Векторы. Основные операции над векторами.

B/(x2; y1)

Зададим на плоскости хОу две произвольные точки А(х₁, у₁) и В(х₂, у₂) (рис.1.4). Длина отрезка АВ легко определяется из прямоугольного треугольника АВВ` и составит:

, где (АВ)_х и (АВ)_у – проекции отрезка АВ на соответствующие оси. Эта величина определена своим численным

значением и называется скалярной.

Геометрическим вектором называют направленный отрезок, обозначают его `точки А и В – начало и конец вектора) и характеризуют двумя параметрами: модулем (длиной) (обозначается | | = АВ ) и направлением. Вектор, который без изменения длины и направления можно перенести в любую точку пространства, называют свободным. (В предлагаемом курсе рассматриваются эти векторы). Вектор удобнее обозначать ` а, ` b и т.д. Векторы ` а и` b равны (` а =`b ), если совпадают их длины | а | = |`b| или а = b ) и направления. Если модули равны, а направления противоположны, векторы отличаются знаком т.е. = – . Суммой векторов ` а и`b называют вектор ` с =`а +`b, определяемый (рис.1.5) по правилу треугольника: начало ` b совмещают с концом ` а , `с соединяет начало ` а с концом` b. ( = + на рис 1.5). Произведением вектора ` а на скаляр l (lÎ R) называют вектор l `а, длина которого равна |l`a| = |`a| |l|. Если положить l = 1/а получим ` a / a =`a₀ – вектор единичной длины, имеющий тоже направление, что и ` a (единичный вектор). При l = 0 получим ` a × 0 =`0 (нуль вектор).

Операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр называют линейными.

Сумму вида , где - скаляры, называют линейной комбинацией векторов (Или говорят, что вектор линейно выражается через ) Векторы называют линейно независимыми, если ни один из них не выражается линейно через другие (не может быть представлен их линейной комбинацией). Формальное определение таково: векторы а₁, а₂, …, а_n называют линейно – зависимыми, если l₁`а<sub>1</sub> + l<sub>2</sub>`а₂ +…+l_n`а_n = 0 (1.15),

где l₁, l₂, …, l_n – числа, хотя бы одно из которых отлично от нуля. В этом случае один из векторов может быть представлен в виде линейной комбинации остальных векторов.

Если соотношение (1.15) выполняется только в случае, когда l₁ = l₂ =… = l_n = 0, то `а<sub>1</sub>, `а₂, …, `а_n линейно независимы.

Вернемся к рис.1.4. Зададим направления осей Ох и Оу единичными векторами ` i и j соответственно. Очевидно, что = + . Но очевидно также, что = i × АВ` = i × (АВ)_х и = j × В`B = j × (АВ)<sub>у</sub>. Таким образом вектор ` a в двумерных декартовых координатах можно представить в виде: ` a = `i a_x + `j a<sub>y</sub> ( ) а в трехмерных ` a = `i a<sub>x</sub> + `j a_y + `ка<sub>z</sub>, где а<sub>х</sub>, а<sub>у</sub>, а<sub>z</sub> – проекции вектора` a на соответствующие оси, , а i, `j, `к – единичные векторы этих осей. Такое представление вектора называется разложением его по декартову ортонормированному базису. (Системе линейно независимых единичных векторов ` i, `j, `к ). (Базисом на плоскости называют любую упорядоченную пару ` е₁, `е<sub>2</sub> линейно независимых векторов. Вектор ` a на плоскости можно единственным образом разложить по базису, т.е. представить в виде ` а = а<sub>1</sub>`е₁ + а₂`е<sub>2</sub> (а<sub>1</sub>, а<sub>2</sub> Î R), где а<sub>1</sub> и а<sub>2</sub> – координаты вектора ` а в выбранном базисе (проекции вектора ` а на соответствующие оси, направления которых заданы векторами` е₁ и `е<sub>2</sub> ). Вектор в разложении по базису запишется в виде ` а( а₁, а₂).

Аналогично определяется базис в трехмерном пространстве, где любой вектор можно представить в виде ` а = а<sub>1</sub>`е₁ + а₂`е<sub>2</sub> + а<sub>3</sub>`е₃ или ` а( а<sub>1</sub>, а<sub>2</sub>, а<sub>3</sub>), где а<sub>1</sub>, а<sub>2</sub>, а<sub>3</sub> координаты вектора ` а в базисе (`е<sub>1</sub>, `е₂, `е₃).

