Условия равновесия плоской системы сил. Три формы условий.

Необходимые и достаточные условия равновесия любой системы сил даются равенствами , выражаемыми формулами. Найдем вытекающие отсюда аналитические условия равновесия плоской системы сил. Их можно получить в трех различных формах.

1. Основная форма условий, равновесия. Так как вектор равен нулю, когда равны нулю его проекции R_x и R_-_y, то для равновесия должны выполняться равенства R_x=0, R_y=0 и , где в данном случае М_о — алгебраический момент,. (29) 2. Вторая форма условий равновесия: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех этих сил относительна каких-нибудь двух центров А и В и сумма их проекций на ось Ох, не перпендикулярную прямой AВ, были равны нулю: (30

3. Третья форма условий равновесия (уравнения трех моментов): для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех этих сил относительно любых трех центров А, В и С, не лежащих на одной прямой, были равны нулю: (31).

Во всех рассмотренных случаях для плоской системы сил получаются три условия равновесия. Условия (29) считаются основными, так как при пользовании ими никаких ограничений на выбор координатных осей и центра моментов не налагается.

11) Центр Тяжести Центр тяжести твердого тела – точка, неизменно связанная с этим телом, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести частиц тела при любом положении тела в пространстве. При этом поле тяжести считается однородным, т.е. силы тяжести частиц тела параллельны друг другу и сохраняют постоянную величину при любых поворотах тела. Координаты центра тяжести:

; ; , где Р=å р_k, x_k, y_k, z_k – координаты точек приложения сил тяжести р_k. Центр тяжести – геометрическая точка и может лежать и вне пределов тела (например, кольцо). Центр тяжести плоской фигуры:

, DF_k – элементарная площадка, F – площадь фигуры. Если площадь нельзя разбить на несколько конечных частей, то . Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.

12) Скорость задания точки. Траектория, скорость, ускорение точки при векторном и координатном способах задания движения.

Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения. Если движение точки задано координатным способом: x = f₁(t), y = f₂(t), z = f₃(t), то скорость точки определяется по ее проекциям на оси координат. По формуле разложения вектора на оси имеем r = i ·r_x + j ·r_y + k ·r_z. Но r_x = x, r_y = y, r_z = z, поэтому r = i ·x + j ·y + k ·z, где x, y, z - координаты движущейся точки. Разложив вектор скорости v получим v = i ·v_x + j ·v_y + k ·v_z, где v_x, v_y, v_z - проекции скорости на оси координат..

Величина вектора скорости

направление вектора скорости может быть определено по направляющим косинусам углов, составляемых им с осями координат:

вектор ускорения . Используя формулу разложения вектора a на оси, можно написать величина вектора ускорения равна , а направление вектора a задается косинусами углов, составляемых им с осями координат: , .

13. Траектория, скорость, ускорение точки при естественном способе задания движения.

Естественный сп. указывается траектория точки, закон ее движения по этой траектории, начало и направление отсчета дуговой координаты: s=f(t) – закон движения точки. При прямолинейном движении: х=f(t).

При естественном сп.: – модуль скорости,

При естественным сп. задания движения полное ускорение раскладывают на нормальное и касательное (тангенциальное) ускорения: . Модуль нормального ускорения: , r – радиус кривизны траектории, нормальное ускорение направлено по нормали к траектории (^ к касательной) всегда к центру кривизны, т.е. в сторону вогнутости. Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Модуль касательного ускорения , направлено по касательной к траектории, либо в сторону скорости, либо в обратную. Касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине. При ускоренном движ-ии направление касат. уск. и скорости совпадают, при замедленном – противоположно. ^ , Þ .

14) Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси!

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу, остаются все время движения неподвижными. Проходящая неподвижные точки А и В прямая АВ называется осью вращения.

Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость угла j от времени t, т. е. j = f (t)

Данное уравнение выражает закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость w и угловое ускорение e. w = dj/dt или

. e = dw/dt = d² j/dt² или

Аксиомы Динамики

Аксиомы динамики точки.

1 закон (закон инерции): изолированная от внешних воздействий материальная точка сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока приложенные силы не заставят ее изменить это состояние. Движение, совершаемое точкой при отсутствии сил, называется движением по инерции.

