Матрицы. Основные свойства и операции. Решение уравнений.

Пример:

Матрицей называют прямоугольную таблицу, составленную из каких – либо математических объектов (элементов), в простейшем случае – из чисел. Принятое обозначение:

В общем случае числа строк m и столбцов n произвольны и определяют размер матрицы, обозначаемый ( m n ). Если строка одна, А = (а₁₁, а₁₂, …, а₁_n) – матрица-строка; аналогично определяется матрица–столбец (размеры – ( 1 n ) и ( m 1 ) соответственно).

Если число строк равно числу столбцов – квадратная матрица порядка n. Квадратной матрице А соответствует определитель, обозначаемый D_А (или D_А ). Если D_А ¹ 0, матрица А называется невырожденной (неособой), если D_А = 0, то А – вырожденная (особая) матрица.

Если в квадратной матрице А поменять местами столбцы и строки, то получим новую матрицу, обозначаемую А* и называемую траспонированной (сама операция замены называется траспонированием). Квадратная матрица, у которой все элементы (кроме, может быть, стоящих по главной диагонали, идущей из левого верхнего в правый нижний угол) равны нулю, называется диагональной. Такая матрица, если все диагональные элементы равны единице, называется единичной и обозначается буквой Е. Нулевой называют матрицу, все элементы которой равны нулю.

Квадратную матрицу, в которой а_ij = a_ji называют симметрической (такая матрица совпадает со своей транспонированной, т.е. А = А* ).

Две матрицы А и В считаются равными (А = В) тогда и только тогда, когда равны их соответственные элементы, т.е. а_mn = b_mn.

Матрицы одинакового размера можно складывать, получая новую матрицу того же размера по формуле:

(1.11)

Произведением числа a на матрицу А называют матрицу определяемую

равенством: (1.12)

Умножение матриц возможно в том случае, если число столбцов умножаемой матрицы равно числу строк матрицы множителя. Размер матрицы-произведения определяется соотношением ( m n ) ( n k )=( m k ). Произведение матриц А и В, обозначаемое АВ находят по правилу:

(1.13)

т.е. элемент матрицы – произведения, стоящий в i – й строке и к – ом столбце, равен сумме произведений соответственных элементов i – й строки матрицы А и к – ого столбца матрицы В. Пример:

Отметим, что переместительный закон для произведения матриц в общем случае не выполняется: АВ ¹ ВА.

Аналогично понятию обратного числа (произведение числа на число обратное равно единице: а × а^–1 = 1 ) вводится понятие обратной матрицы А^–1.

А × А^–1 = Е, где Е – единичная матрица.

Обратную матрицу имеет всякая невырожденная квадратная матрица, причем:

где А_mn – алгебраическое дополнение элемента матрицы а_mn (см. (1.4.))

Альтернативный способ вычисления А^-1 приведён в разделе (1.4.3)

Определение операции умножения матриц позволяет предложить матричный способ решения системы линейных уравнений.

Систему уравнений можно представить в матричной форме АХ = В, где

Если DА ¹ 0, то решение системы запишется в виде Х = А^–1В т.е. для нахождения матрицы – столбца неизвестных надо умножить обратную матрицу системы на матрицу-столбец свободных членов.

Тесты

1. Размер матрицы это:

1) m + n; 2) m х n; 3) ; 4) m: n.

где m – число строк и n – число столбцов.

2. Особая (вырожденная) матрица это:

1) прямоугольная матрица с нулевым столбцом (строкой);

2) квадратная матрица с «нулевой» диагональю;

3) квадратная матрица, определитель которой равен нулю;

4) матрица, все элементы которой равны.

3. Транспонировать матрицу А (найти А^Т) это значит:

1) поменять местами соседние строки;

2) поменять местами диагонали;

3) поменять местами соседние столбцы;

4) поменять местами столбцы и строки.

4. Как складывать матрицы и

1) ;

2) ;

3) .

5. Как умножить матрицу на a?

1) ; 2) ; 3) .

6. Как умножают матрицы А и В?

1) ;

2) ;

3) .

7. Какие матрицы можно перемножать?

1) любые; 2) квадратные; 3) одного размера; 4) согласованные.

8. Обратную матрицу А^-1 имеет:

1) любая квадратная матрица;

2) нулевая матрица;

3) особая (вырожденная) матрица;

4) не особая (не вырожденная) матрица.

9. Обратная к матрице вычисляется по правилу:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

10. Система линейных уравнений, записанная в матричной форме А× Х = В, где А – матрица коэффициентов при неизвестных системы уравнений; Х – матрица-столбец неизвестных; В – матрица-столбец свободных членов решается так:

1) Х = А^-1× В; 2) Х = В× А^-1; 3) Х = В× А; 4) Х = В^-1× А;

12 3 4 5