Ортонормированным называется базис взаимноперпендикулярных векторов единичной длины (ортов).

Направление `а определяется углами a, b, g образованными с осями Ох, Оу, Оz соответственно. Направляющие косинусы вектора ` а определяются выражениями: (1.16)

и связаны соотношением: cos²a + cos²b + cos²g = 1 (1.17).

Линейные операции над векторами, данными в разложении по декартову базису записывают так: ` с = `а + `b = (a<sub>x</sub> + b<sub>x</sub>)`i +(a_y + b_y)`j + (a<sub>z</sub> + b<sub>z</sub>)`к (1.18)и `а l = a_x li + a_y lj + a_z lк (1.19)

Произвольной точке М (х, у, z) можно поставить в соответствие вектор ` r, соединяющий начало координат с точкой М, называемый радиусом – вектором точки М и обозначаемый `r (М). Очевидно, что `r = `i x + `j y + `кz, где x, y, z координаты этой точки. Вектор где А (x₁, y₁, z₁) и В (x₂, y₂, z₂) начало и конец вектора можно представить в виде = `r<sub>2</sub> – `r₁.

Тесты

1. Дан вектор = (3; -1; 2). Его длина равна:

1) 6 лин.ед.; 2) лин.ед.; 3) лин.ед..

2. Даны вектора = (3; 1; 4) и = (-2; -2; -3) их сумма равна:

1) (5; 3; 7); 2) (1; -1; 1); 3) (-6; -2; -12).

3. Дан вектор = (2; 3; -1). Орт вектора равен:

1) = (1; 1, 5; -0, 5); 2) = ; 3) = .

4. Даны три набора углов:

1) α = 80˚; β = 80˚; γ = 80˚; 2) α = 45˚; β = 30˚; γ = 45˚; 3) α = 30˚; β = 60˚; γ = 0˚;

Какой из наборов может быть углами, образуемыми вектором с осями X, Y, Z декартовой системы координат?

5. Даны три вектора = (1; -2; 3), = (-2; 5; 1), = (-2; -2; -3). Являются они линейно независимымми?

1) Да; 2) Нет.

 

Скалярное произведение.

Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла j между ними: `а × `b = abcos j (1.20).

Свойства скалярного произведения:

1) `а × `а = а² (`а² = а²)

2) `а × `b = 0 если `а = 0, `b = 0, `а =`b = 0 или `а ^`b (j = p / 2)

3) `а × `b =`b × `а (переместительный закон)

4) `а (`b + `с) =`а`b +`а`с (распределительный закон)

5) (l`а)`b = `а(l`b) = l(`а`b) (сочетательный закон по отношению к

скалярному множителю).

Из 1) следует, что ` i<sup>2</sup> = `j ² = `к<sup>2</sup> =1, а из 2) что `i `j = `i `к =`j `к = 0 (единичные вектора ортогональны (взаимно-перпендикулярны)).

Если вектора ` а и` b заданы своими координатами (проекциями на оси Ох, Оу, Оz ), то ` а`b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z (1.21).

Действительно, ` а`b = (`i a<sub>x</sub> + `j a_y + `к a<sub>z</sub>) (`i b_x + `j b<sub>y</sub> + `к b_z) = `i<sup>2</sup> a<sub>x</sub> b<sub>x</sub> + `i `j a<sub>y</sub> b<sub>x</sub> + `к`i a<sub>z</sub> b<sub>x</sub> + `i `j a<sub>x</sub> b<sub>y</sub> +`j² a_y b_y + `к `j a_z b_y + `i `к a_x b_z + `j`кa_yb_z + `к² a_zb_z = [мы уже знаем, что квадраты ортов равны 1, а попарные произведения – 0 ] = a_xb_х + a_yb_y + a_zb_z.

 

Тесты

1. Угол между векторами и равен 30˚; Их скалярное произведение равно:

1) 6; 2) ; 3) .

2. Даны вектора = (3; -2; 2) и = (-1; 2; 3) Проекция вектора на вектор равна:

1) 3, 5; 2) 7; 3) ; 4) .

3. Даны вектора = (-2; 3; 1) и = (-1; -1; 2), их скалярное произведение равно:

1) 2; 2) 1; 3) 4.

4. Произведение × =?

1) 0; 2) 1; 3) –2.

5. =?

1) 0; 2) 1; 3) –2.

 

Векторное произведение.

Векторным произведением вектора ` а на вектор ` b называется вектор ` с = `а ´ `b, определяемый следующим образом (рис 1.6):

 

1) |`с | = с = ab sin j (площади параллелограмма, построенного на ` а и` b; j – угол между векторами)

2) ` с перпендикулярен ` а и` b

3) векторы` а, `b, `с после приведения к общему началу образуют (так же как `i, ` j, `к ) правую тройку векторов.

(Это значит, что если смотреть с конца вектора` с на векторы ` а и ` b, то вектор ` а для совмещения с вектором ` b поворачивается против часовой стрелки через наименьший угол.)

Свойства векторного произведения.

1) ` а ´ `b = -`b ´ `а (векторное произведение не обладает переместительным свойством).

2) `а ´ `b = 0 если `а = 0, `b = 0 или `а ||`b (j = 0)

3) (m`а ) ´ `b = `а ´ (m`b) = m`а ´ `b (сочетательное свойство по отношению к скалярному множителю)

4) `а ´ (`b +`с ) = `а ´ `b +`а ´ `с (распределительное свойство)

Легко убедиться (см. свойства 1 и 2), что `i `i = `j `j = `к `к = 0;

`i `j = –`j ` i = к; `j `к = –`к `j = `i; ` i `к = – `i `к = `j

Эти соотношения наглядно иллюстрируются следующим рисунком –

если два вектора перемножаются «против часовой стрелки»

(положительное направление обхода окружности) – третий

вектор получается «с плюсом»: ` j ´ `к =`i; если “по

часовой” – с минусом: ` к ´ ` j = –`i.

 

Найдем векторное произведение, если вектора заданы своими координатами. `а ´ `b = (`ia<sub>x</sub> + `ja_y + `кa<sub>z</sub>) (`ib_x + `jb<sub>y</sub> + `кb_z) = `i ´ `ia_xb_x + +`j ´ `ia_yb_x +`к ´ `ja_zb_x +`i ´ `ja_xb_y +`j ´ `ja_yb_y + `к ´ `ja_zb_y +`j ´ `к a_xb_z + +`j ´ `кa_yb_z +`к ´ `кa_zb_z =`i (a<sub>y</sub>b<sub>z</sub> – a<sub>z</sub>b<sub>y</sub>) – `j (a_xb_z – a_zb_x) +`к (a_xb_y – a_yb_x).

Сравнив полученное выражение с (1.6), легко убедиться в том, что векторное произведение векторов ` а и` b, заданных в разложении по декартову базису, удобнее всего вычислять по формуле

(1.22)

Тесты

1. Для векторного произведения векторов и справедливо свойство:

1) ; 2) ; 3)

2. Векторное произведение ортов и декартова базиса равно:

1) ; 2) - ; 3) 1.

3. Даны = (3; -1; 2) и = (1; -2; 3); Какой из векторов является векторным произведением?

1) = (1; 7; 5); 2) = (1; -7; -5); 3) = (7; 1; 5).

4. Даны векторы (1; 1; 1), (-2; -3; -4), (1; -2; 1). Какую тройку векторов они составляют?

1) Левую; 2) Правую.

5. Модуль векторного произведения х равен:

1) ав; 2) авsinj; 3) авcosj.

12345

Поделиться:

Популярное:

1. I. 49. Основные принципы разработки системы применения удобрений.
2. I. Основные подходы к определению и изучению культуры.
3. I. Основные физические явления и процессы в электрических аппаратах
4. I. Основные черты и особенности западноевропейской культуры XIX века
5. I. Основные черты и особенности западноевропейской культуры XIX века.
6. I. ХАРАКТЕРИСТИКА ТЕКУЩЕГО СОСТОЯНИЯ, ОСНОВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ СФЕРЫ КУЛЬТУРЫ И ИСКУССТВА
7. II. 36. Основные задачи семеноводства.
8. II. Весть пророка не обнадежила.
9. II. Основные электромеханические процессы
10. II. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ВКР
11. II. ТЕКСТЫ ДЛЯ РАБОТЫ НАД ГОЛОСОМ.
12. III. Надежды, извлекаемые из образа.