действуют вдоль прямой соединяющей эти точки.

▼ Ньютон назвал F₁ действием, а другую силу F₂ противодействием.

▼ Поэтому иногда 3 закон Ньютона формулируется в следующем виде: сила действия равна и противоположна по направлению силе противодействия. Обратим внимание, что эти силы приложены к разным телам, значит, о равновесии не может быть и речи. Равновесие МТ тогда, когда сумма всех сил, действующих на МТ, равна нулю.

Система МТ (СМТ).

▼ Под системой МТ-ек (СМТ) мы будем понимать конечное число тел, которые можно считать МТ-ами (Пример-Солнечная система). Все силы действующие на СМТ можно разбить на два вида.

▼ 1) Внешние силы-силы действующие на систему со стороны тел, не входящих в данную систему.

▼ 2) Внутренние силы-силы действующие между МТ-ми, входящих в СМТ. Мы будем считать, что внутренние подчиняются 3 закону Ньютона. Введем ряд физических величин, хар-щих систему МТ-ек. Выберем систему координат с центром в точке О, это система отсчета. Пусть МТ-ка М принадлежит СМТ. -импульс М.

▼ Момент импульса-по определению вектор, определяемый (1), где -импульс М, называется моментом импульса. Размерность [ ]=LMLT=L²MT^-1.

▼ Вектор, определяемый соотношением (2), где -равнодействующая всех сил действующих на МТ называется моментом силы. Уравнение движения для момента импульса одной МТ. Определение (1)справедливо для любого момента времени. Если точка движется, то и ее изменяются. Продифференцируем обе части. Left= ,

Right= ;

(3); (4);

, m=const (5). Подставим (3)-(5): , т.к. . = (6). Уравнение (6) называется законом движения для одной МТ.

▼ Импульсом СМТ называется вектор

(7).

▼ Моментом импульса СМТ называется вектор

Закон сохранения импульса.

Фактически з.с. в механике представляет собой интегралы ур-я движения.

СМТ называется изолированной если на нее не действуют внешние силы.Рассмотр.

Ур-е движения выведенное на прошлой лекции (1) Очевидно для изолированной СМТ внешние силы =0 (2) интегрируя Ур-е (2) (3) (4)

Ф.(3) и (4) выражают закон сохранения импульса.

Для изолир. СМТ импульс системы не изменяется во времени(const)

(5) -масса всей СМТ. -скорость движения центра масс.

С учетом этой формулы закон сохр.импульса можно сформулировать: центр масс изолир. СМТ движется равномерно и прямолинейно.

Закон сохранения энергии.

1.изменение: рассмотрим одну матер. Точку. она движется вдоль оси х(см. л №8 и 1) (15)

Проведем ряд преобразований в которых лежит второй закон Ньютона.

(16); (17); (18); ; ; ;

;

Следовательно ф(18) перепишется: ; (19)

(20) называется кинетической энергией

Джоуль (Дж).

; ; ; (21)

если умножить обе части на dt: (22)

(23)

(см. л. №8 и. 2)

Проинтегрируем (23) от точки 1 до точки 2.

; (24); (25)

Введем следующую физ.величину А, которая называется работой, сила перемещения м.т. из х1 в х2.

(26) Размерность совпадает. Ф (25) с учетом (26) приобретает окончательный вид.

(27) выражает закон изменения энергии м.т. для одномерного движения. Изменение кинетической энергии м.т. по перемещ. из 1 в 2 равно работе силы , действующей на м.т..

(26) работает когда может зависеть от х, но если , тогда: если , получаем ; (28)

Формула (28) (которая работает при ) всегда для одномерного движения называется законом сохранения кинетического движения.

!!! Рассматривалось только одномерное движение!!!

Потенциальные силы.

Среди множества видов сил особое место занимают потенциальные силы. (см. Л.№9 и.2) Сила, работа которой по перемещению из1 в 2 не зависит от формы кривой соединяющ.эти 2 точки, а лишь от положения этих точек в пространстве называется потенциальными силами. Следствие: (13) (14) учтем св-во (10) и получим

(15)

Работа потенц.силы по перемещению м.т. по любому замкнутому контуру=0

№21. Потенциальная энергия. Закон сохран. мех. Энергии.

По определению потенциал. энерг. мт находящейся под действием потенциал. силы назыв. функция координат такая что элементар. работа по перемещению мт на d равна .

Тогда A=

Работа этой силы зависит только от полож. точек в пространстве.

Согласно закону измен. кинетич. энергии находящейся под действием потенц. силы:

В силу производности мы можем написать =const

При движ. мт под действ. Только потенц. сил выполняется закон сохранения энергии. Т.е. энергия сохраняется во время движения.

№22. Силы инерции при поступательном ускоренном движении системы отсчета.

НСО- система отсчета, движущаяся с ускорением.

Пример про поезд.

Мы знаем что обычная сила изменяет скорость мт (сила как колич.векторная мера взаимодействий между телами), НО к этому приводит и резкое торможение поезда если человек находится внутри.

Возникает парадоксальная ситуация, оказывается есть такие системы отсчета, в которых скорость мт может изменяться если на них не действуют силы как мера взаимодействия.

