Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы и математические действия с ними

Определители и их свойства

Системы линейных алгебраических уравнений.

Формулы Крамера.

Общий алгоритм решения системы линейных уравнений

Матричный метод решения линейной системы.

Понятие о приближенных методах решения линейных систем

Линейное, евклидово и нормированное пространства.

Линейные операторы и матрицы

Задача о собственных значениях

Свойства симметрических матриц

Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду

Векторная алгебра

В этом разделе рассматриваются основные действия с векторами, изучаемыми в курсе математики технического ВУЗа и применяемыми в специальных дисциплинах.

Линейные операции над векторами

Скалярное произведение векторов

Векторное произведение векторов

Смешанное произведение векторов

Типовые задачи, решаемые средствами векторной алгебры

Аналитическая геометрия.

Отличительной особенностью разделов аналитической геометрии является принцип манипулирования с формулами, истолковывая действия как геометрические преобразования некоторых геометрических объектов. Важно усвоить этот принцип и тогда решение задач принимает простой и интересный процесс.

Уравнение линий и поверхностей

Уравнение 1-й степени на плоскости

Уравнения первой степени в пространстве

Уравнения 2-й степени на плоскости

Уравнения 2-й степени в пространстве

Цилиндры и поверхности вращения

Упрощение кривых 2-го порядка

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Определители и их свойства

Определителем квадратной матрицы А называют число, символически обозначаемое в компактном виде det(A) или (А). В развернутом виде определитель записывают так .

Число n называют порядком определителя.

Если в определителе вычеркнуть строку i и столбец j, то останется определитель порядка n-1. Этот определитель называют минором элемента a_ij и обозначают М_ij.

Если минор М_ij умножить на (1)^i+j, то полученный результат называют алгебраическим дополнением элемента a_ij. и обозначают Аij.

Для вычисления определителя используют формулу (рекуррентную) (А)=

Пример 1. 1. Вычислить определители

Решение. Для первого определителя имеем или

. Заметим, что мы воспользовались двумя различными схемами, так как схема в определении не оговаривается. Результат, естественно, одинаков.

При вычислении определителя во втором случае мы используем обнаруженный факт. И потому увидим, что для вычисления удобно использовать третий столбец элементов. Причина в том. что при этом сумма из определения на первом шаге будет содержать только одно слагаемое. В самом деле

= =

= . Из этих примеров вытекает начальный простой алгоритм вычисления определителя:

1-й шаг - просмотри ряды определителя и выбери тот, в котором много нулей;

2-й шаг - используя определение, запиши сумму для вычисления (раскрой определитель по элементам выбранного ряда); получишь n определителей порядка n-1 в каждом слагаемом;

3-й шаг - для каждого из полученных определителей выполни п.п. 1, 2, 3.

Для дальнейшего упрощения вычислений рассмотрим несколько свойств определителя.

С1. При замене строк определителя соответствующими столбцами (транспонировании) определитель не меняется.

Для доказательства достаточно представить факт транспонирования и затем раскрыть определитель по выбранному ранее ряду.

С2. Все свойства определителя, справедливые для строк, справедливы и для столбцов.

С3. При перестановке двух параллельных рядов местами определитель сменит знак.

Для доказательства, не нарушая общности, проделаем указанное с определителем 2-го порядка. Легко видеть это свойство справедливо. Для произвольного определителя достаточно подсчитать количество смен знаков при перестановке соседних рядов.

С4. Определитель с нулевым рядом равен нулю.

Для доказательства достаточно раскрыть определитель по нулевому ряду, используя определение.

С5. Определитель, у которого два параллельных ряда равны, равен нулю.

Для доказательства переставим местами равные ряды. Тогда по С3 определитель сменит знак. Но он при этом не изменится. Такое возможно только если он равен нулю.

С6. В определителе, у которого элементы ряда имеют общий множитель, этот множитель можно вынести за знак определителя.

Если раскрыть определитель по указанному ряду, то этот множитель можно будет вынести за знак суммы. Затем оставшуюся сумму легко развернуть в определитель, в котором общий множитель будет вынесен за знак определителя.

Пример 1.2.

=2 = =-4* =-8*11=-88.

Отметим, что после первого знака равенства был вынесен множитель только из 1-й строки. Из второго столбца вынести ничего при этом нельзя, т.к. а₁₂ уже стал равным 1. Далее по определению был раскрыт определитель по 1-й строке. После чего в полученном определителе 2-го порядка можно вынести множитель 2 из 2-го столбца. При этом знак слагаемого установлен устно во всех случаях.

С7. Определитель, у которого элементы двух параллельных рядов соответственно пропорциональны, равен нулю.

