![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Векторы. Основные операции над векторами.
значением и называется скалярной.
Операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр называют линейными. Сумму вида где l1, l2, …, ln – числа, хотя бы одно из которых отлично от нуля. В этом случае один из векторов может быть представлен в виде линейной комбинации остальных векторов. Если соотношение (1.15) выполняется только в случае, когда l1 = l2 =… = ln = 0, то `а1, `а2, …, `аn линейно независимы. Вернемся к рис.1.4. Зададим направления осей Ох и Оу единичными векторами ` i и j соответственно. Очевидно, что Аналогично определяется базис в трехмерном пространстве, где любой вектор можно представить в виде ` а = а1`е1 + а2`е2 + а3`е3 или ` а( а1, а2, а3), где а1, а2, а3 координаты вектора ` а в базисе (`е1, `е2, `е3). Ортонормированным называется базис взаимноперпендикулярных векторов единичной длины (ортов). Направление `а определяется углами a, b, g образованными с осями Ох, Оу, Оz соответственно. Направляющие косинусы вектора ` а определяются выражениями: и связаны соотношением: cos2a + cos2b + cos2g = 1 (1.17). Линейные операции над векторами, данными в разложении по декартову базису записывают так: ` с = `а + `b = (ax + bx)`i +(ay + by)`j + (az + bz)`к (1.18)и `а l = ax li + ay lj + az lк (1.19) Произвольной точке М (х, у, z) можно поставить в соответствие вектор ` r, соединяющий начало координат с точкой М, называемый радиусом – вектором точки М и обозначаемый `r (М). Очевидно, что `r = `i x + `j y + `кz, где x, y, z координаты этой точки. Вектор Тесты 1. Дан вектор 1) 6 лин.ед.; 2) 2. Даны вектора 1) (5; 3; 7); 2) (1; -1; 1); 3) (-6; -2; -12). 3. Дан вектор 1) 4. Даны три набора углов: 1) α = 80˚; β = 80˚; γ = 80˚; 2) α = 45˚; β = 30˚; γ = 45˚; 3) α = 30˚; β = 60˚; γ = 0˚; Какой из наборов может быть углами, образуемыми вектором с осями X, Y, Z декартовой системы координат? 5. Даны три вектора 1) Да; 2) Нет.
Скалярное произведение. Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла j между ними: `а × `b = abcos j (1.20). Свойства скалярного произведения: 1) `а × `а = а2 (`а2 = а2) 2) `а × `b = 0 если `а = 0, `b = 0, `а =`b = 0 или `а ^`b (j = p / 2) 3) `а × `b =`b × `а (переместительный закон) 4) `а (`b + `с) =`а`b +`а`с (распределительный закон) 5) (l`а)`b = `а(l`b) = l(`а`b) (сочетательный закон по отношению к скалярному множителю). Из 1) следует, что ` i2 = `j 2 = `к2 =1, а из 2) что `i `j = `i `к =`j `к = 0 (единичные вектора ортогональны (взаимно-перпендикулярны)). Если вектора ` а и` b заданы своими координатами (проекциями на оси Ох, Оу, Оz ), то ` а`b = axbx + ayby + azbz (1.21). Действительно, ` а`b = (`i ax + `j ay + `к az) (`i bx + `j by + `к bz) = `i2 ax bx + `i `j ay bx + `к`i az bx + `i `j ax by +`j2 ay by + `к `j az by + `i `к ax bz + `j`кaybz + `к2 azbz = [мы уже знаем, что квадраты ортов равны 1, а попарные произведения – 0 ] = axbх + ayby + azbz.
Тесты 1. Угол между векторами 1) 6; 2) 2. Даны вектора 1) 3, 5; 2) 7; 3) 3. Даны вектора 1) 2; 2) 1; 3) 4. 4. Произведение 1) 0; 2) 1; 3) –2. 5. 1) 0; 2) 1; 3) –2.
Векторное произведение.
1) |`с | = с = ab sin j (площади параллелограмма, построенного на ` а и` b; j – угол между векторами) 2) ` с перпендикулярен ` а и` b 3) векторы` а, `b, `с после приведения к общему началу образуют (так же как `i, ` j, `к ) правую тройку векторов. (Это значит, что если смотреть с конца вектора` с на векторы ` а и ` b, то вектор ` а для совмещения с вектором ` b поворачивается против часовой стрелки через наименьший угол.) Свойства векторного произведения. 1) ` а ´ `b = -`b ´ `а (векторное произведение не обладает переместительным свойством). 2) `а ´ `b = 0 если `а = 0, `b = 0 или `а ||`b (j = 0) 3) (m`а ) ´ `b = `а ´ (m`b) = m`а ´ `b (сочетательное свойство по отношению к скалярному множителю) 4) `а ´ (`b +`с ) = `а ´ `b +`а ´ `с (распределительное свойство) Легко убедиться (см. свойства 1 и 2), что `i `i
если два вектора перемножаются «против часовой стрелки» (положительное направление обхода окружности) – третий вектор получается «с плюсом»: ` j ´ `к =`i; если “по часовой” – с минусом: ` к ´ ` j = –`i.
Найдем векторное произведение, если вектора заданы своими координатами. `а ´ `b = (`iax + `jay + `кaz) (`ibx + `jby + `кbz) = `i ´ `iaxbx + +`j ´ `iaybx +`к ´ `jazbx +`i ´ `jaxby +`j ´ `jayby + `к ´ `jazby +`j ´ `к axbz + +`j ´ `кaybz +`к ´ `кazbz =`i (aybz – azby) – `j (axbz – azbx) +`к (axby – aybx). Сравнив полученное выражение с (1.6), легко убедиться в том, что векторное произведение векторов ` а и` b, заданных в разложении по декартову базису, удобнее всего вычислять по формуле Тесты 1. Для векторного произведения векторов 1) 2. Векторное произведение ортов 1) 3. Даны 1) 4. Даны векторы 1) Левую; 2) Правую. 5. Модуль векторного произведения 1) ав; 2) авsinj; 3) авcosj. Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-31; Просмотров: 794; Нарушение авторского права страницы