Ассоциативность умножения матриц

Ассоциативность умножения матриц

Пусть А, В и С – три матрицы, для которых произведения АВ и ВС имеют смысл. Тога произведения АВ и ВС имеют также имеют смысл и имеет месте равенство:

(АВ)С=А(ВС)

Некоммутативность умножения матриц

• Для матриц вообще говоря

А*В ≠ В*А

Многочлен от матрицы.

Если А - квадратная матрица n-го порядка и

- многочлен m – й степени с вещественными коэффициентами, то выражение

называется многочленом от матрицы А

5. Транспонирование матриц. Единичная матрица. Простейшие св-ва и примеры.

Транспонирование матриц – замена строк матрицы на её столбцы, а столбцов – на строки.

Единичная матрица – Е квадратная матрица, все диагональные элементы которой единицы, а остальные – нули.

А*E=E*A=A

Определители.

8. Определителем матрицы n-го порядка называется алгебраическая сумма всех произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца и снабженных знаком «+» или «-» по определённому правилу.

Св-ва:

1.Умножение некоторой строки (столбца) матрицы определителя на некий коэффициент равносильно умножению самого определителя на этот коэффициент.

2.Если все элементы некоторой строки (столбца) матрицы равны нулю, то и определитель равен нулю.

3.Определитель не меняется при транспонировании (свойство равноправности строк и столбцов матрицы).

4.При перестановке двух строк (столбцов) местами определитель меняет знак на противоположный.

5.Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

6.Определитель с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю

7.Если в определителе некоторая строка есть сумма двух других строк, то определитель равен сумме двух определителей с этими строками, а все остальные строки этих определителей равны строкам исходного определителя.

8.Если к некоторой строке (столбцу) определителя прибавить другую строку (столбец), умноженную на произвольное число, то величина определителя не изменится.

9.Определитель верхнетреугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

10.Алгоритм вычисления определителя. Матрица определителя приводится элементарными преобразованиями над строками (или столбцами) к верхнетреугольному виду. Вычисляется определитель полученной матрицы с учетом сделанных преобразований.

11.Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на их алгебраические дополнения равна этому определителю

12.Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю

14.Определитель ступенчатой матрицы равен произведению определителей матриц, являющихся диагональными клетками исходной матрицы.

15.Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц, т.е.

Теория перестановок.

-Мы говорим, что два числа образуют инверсию, если большее число из нашей пары предшествует меньшему. Число пар, образующих инверсию, называется числом инверсий перестановки.

-Перестановка называется четной, если она содержит четное число инверсий, и называется нечетной в противном случае.

-При выполнении одной транспозиции перестановка переходит в перестановку проти

12. Элементарными преобразованиями над строками (столбцами) матрицы называют:

1) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля,

2) прибавление к одной строке (столбцу) другой, умноженной на любое число,

3) перемена местами двух строк (столбцов).

воположного наименования, т.е. четная – в нечетную и наоборот.

15. Алгебраическим дополнением А_{i j}элемента а_{i, j} называется следующий определитель n-го порядка

Разложение определителя по строке – определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения. ( а11 А11+а12 А12 и т д)

16. Минором M_{i j}элемента матрицы a_{i, j}определителя n-го порядка, называется определитель(n-1)-го порядка, получающийся из исходного определителя вычеркиванием i- й строки и j-го столбца.

справедливо равенство:

Минор r-го порядка матрицы.

Пусть А=(а_{i, j}) произвольная матрица. В данной матрице выбираем произвольные r строк и r столбцов и строим из них квадратную матрицу размера r*r. Определитель такой матрицы и называется минором r-го порядка матрицы А.

18. Рангом r матрицы А=(a_{i, j}) называется целое число r, такое, что среди миноров r-го понядка матрицы А имеется хотя бы один, отличный от нуля, а все миноры (r+1)-го порядка равны нулю или их нет.

Св-ва:

• если к матрице приписать строку или столбец из нулей, то ранг исходной матрицы не изменится.

• если в матрице все миноры k-го порядка равны нулю, то равны нулю и все миноры (k+1)-го порядка (если они существуют).

• при элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется.

Алгоритм вычисления ранга матрицы – приведение к верхне треугольному виду.

Взаимная матрица

- матрица, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов транспонированной матрицы. Из определения следует, что присоединённая матрица рассматривается только для квадратных матриц и сама является квадратной, ибо понятие алгебраического дополнения вводится для квадратных матриц.

Обратная матрица.

Квадратная матрица А называется обратимой – если найдется квадратная матрица В, что выполняются равенство A*B=B*A=E

В этом случае матрица B назывется обратной к матрице А и обозначается B = A ^-1

Для того чтобы для матрицы А существовала обратная, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А был отличен от нуля, т.е. А - невырожденная матрица. При этом:

Определитель Вандермонда.

Матричный вид данных равенств:

26. Решением (одним) СЛУ называется последовательность чисел

удовлетворяющая всем уравнениям системы

Матричная запись

СЛУ называется СОВМЕСТНОЙ, если у неё имеется хотя бы одно решение, в противном случае СЛУ называется НЕСОВМЕСТНОЙ.

Совместная СЛУ называется ОПРЕДЕЛЁННОЙ, если она имеет одно единственное решение и НЕОПРЕДЕЛЁННОЙ в противном случае.

Две системы называются РАВНОСИЛЬНЫМИ, если их множество решений совпадают.

Метод Гаусса решения СЛУ

Метод Гаусса заключается в приведении расширенной матрицы данной СЛУ элементарными преобразованиями над строками, к некоторому специальному виду (почти трапециевидному)- прямой ход схемы Гаусса, и нахождению затем множества решения системы с полученной расширенной матрицей (эта система равносильна исходной)-обратный ход схемы Гаусса.

Теорема Кронекер-Капелли

Система линейных уравнений совместна (т.е. имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы системы

*На «языке» векторных пространств:

СЛУ совместна тогда и только тогда, когда подпространство порождённое столбцами матрицы коэффициентов совпадает с подпространством, порождённым столбцами расширенной матрицы системы,

Теорема о числе решений

Пусть дана совместная СЛУ от n неизвестных с матрицей коэффициентов ранга r .

Тогда:

1. если r = n , то система имеет единственное решение;

2. если r < n , то система имеет бесконечно много решений, причем ( n – r) неизвестным можно присвоить произвольные значения, а остальные r неизвестных выражаются через них единственным образом.

Однородные СЛУ

Пусть дана однородная СЛУ от n неизвестных с матрицей коэффициентов ранга r .

Тогда:

Все решения линейной однородной системы являются линейными комбинациями линейно независимых ( n - r) решений.

2. Множество всех решений однородной СЛУ образует подпространство в пространстве Rⁿ размерности ( n – r).

Пример нахождения отношений бюджетов стран для сбалансированности их медж. торговли.

Дана структурная матрица торговли.
Найти соотношения бюджетов торгующих стран при условии, что торговля будет бездефицитной.
РЕШЕНИЕ: Находим собственные векторы структурной матрицы торговли для собственного числа, равного 1.

из условия без дефицитности следует:

Векторные пространства

39. Определение и примеры векторных пространств.

Векторным или линейным пространством V над полем F =( R ) называют множество объектов V, в котором определено действие «сложения» элементов и действие «умножения» на элементы поля F, причем выполняются условия:

пр-во матриц размера m*n

Критерий Сильвестра

Задача о паре форм.

Ассоциативность умножения матриц

(АВ)С=А(ВС)

12 3	Поделиться: