Аксиома статики о равновесии системы двух сил. Аксиома параллелограмма сил.

Аксиома статики о равновесии системы двух сил. Аксиома параллелограмма сил.

Аксиомы статики

1. Если на свободное абсолютно твердое тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны

Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не изменяется, если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную систему сил.

Следствие: действие силы на абсолютно твердое тело не изменится, если перенести точку приложения силы вдоль ее линии действия в любую другую точку тела.

3. Аксиома параллелограмма сил: две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и изображаемую диагональю параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах. Вектор равный диагонали параллелограмма, построенного на векторах и , называется геометрической суммой векторов и :

1.Аксиомы статики и основные понятия.

Материальная точка-объект, размерами которого можно пренебречь.

Системы матер.точек-система взаимосвязанных объектов.

Абсолют.твердое тело-такая матер.система, в которой расстояния между точками остаются постоянными.

Взаимодействие между телами измеряется силой. Если на систему действуют несколько сил, то эта совокупность наз-ся системой сил. Сила-это вектор, кот-ый определяется 3-мя парамеирами: величина, направление и точка приложения.

{F1, F2, …Fn}

Эквивалентные системы сил-это такие системы сил, которые не изменяют состояние тела(системы тела) при замене одной системы другой.

{F1, F2, …Fn} ̴ {Q1, Q2, …Qn}

Если в системе сил эквивалентна только одна сила, то это сила наз-ся равнодействующая сила.

R-равнодействующая сила

{F1, F2, …Fn} ̴ R

Уравновешенная система сил эквивалентна нулю.

{F1, F2, …Fn} ̴ 0.

Если к телу приложена уравновешенная система сил, то оно находится в покое или в равномерном прямолинейном движении.

Виды сил:

1)сосредоточенная

2)распределенная по длине

3)распределенная по площади или объему

Аксиомы:

Аксиома равновесия системы двух сил.

Необходимым и достаточным условием равновесия является равенство сил по величинеи противоположность по линии действия.

Аксиома добавления и отбрасывания уравновешенной системы сил.

Состояние системы сил не изменится, если к ней добавить или отбросить от неё уравновешенную систему сил.

Аксиома параллелограмма сил.

Равнодействующая двух сил, линии действия которых пересекаются, является диагональ параллелограмма, построенного на этих силах в точке пересечения.

Аксиома взаимодействия.

Действие одного тела на другое выраженное силой является противоположной действия второго тела на первое.

F12-сила со стороны тела 1 на тело 2

F21-сила со стороны тела 2 на тело 1

F12=F21 F21=-F12

Аксиома затвердевания.

Гибкое тело можно рассматривать как абсолютно твердое тело под действием приложенных сил.

Связи и их реакции. Аксиома связей. Основные виды связей.

Свободное тело в пространстве имеет 6 степеней свободы. Ограничение, кот-ое накладывает другое тело, наз-ся связью. Сила, препятствующая движению, наз-ся реакцией связи.Приложенная к телу внешняя сила является активной силой. Реакция вызывается активной силой. Реакция-это пассивная сила.

Аксиома связи.

Несвободное тело можно рассматривать как свободное, если связи отбросить и приложить к телу реакцию связи.

Виды реакций:

1.Гладкая поверхность

2.Гибкая нить (цепь)-реакция направлена по касательной

3. Цилиндрический шарнир-не допускает поступательное движение.

4.Шарнирно-неподвижная опора

5.Сферичный шарнир(подпятник)

6.Стержень на двух опорах.

3, Система сходящихся сил. Равнодействующая системы сходящихся сил. Аналитический способ определения равнодействующей.

Виды системы сил:

1.сходящаяся

2.параллельная

3.произвольная

4.плоская

5.пространственная

Построим последовательно все вектора от точки А.

R1*=F1+F2

R2*=F1+F3

R*=R2+F4

R*=F1+F2+F3+F4

Условие равновесия:

R*=0 ∑ Fк=0

Аналитический способ определения равнодействующей.

Сначала определяются проекции равнодействующей силы

Rx*=∑ Fx-проекция равнодействующей R* на ось х

Ry*=∑ Fy - проекция равнодействующей R* на ось y

Ry*=∑ Fz - проекция равнодействующей R* на ось z

Величина равнодействующей силы

R*=√ (Rx*)²+(Ry*)²+(Rz*)²

Аксиомы Динамики

Аксиомы динамики точки.

1 закон (закон инерции): изолированная от внешних воздействий материальная точка сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока приложенные силы не заставят ее изменить это состояние. Движение, совершаемое точкой при отсутствии сил, называется движением по инерции.

2-ой закон (основной закон динамики) устанавливает, как изменяется скорость точки при действий на нее какой-нибудь силы, а именно: произведение массы материальной точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы. Математически этот закон выражается векторным равенством Если на точку действует одновременно несколько сил, то они, будут эквивалентны одной силе, т. е. равнодействующей R, равной геометрической сумме данных сил. Ур-е, выражающее основной з-н динамики принимает вид или .

3-й закон (з-н равенства действия и противодействия) устанавливает характер механического взаимодействия между материальными телами. Для двух материальных точек он гласит: две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, противоположные стороны.

Основные виды сил

Сила тяжести. Это постоянная сила , действующая на любое тело, находящееся вблизи земной пов-ти. Модуль силы тяжести равен весу тела: P=mg. Сила трения (силу трения скольжения), действующаю на движущееся тело: _,где f — коэффициент трения; N — нормальная реакция. Сила тяготения -сила, с которой два материальных тела притягиваются друг к другу по закону всемирного тяготения, открытому Ньютоном. Сила тяготения зависит от расстояния и для двух материальных точек с массами m₁ и m₂, находящихся на расстоянии r друг от друга: , где f — гравитационная постоянная. Сила упругости (зависит от расстояния). Ее значение можно определить по закону Гука: F = c l, где l— удлинение (или сжатие) пружины; с — так называемый коэффициент жесткости пружины (в СИ измеряется в Н/м).

16) Теорема об изменении количества движения матер. точки. – количество движения материальной точки, – элементарный импульс силы. – элементарное изменение количества движения материальной точки равно элементарному импульсу силы, приложенной к этой точке (теорема в дифференц-ной форме) или – производная по времени от количества движения материальной точки равна равнодействующей сил, приложенных к этой точке. Проинтегрируем: – изменение количества движения материальной точки за конечный промежуток времени равно элементарному импульсу силы, приложенной к этой точке, за тот же промежуток времени. – импульс силы за промежуток времени [0, t.

Теорема об изменении момента количества движения матер. точки. - момент количества движения матер. точки относительно центра О. – производная по времени от момента количества движения матер. точки относительно какого-либо центра равна моменту силы, приложенной к точке, относительно того же центра.

17) Работа силы. Мощность. Элементарная работа dW = F_tds, F_t – проекция силы на касательную к траектории, направленная в сторону перемещения.

dW= F_xdx+F_ydy+F_zdz – аналитическое выражение элементарной работы силы. Работа силы на любом конечном перемещении М₀М₁: . , т.к. dx= dt и т.д., то .

Теорема о работе силы: Работа равнодействующей силы равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении А=А₁+А₂+…+А_n.

Работа силы тяжести: , > 0, если начальная точка выше конечной.

Работа силы трения: если сила трения const, то - всегда отрицательна, F_тр=fN, f – коэфф.трения, N – нормальная реакция поверхности.

Мощность – величина, определяющая работу в единицу времени, . Если изменение работы происходит равномерно, то мощность постоянна: P=W/t Теорема об изменении кинетической энергии точки. В диффер-ной форме: – полный дифференциал кинетической энергии мат.точки = элементарной работе всех действующих на точку сил. – кинетическая энергия матер.точки. В конечном виде: – изменение кинетической энергии мат.точки, при переходе ее из начального в конечное (текущее) положение равно сумме работ на этом перемещении всех сил, приложенных к точке.

Центр Масс

Материальная система – совокупность материальных точек, движение которых взаимосвязаны. Масса системы = сумме масс всех точек (или тел), образующих систему: М=å m_k. Центр масс (центр инерции) – геометрическая точка, радиус-вектор которой определяется равенством: , где – радиусы-векторы точек, образующих систему. Координаты центра масс: и т.д.

Момент инерции матер.точки относительно некоторой оси называется произведение массы m этой точки на квадрат ее расстояния h до оси: mh². Момент инерции тела (системы) относительно оси Оz: J_z= å m_kh_k². При непрерывном распределении масс (тело) сумма переходит в интеграл: J_x= ò (y²+z²)dm; J_y= ò (z²+x²)dm; J_z= ò (x²+y²)dm – относительно координатных осей

Теорема Гюйгенса-Штейнера момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно оси ей параллельной и проходящей через центр масс тела плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями:

Закон Гука

Растяжение и сжатие

N = s× F

s — нормальное напряжение [Па], 1Па (паскаль) = 1 Н/м²,

10⁶Па = 1 МПа (мегапаскаль) = 1 Н/мм²

N — продольная (нормальная) сила [Н] (ньютон); F — площадь сечения [м²]

e — относительная деформация [безразмерная величина];

DL — продольная деформация [м] (абсолютное удлинение), L — длина стержня [м].

— закон Гука — s = Е× e

Е — модуль упругости при растяжении (модуль упругости 1-го рода или модуль Юнга) [МПа]. Для стали Е= 2× 10⁵МПа = 2× 10⁶ кг/см² (в " старой" системе единиц).

(чем больше Е, тем менее растяжимый материал)

; — закон Гука

EF — жесткость стержня при растяжении (сжатии).

Напряжение при растяжении

s_п— предел пропорциональности, s_т— предел текучести, s_В— предел прочности или временное сопротивление, s_к— напряжение в момент разрыва.

Допускаемое напряжение , s₀— опасное напряжение, n — коэф. запаса прочности. Для пластичных материалов s₀= s_т и n = 1, 5, хрупких s₀= s_В, n = 3.

Линейное напряженное состояние

напряжения по наклонной площадке:

полное:

нормальное: , касательное:

Изгиб, напряжение и расчет

Изгиб

Плоский (прямой) изгиб — когда изгибающий момент действует в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей инерции сечения, т.е. все силы лежат в плоскости симметрии балки. При плоском изгибе в общем случае возникают внутренние силовые факторы: продольная сила N, поперечная сила Q и изгибающий момент М. N> 0, если продольная сила растягивающая; при М> 0 волокна сверху балки сжимаются, снизу растягиваются. .

Слой, в котором отсутствуют удлинения, называется нейтральным слоем (осью, линией). При N=0 и Q=0, имеем случай чистого изгиба. Нормальные напряжения: , r — радиус кривизны нейтрального слоя, y — расстояние от некоторого волокна до нейтрального слоя. Закон Гука при изгибе: , откуда (формула Навье): , J_x — момент инерции сечения относительно главной центральной оси, перпендикулярной плоскости изгибающего момента, EJ_x — жесткость при изгибе, — кривизна нейтрального слоя.