Нахождение обратной матрицы.

Обратную матрицу можно найти по следующей формуле: , где – определитель матрицы ( не должен = 0 ), – транспонированная матрица

! алгебраических дополнений ( смотри в тетрадке )! соответствующих элементов матрицы. При этом должно выполняться условие = = E ( единичная матрица )

Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц, матриц «два на два», «три на три» и т.д.

(|A| найти по первой строке )

Ранг матрицы.

Ранг матрицы – количество ненулевых строк. С помощью элементарных преобразований свести к ступенчатому виду. Количество ненулевых строк и будет рангом матрицы.

Пример смотреть в тетрадке.

Определители и их свойства.

Любой квадратной матрице можно поставить в соответствие выражение, которое называется определителем ( детерминантом ).

2х2:

Х3

По первой строке: ( также можно по 1-ому столбцу ) – универсальный метод, запомнить!

Правило Сариуса:

Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии:

Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс».

Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус:

Пример:

Свойства определителей:

1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером, то есть

2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1, то есть

3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k, то есть

5. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю. 123

6. Определитель равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.

( По любой строке или столбцу )

Решение СЛАУ методом Крамера, методом Гаусса, матричным методом.

Система линейных уравнений может:

1) Иметь единственное решение.

2) Иметь бесконечно много решений.

3) Не иметь решений

Матричный метод: (если определитель не равен нулю) ( единст. решение )

Х = ·В

То есть матрица А невырожденная. Построим обратную матрицу .

Теперь находим корни

то есть x = 3, y = 1, z = -1.

Метод Крамера: ( если определитель не равен нулю ) ( единст. решение )

Так заменяем 2-ой и 3-ий столбец и находим detY и detZ и подставляем в формулу Крамера.

Метод Гаусса: ( применяется только если матрица квадратная! )

Записать расширенную матрицу

Далее, с помощью элементарных преобразований свести расширенную матрицу к ступенчатому виду ( найти ранг матрицы ).

Далее, мы должны записать теорему: r(A) = r (A|B) = n. ( n – число неизвестных (в нашем случае n=2 ( x, y ) )

Если r(A) = r(A|B) = n, то система имеет 1 решение.

Если r(A) = r(A|B) < n, то система имеет бесконечное множество решений.

Если r(A) r(A|B), то система не имеет решений

В нашем случае 2 = 2 = 2

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система уравнений:

Всё, находим значения.

Раздел 3. Векторная алгебра

Векторы. Линейные операции над векторами.

а) Вектор – направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В.

б) Длинной или модулем вектора называется длина отрезка АВ.

Обозначение: | |

в) Вектора называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых.

Обозначение: ||

г) Два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковую длину.

д) Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях.

е) Векторы называются ортогональными, если они перпендикулярны.

Обозначение:

ж) Орта – единичный вектор (длина = 1), направление которого совпадает с вектором b и обозначается , где вектор b – координаты вектора b.

Линейные операции над векторами:

Сумма и разность:

Умножение вектора на число:

Получившийся вектор должен быть || ( коллинеарен ) данному вектору и сонаправлен.

Проекция вектора на ось, свойства проекции. Скалярное произведение векторов, его свойства, связь с проекциями.

Проекция вектора на ось обозначается символом

Свойства проекции векторов

а) Проекция вектора на ось равна произведению модуля этого вектора на косинус угла между ним и положительным направлением оси на некоторую ось :

б) Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций векторов на :

в) ( При умножении вектора на некоторое число k , его проекция умножается на это же число )

Скалярное произведение векторов — это число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.