Достаточно из одного из пропорциональных рядов вынести общий множитель и в оставшемся определителе окажется два равных ряда. Далее смотри С5.

С8. Если все элементы некоторого ряда представить как сумму двух слагаемых, то определитель будет равен сумме двух определителей, у которых вместо ряда-суммы будут стоять ряды слагаемых из сумм. Остальные ряды будут одинаковы.

Для доказательства достаточно раскрыть определитель по ряду, состоящему из суммы дыух слагаемых. Затем полученную по определению сумму представить как сумму двух слагаемых, каждое из которых есть соответствующий определитель.

С9. Если к некоторому ряду поэлементно прибавить параллельный ряд, умноженный на некоторое число, то определитель не изменится.

Доказательство следует из С8 и С7.

С10. Сумма произведений элементов ряда на алгебраические дополнения параллельного ряда равна нулю.

При составлении алгебраических дополнений элементов параллельного ряда сами элементы в работе не участвуют. Значит вместо них можно взять что угодно, даже и нули(или элементы ряда, по которому производят раскрытие определителя). В любом случае (по С4 или С5) определитель станет равным нулю.

С11. Можно рекомендовать вычислять определитель 2-го порядка по правилу - произведение элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.

Указанные свойства удобно использовать при вычислении, анализируя состав элементов. Более практичным является прием “изготовления” нулей, используя указанные свойства. В последнем случае придерживаются алгоритма:

- проанализируйте элементы на наличие числа (1 или -1 или другого небольшого числа);

- пусть имеется 1 в строке k и столбце s;

- составляем новый определитель, у которого строка k взята из исходного определителя;

- последовательно умножаем все элементы строки k на некоторые множители и поэлементно складываем с параллельными строками так, чтобы в столбце s во всех строках (кроме строки k) образовались нули;

- раскрываем определитель по элементам столбца s (т.к. в нем только один элемент a_ks отличен от нуля).

Внимание! Строка k в процессе работы не изменяется, как всякий инструмент, на острие которого расположен рабочий элемент a_ks.

Пример 1.3. Вычислите определитель

Поясним выполненное. Первая строка умножена на -1 и сложена поэлементно с остальными. Теперь раскрываем определитель по 1-му столбцу. После чего из 2-го строки можно вынести множитель (y-x), из 3-ей строки (z-x) и из 4-й вынести (t-x). Получаем в результате

(y-x) (z-x)(t-x) Если теперь 2-ю строку умножить на -1 и сложить поэлементно с остальными то получим

= (y-x)(z-x)(t-x) Если теперь раскрыть определитель по 2-му столбцу, а затем вынести из 2-й строки множитель (z-y) и из 3-й строки множитель (t-y), то получим

(y-x) (z-x)(t-x)(z-y)(t-y) =(y-x)(z-x)(t-x)(z-y)(t-y)(t-z). Другими приемами вычисление результата в таком простом виде практически нереализуемо. А применяется этот определитель Ван-дер-Монда очень широко.

Отметим, что для вычисления определителей 3-го порядка исполь-зуют частное правило “треугольников”, неприменимое в общем случае.

Определение. Квадратную матрицу, определитель которой не равен нулю, называют невырожденной.

1- В противном случае матрицу называют вырожденной

Формулы Крамера

Теорема. Если матрица линейной системы невырождена, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам , где j - определитель, полученный из заменой столбца j матрицей-столбцом свободных членов; j=1, 2, 3,..., m.

Доказательство. Пусть матрица в системе (1) квадратная размерности mm. Умножим в системе первое уравнение на А₁₁, 2-е - на А₂₁ и т.д. последнее - на А_m1. Затем суммируем отдельно левые и правые части всех уравнений. Получим после группировки по общим множителям x_j слева x₁(a₁₁A₁₁+a₂₁A₂₁+...+a_m1A_m1)+x₂(a₁₂A₁₁+a₂₂A₂₁+...+a_m2A_m1)+...

+ x_ь(a₁_ььA₁₁+a₂_ьA₂₁+...+a_m_ьA_m1), а справа b₁A₁₁+b₂A₂₁+...+b_mA_m1. В первой скобке записан определитель , вычисленный по элементам 1-го столбца. Во 2-й скобке записан нуль по С10, т.к. там записана сумма произведений 2-го столбца на алгебраические дополнения 1-го столбца. Аналогично записана для остальных скобок слева. А справа записано выражение для этого же определителя, первый столбец которого заменен столбцом свободных членов системы. Таким образом получаем равенство x₁ = ₁. Откуда получаем . Теперь можно повторить весь процесс для алгебраических дополнений 2-го столбца. И получим требуемое утверждение теоремы.

Частный случай - однородная система линейных уравнений

всегда имеет решение Х=(0 0...0)^Т, которое называют тривиальным.