2-ой закон (основной закон динамики) устанавливает, как изменяется скорость точки при действий на нее какой-нибудь силы, а именно: произведение массы материальной точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы. Математически этот закон выражается векторным равенством Если на точку действует одновременно несколько сил, то они, будут эквивалентны одной силе, т. е. равнодействующей R, равной геометрической сумме данных сил. Ур-е, выражающее основной з-н динамики принимает вид или .

3-й закон (з-н равенства действия и противодействия) устанавливает характер механического взаимодействия между материальными телами. Для двух материальных точек он гласит: две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, противоположные стороны.

Основные виды сил

Сила тяжести. Это постоянная сила , действующая на любое тело, находящееся вблизи земной пов-ти. Модуль силы тяжести равен весу тела: P=mg. Сила трения (силу трения скольжения), действующаю на движущееся тело: _,где f — коэффициент трения; N — нормальная реакция. Сила тяготения -сила, с которой два материальных тела притягиваются друг к другу по закону всемирного тяготения, открытому Ньютоном. Сила тяготения зависит от расстояния и для двух материальных точек с массами m₁ и m₂, находящихся на расстоянии r друг от друга: , где f — гравитационная постоянная. Сила упругости (зависит от расстояния). Ее значение можно определить по закону Гука: F = c l, где l— удлинение (или сжатие) пружины; с — так называемый коэффициент жесткости пружины (в СИ измеряется в Н/м).

16) Теорема об изменении количества движения матер. точки. – количество движения материальной точки, – элементарный импульс силы. – элементарное изменение количества движения материальной точки равно элементарному импульсу силы, приложенной к этой точке (теорема в дифференц-ной форме) или – производная по времени от количества движения материальной точки равна равнодействующей сил, приложенных к этой точке. Проинтегрируем: – изменение количества движения материальной точки за конечный промежуток времени равно элементарному импульсу силы, приложенной к этой точке, за тот же промежуток времени. – импульс силы за промежуток времени [0, t.

Теорема об изменении момента количества движения матер. точки. - момент количества движения матер. точки относительно центра О. – производная по времени от момента количества движения матер. точки относительно какого-либо центра равна моменту силы, приложенной к точке, относительно того же центра.

17) Работа силы. Мощность. Элементарная работа dW = F_tds, F_t – проекция силы на касательную к траектории, направленная в сторону перемещения.

dW= F_xdx+F_ydy+F_zdz – аналитическое выражение элементарной работы силы. Работа силы на любом конечном перемещении М₀М₁: . , т.к. dx= dt и т.д., то .

Теорема о работе силы: Работа равнодействующей силы равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении А=А₁+А₂+…+А_n.

Работа силы тяжести: , > 0, если начальная точка выше конечной.

Работа силы трения: если сила трения const, то - всегда отрицательна, F_тр=fN, f – коэфф.трения, N – нормальная реакция поверхности.

Мощность – величина, определяющая работу в единицу времени, . Если изменение работы происходит равномерно, то мощность постоянна: P=W/t Теорема об изменении кинетической энергии точки. В диффер-ной форме: – полный дифференциал кинетической энергии мат.точки = элементарной работе всех действующих на точку сил. – кинетическая энергия матер.точки. В конечном виде: – изменение кинетической энергии мат.точки, при переходе ее из начального в конечное (текущее) положение равно сумме работ на этом перемещении всех сил, приложенных к точке.

Центр Масс

Материальная система – совокупность материальных точек, движение которых взаимосвязаны. Масса системы = сумме масс всех точек (или тел), образующих систему: М=å m_k. Центр масс (центр инерции) – геометрическая точка, радиус-вектор которой определяется равенством: , где – радиусы-векторы точек, образующих систему. Координаты центра масс: и т.д.

Момент инерции матер.точки относительно некоторой оси называется произведение массы m этой точки на квадрат ее расстояния h до оси: mh². Момент инерции тела (системы) относительно оси Оz: J_z= å m_kh_k². При непрерывном распределении масс (тело) сумма переходит в интеграл: J_x= ò (y²+z²)dm; J_y= ò (z²+x²)dm; J_z= ò (x²+y²)dm – относительно координатных осей

Теорема Гюйгенса-Штейнера момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно оси ей параллельной и проходящей через центр масс тела плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями:

123	Поделиться: