I. Формирование аксиоматического метода

3адание 1. Систематизируйте знания по аксиоматическому методу доказательства математических утверждений.

1. «Аксиоматический метод — способ построения научной теории, при котором в ее основу кладутся некоторые исходные положения (суждения) — аксиомы, или постулаты, из которых все остальные утверждения этой науки (теоремы) должны выводиться чисто логическим путем, посредством доказательств» (БСЭ.- 3-е изд. -1969. - Т. 1. - С. 345).

Так как в традиционной логике одной из форм доказательства было дедуктивное доказательство, т.е. доказательство, когда единичный тезис подводился под общее правило с учетом видов дедуктивного умозаключения и логических правил вывода, то иногда аксиоматический метод называют дедуктивным методом, выделяя тем самым в нем построение доказательств или процесс проведения доказательств.

2. Доказательства «...представляют собой цепочки умозаключений (правильных), ведущих от истинных посылок (исходных для данного доказательства суждений) к доказываемым (заключительным). Истинность посылок не должна обосновываться в доказательстве, а должна каким-либо образом устанавливаться заранее» (БСЭ.-3-е изд.-1977.- Т. 8. - С. 399).

Посредством доказательства удостоверяется истинность или ложность данного суждения.

3. Структура доказательства.

Доказательство включает в себя три основных элемента:

а) Тезис (главная цель доказательства — установить истинность тезиса). Форма выражения тезиса — суждение.

б) Аргументы (основания) доказательства — положения, на которые опирается доказательство и из которых при условии их истинности необходимо следует истинность доказываемого тезиса. Форма выражения аргументов — суждения. Связывая аргументы, приходим к умозаключениям, которые строятся по определенным правилам. Аргументы, на которые можно опереться при доказательстве: аксиомы, определения, ранее доказанные теоремы.

в) Демонстрация — логический процесс взаимосвязи суждений, в результате которого осуществляется переход от аргументов к тезису.

4. Правила доказательства. Они опираются на соответствующие законы.

5. Умозаключение — логическое действие, в результате которого из одного или нескольких известных нам и определенным образом связанных суждений получается новое суждение, в котором содержится новое знание. Существуют различные типы умозаключений:

- индуктивные (процесс рассуждения идет от знания частных фактов к знанию общего правила);

- дедуктивные (рассуждение идет от знания общего правила к знанию о каком-либо единичном, частном факте, на который общее правило распространяется).

6. Под методом доказательства будем понимать способ связи аргументов от условия к заключению суждения. Методы доказательства, используемые в школьном курсе математики, можно выделить по двум основаниям:

- по тому, как строится обоснование тезиса (прямое и косвенное);

- по тому, какой математический аппарат используется для доказательства.

Назовем несколько общих приемов проведения доказательства по первому основанию, т.е. с учетом того, как строится обоснование тезиса.

Прямые приемы поиска доказательства:

а) прием преобразования условия суждения (синтетический);

б) прием преобразования заключения суждения:

- отыскание достаточных оснований справедливости заключения (восходящий анализ);

- отыскание необходимых признаков справедливости суждения с последующей проверкой обратимости рассуждений (нисходящий анализ);

в) прием последовательного преобразования то условия, то заключения суждения.

Косвенные приемы поиска доказательства:

а) «метод от противного» (истинность доказываемого тезиса устанавливается посредством опровержения противоречащего ему суждения);

б) разделительный (тезис рассматривается как один из возможных вариантов предположений, когда все предположения отвергаются, кроме одного).

Методы доказательства, выделенные по второму основанию, т.е. когда способ связи аргументов согласуется с определенной математической теорией в школьном курсе математики, следующие:

а) метод геометрических преобразований, при реализации которого наряду с логической основой используется аппарат геометрических преобразований;

б) алгебраические методы (уравнений, неравенств, тождественных преобразований);

в) векторный, использующий аппарат векторной алгебры;

г) координатный, позволяющий устанавливать переход от геометрических отношений к аналитическим.

При доказательстве математических утверждений используются разные математические методы. Иногда интересно проверить силу и оригинальность разных методов для доказательства одного и того же утверждения.

3адание 2. Докажите разными методами, что в равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам. равны.

1 способ. Дедуктивный (рис. 16)

Дано: равнобедренный, АС — основание, АЕ и СК — медианы.

Доказать: АЕ=СК.

Доказательство. Так как равнобедренный с основанием АС, то (по определению равнобедренного треугольника) и (по свойству углов при основании равнобедренного треугольника). Так как CK — медиана, то АВ=2АК (по определению медианы). Аналогично BC=2CE. Из того, что AB=BC, АВ=2АК, ВС=2СЕ, следует, что АК=СЕ. В треугольниках АКС и СЕА имеем АК=CЕ, АС=АС (общая сторона двух треугольников), . Эти треугольники равны (по двум сторонам и углу между ними). Отсюда АЕ=СК (по определению равных треугольников).

2 способ. Векторный (рис. 17).

Введем векторы: . Тогда

Так как равнобедренный, то АВ=ВС, т.е.

Следовательно, тогда а значит, АЕ=СK.

3 способ. Координатный (рис. 18).

Введем систему координат. Ось х проходит по стороне АС, ось у — по высоте, проведенной к основанию. Тогда вершины треугольника будут иметь следующие координаты:

Так как отрезки АЕ и СК — медианы, то точки К и Е — середины отрезков АВ и СВ. Тогда точки Е и К будут иметь следующие координаты:

. Найдем длины отрезков АЕ и СК:

;

Длины отрезков АЕ и СК равны, значит, и сами отрезки равны. Анализируя каждый из способов доказательства, нетрудно выяснить, что в основе каждого из них объективно лежит логическая основа доказательства; поэтому научить понимать дедуктивное доказательство и овладевать приемами его поиска и выполнения есть одна из существенных особенностей обучения курсу математики.

Для того чтобы учащиеся овладели прямым и косвенным доказательствами, необходимо сформировать у них определенную последовательность умений.

Умение доказывать — сложное умение, оно состоит из

умения искать доказательство (анализировать утверждение); получать продуктивные следствия из условия; выяснять условия, при которых возможно заключение; высказывать правдоподобную гипотезу и т.п.;

умения проводить доказательство (на основе полученной гипотезы, возникшей как результат поиска доказательства), выполнять последовательность умозаключений и обосновывать правомерность полученных выводов;

умения оформлять доказательство теоремы.

Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8910 11 12 13 14 15 16 17 Следующая