Перейдем к другим возможным ситуациям.

Векторная алгебра

2.1.Линейные операции над векторами

(Обзор и дополнения)

Определение. Вектором в математике принято называть направленный отрезок.

Обозначают вектор либо , либо , если использовать его начало А и конец В (порядок букв в записи не нарушать).

Вектор характеризуют направлением и длиной (модулем). Последний обозначают или просто АВ.

В приложениях векторной алгебры используют три вида векторов: сободные (только они изучаются в данном разделе), которые остаются неизменными при параллельном переносе; скользящие (физика), которые можно перемещать только вдоль их линии приложения и связанные (теоретическая механика), которые рассматривают только для точки их приложения.

Для свободных справедливо = , если точки А и С совпадают как и точки В и D. Фактически, это – определение равных векторов.(действие, операция равенства).

Договоримся (определим) называть суммой двух векторов вектор, соединяющий начало одного слагаемого с концом второго, при условии, что начало второго совпадает с концом первого(правило треугольника).

Можно определить сумму векторов по правилу параллелограмма. Первое определение оказывается более удобным при суммировании большого числа векторов. Оно же удобно при построении векторных диаграмм при расчете электрических цепей переменного тока.

Противоположными будем называть векторы, совпадающие своими концами, но направленные в разные стороны.

Если векторы расположены параллельно одной прямой, то их называют коллинеарными.

Произведением вектора на константу с называют вектор, модуль которого равен с и который коллинеарен вектору . При этом при положительном с направления и с совпадают, при отрицательном – направления противоположны.

Определение. Линейной комбинацией векторов называют выражение = + + +…+ . - некоторые действительные константы. Это - обобщение линейных операций.

Определение. Векторы называют линейно-независимыми, если их линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты линейной комбинации равны нулю.

В противном случае векторы называют линейно-зависимыми. В этом случае один из них можно представить линейной комбинацией остальных, т.к. уравнение + + +…+ =0 оказывается разрешимым относительно вектора, перед которым записан ненулевой коэффициент.

Определение. Множество линейно-независимых ненулевых векторов называют векторным базисом.

В этом случае имеется возможность любой вектор, который не входит в базис представить линейной комбинацией базисных векторов. Коэффициенты такой линейной комбинации называют координатами вектора в данном базисе. Для пространства и плоскости такое действие в физике называют разложением вектора по направлениям составляющих векторов. В математике – разложением по базису (в базисе) Рис 2.1.

Рис 2.1. Разложение вектора в базисе и .

Если анализировать разложение на Рис 2.1, то видно, что = , а = из условия коллинеарности. И тогда по правилу параллелограмма при суммировании получаем = + = + - о чем и было сказано выше.

Наиболее простым и широко распространенным является декартов базис – три взаимно перпендикулярных вектора , , , такие что = = =1. Если с этими векторами связать соответственно координатные оси Ох, Оу, Oz и расположить их общее начало в точке О, то и будет получен декартов базис. Это очень удобно, т.к. термин “координаты векторa” в таком базисе совпадает с термином “координаты точки”. Следует быть осторожным в использовании этих терминов, т.к. оба они полностью совпадают только для радиуса-вектора , начало которого всегда в точке О. В новых терминах запишем обозначение вектора в декартовом базисе =a_x +a_y +a_z . Или в компактном виде

( a_x; a_y; a_z)

Используя разложение вектора в декартовом базисе (далее будем говорить – координатную форму вектора или просто координаты вектора), найдем модуль вектора как диагональ прямоугольного параллелепипеда = . А, используя действие умножения вектора на действительное число, получим единичный вектор направления вектора . Его обозначим . И он равен = (a_x +a_y +a_z )= Cos + Cos + Cos . Координаты единичного вектора называют направляющими косинусами. Направляющие косинусы обладают важным свойством

Cos² +Cos² +Cos² =1, т.к. сумма слева есть длина единичного вектора. Это свойство обобщает известное основное тригонометрическое тождество.

Отметим попутно важное практическое правило – линейные операции, выполняемые над векторами, эквивалентны тем же операциям, выполненным над соответствующими координатами векторов.

Это правило удобно применять, если возникает вопрос о том, будет ли данный набор векторов образовывать базис, а также при разложении вектора, заданного в декартовом базисе по произвольному базису из векторов, заданных своими декартовыми координатами.

Аналитическая геометрия.

Отличительной особенностью разделов аналитической геометрии является принцип манипулирования с формулами, истолковывая действия как геометрические преобразования некоторых геометрических объектов. Важно усвоить этот принцип и тогда решение задач принимает простой и интересный процесс.

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Предыдущая12 3 4 5 6 7 Следующая