Пусть имеется некоторая инерциальная система отсчета которую будем считать не подвижной(ИСО)

Пусть XOYZ которая движется ускоренно относительно (ИСО) но поступательно так что оси параллельны

Согласно данному выше опред., сист. отсчета XOYZ – будет НСО, мы хотим понять каковы уравнения которые описывают движ. В НСО.

Обозначим ее радиус вектор в НСО, а в ИСО.

Для 3 векторов изображ. на (И2) мы видим ---это равенство работает для .

Системы поралельны и не меняются во времени.

Очевидно есть ускорение смт в НСО. является ускорением мт.

переносное ускорение- это ускорение начала координат точки О системы НСО относительно ИСО.

Отметим что в ИСО выполняется 2 з. Ньютона в его обычном виде.

представим теперь: ; ;

;

Введенная векторная величина называется силойинерции при поступ. движ. НСО. С точки зрения реальности это сила фиктивна в том смысле что она не относится к мере взаим. тел, и возникает только в НСО когда отлична от 0. Ускорение которое приобретает Мт будет настолько же реальным на сколько ускорение от реальной силы.

Это уравнение – есть основ. уравнением динамики мт в НСО, когда последнее движ. поступательно с точки зрения общей теор. относит. не какими экспериментами нельзя различить силы инерции и силы тяготения. На основание этого уравнения можно легко объяснить опыт с поездом.

№23. Общий случай движения НСО: скорость.

Равномерное движение точки по окружности

См. (И1), (И2) в лекции №11

Предадим векторный вид Введем радиус вектор мт… и учтем что направлена по касательной окружности. По построению видно, что перпендикулярна плоскости окружности.

Описываем изменение во времени при условии что его модуль const, а конец движ. со скоростью .

см(И3) в лекции№11

Мы переходим к случаю когда сист. отсчета НСО движется произвольно ИСО.

В общем случае это движение можно разложить на 2 состав. Первое это пост. и ускор. движ центра О-

этот случай мы рассмотрели ранее. Второе это вращательное движение сист. XOYZ с углов. скор. с

углов. ускор. ; -единые орты НСО.

Продеференцируем по времени, один раз

-это скорость мт в НСО. -это скорость в точке О в НСО.

Найдем с учетом разложения , а так же учитывая то что орты вращаются с

угловой скоростью .

;

; -скорость мт в НСО, - скорость нач. координат в НСО, -скорость Мт в НСО, - угловая скорость вращения.

№24. Общий случай движения НСО: ускорение.

Продеференцируем обе части ( Общий случай движения НСО: скорость.) по времени

-ускорение Мт в НСО; -ускорение т. О в НСО;

; ; ;

Подставим преобразования:

Является окончательной формулой и дает связь между и для произвольного движения НСО.

Вектор - Кориолисово ускорение.

Введем вектор - это вектор назыв. переносным ускорением, именно такое ускор. в НСО имеет Мт, которое покоится.

№25.Уравнение динами Мт в НСО.

; ; ;

Применим 2 з. Ньютона для ИСО в S1: ; - настоящая сила.

;

; -Это уравнение представляет собой основной закон динамики в НСО, для общего случая поступательного и вращательного ускоренного движения относительно ИСО

-Кореолесова сила инерции.

Первое слагаемое в с ускорением поступательного движения системы S. Основные 2 слагаемых возникают из-за, вращательного движения НСО, с угловой скоростью и угловым ускорением .

Кореолесова сила определяется с одной стороны вращением НСО, а с другой скоростью Мт относительно S.

№26. Движение Мт относительно вращающейся Земли.

Рассмотрим S1 связанная с солнцем приблизительно инерциальна, система S связана с Землей, суточное вращение. Внешнюю реальную силу(результирующую).

; -сила притяжения Земли. -сила притяжения со стороны солнца.

- результирующая всех других сил.

Тогда закон механики

-ускорения центра Земли под действием гравитации солнца.

; ;

. (1)

По определению вектор определяемый из равенства называется вектором свободного падения.

(2)

Формулы (1) и (2) совместно являются уравнениями движения Мт.

№27. Вес тела. Маятник Фуко.

Весом тела называют силу приложенную к телу!!! Которая равна и противоположно направлена силе, с которой подставка действует на тело!

При этом мы считаем, что тело покоится относительно Земли (НСО).

Применим формулу ,

подставим

;

. (1)

С учетом того, что мы видим, что вес тела состоит из 2 частей:

(2)

согласно этой формуле вес тела есть векторная сумма силы гравитационного притяжения Земли и центробежной силы инерции.

Фор-лы (1) и (2) есть конечные формулы вопроса (вес тела).

Пусть пл-сть колеб. совпадает с пл-ю рисунка.

Маятник имеет скорость , -начальная к траектории

;

1) -это состав. действ. вдоль нити, растягивающая ее.

2) -сила мала и она оказывает малое влияние, т. к. .

и находятся в пл-ти доски. Эта сила направлена перпендикулярно доске, является частью силы Кориолиса и вызывает смещение пл-ти колебаний, и в результате это смещение становится заметным.